Проф. С.И.Лежнин, проф. О.Я.Савченко, проф. О.Ю.Цвелодуб,
СУНЦ НГУ, г. Новосибирск

Задачи приёмных экзаменов

на физическое отделение заочной школы

9-й класс

1. Мотоциклист движется со скоростью u навстречу колонне автомобилей. После того как мотоциклист увеличил скорость в два раза, он стал встречать автомобили из колонны в полтора раза чаще. Какова скорость автомобилей в колонне ?

Решение

Пусть расстояние между автомобилями L. Тогда вначале время между встречами мотоциклиста с автомобилями равнялось   После удвоения скорости но, по условию задачи, Отсюда = u.

2. Маленький шарик скользит по плоскости, наклонённой под углом к горизонту, которая вплотную примыкает к другой наклонной плоскости. Чему равен угол между горизонтом и второй плоскостью, если известно, что после упругого удара о неё шарик полетел вертикально?

Решение

В отсутствие трения угол падения шарика на вторую плоскость (отсчитываемый от нормали к ней) равен углу отражения. Угол между ветикалью и нормалью ко второй плоскости равен . Из построения видно, что шарик взлетит вертикально, если Отсюда = 45° – /2.

3. Шарик касается дна сосуда и при этом наполовину погружён в воду. После того как долили воды, так что шарик скрылся под водой полностью, сила, с которой он давит на дно сосуда, уменьшилась в 3 раза. Чему равна плотность материала, из которого изготовлен шарик?

Решение

Обозначим силу, с которой шарик вначале давил на дно сосуда, через N, плотность воды в, искомую плотность материала х, объём шарика V. В первом случае объём вытесненной воды равен V/2, а во втором V. В обоих случаях шарик находится в покое, поэтому суммарная сила, действующая на него, равна нулю:

Решая совместно оба уравнения, получим: 

Отсюда  или

4. Гирлянду из N одинаковых лампочек подсоединяли к источнику напряжения через входной резистор двумя способами: лампочки между собой соединены параллельно, лампочки между собой соединены последовательно. В обоих случаях накал лампочки одинаков. Чему равно сопротивление входного резистора, если сопротивление каждой лампочки R?

Решение

Пусть напряжение на входе цепи в обоих случаях равно U, а сопротивление входного резистора Rх. Поскольку накал лампочки одинаков в обоих случаях, то одинаков и ток через лампочку. Обозначим его Iл. Сопротивление N параллельно соединённых одинаковых лампочек равно R/N, а последовательно соединённых – RN.

В первом случае:

общее сопротивление полный ток

Полный ток разделяется на N токов, текущих через каждую лампочку:

Во втором случае:

Приравняв выражения для Iл, получим:

Отсюда Rx = R.

10-й класс

1. См. задачу 3 для 9-го класса.

2. См. задачу 4 для 9-го класса.

3. Бруску, лежащему на наклонной плоскости, щелчком сообщают горизонтальную скорость . Определите ускорение бруска сразу после щелчка. Угол наклона плоскости к горизонту равен a, коэффициент трения между бруском и плоскостью равен .

Решение

Направим ось x горизонтально, а ось y – вниз вдоль плоскости. Сила реакции плоскости N = mgcos. В первый момент сила трения действует только вдоль оси x, т.к. она направлена против скорости.

Сила трения равна Fx = Fтр = N = mgcos. Сила, действующая вдоль наклонной плоскости, Fy = mgsin.

Горизонтальное ускорение ax = Fx/m = gcos.

Ускорение вдоль плоскости ay = Fy/m = gsin.

Полное ускорение

4. Сила сопротивления воздуха, действующая на тело, пропорциональна квадрату скорости тела относительно воздуха: F_cопр = A² (постоянная A известна). Тело вначале движется в воздухе под действием внешней постоянной силы с установившейся скоростью 0. С некоего момента времени (t = 0) внешняя сила изменяется так, что тело тормозится с постоянным ускорением a вплоть до остановки. Как зависит от времени внешняя сила F? Масса тела m.

Решение

Запишем 2-й закон Ньютона для тела с учётом того, что ускорение равно –a (ускорение отрицательно) и на тело действуют две силы: 

–ma = F(t) – A² = F(t) – A(₀ – at)².

Отсюда F(t) = A(₀ – at)² – ma.

5. Ракета массой m стартует под углом 30° к горизонту. Найдите ускорение ракеты и силу тяги реактивной струи, которая образует угол 60° с горизонтом. Ускорение свободного падения g. Двигатель установлен так, что ракета не вращается.

Решение

На старте на ракету действуют сила тяги T и сила тяжести mg. Спроецируем силы на направление взлёта и перпендикулярно ему:

Решая эти уравнения, находим:

11-й класс

1. См. задачу 3 для 9-го класса.

2. См. задачу 5 для 10-го класса.

3. Два сообщающихся сосуда площадью сечений S₁ и S₂ (S₁ > S₂) и высотой h заполнены жидкостью до уровня h/2. На поверхности жидкости в сосуде сечением S₁ лежит невесомый поршень. На поршень начинают осторожно сыпать песок. Определить массу насыпанного песка, при которой жидкость начнёт выливаться из сосуда сечением S₂. Плотность жидкости , ускорение свободного падения g.

Решение

Так как поршень невесомый, в любой момент силы, действующие на него, находятся в равновесии. Это сила давления со стороны жидкости pS₁ и сила реакции со стороны песка, Она, в свою очередь, равна силе тяжести песка, т.к. песок насыпают медленно. В момент, когда вода начнёт выливаться, в правом сосуде высота столба будет равна h, а в левом x. Поэтому давление на поршень со стороны жидкости будет равно p = g(h – x). Так как в правый сосуд дополнительная вода перешла из левого, то

Из условия равновесия поршня Mg = g(h –  x)S₁. В результате искомая масса насыпанного песка

4. Вертикально стоящий герметичный сосуд с газом разделён тонким подвижным массивным поршнем на две одинаковые части. Вначале в верхней части температура была равна T₁, давление р, а в нижней T₂ и 2р соответственно. После того как температура в обеих частях сравнялась с температурой окружающей атмосферы Tx, поршень остался на месте. Определите Tх.

Решение

Так как масса газа в каждой части остаётся неизменной, то имеем:

где р₁ и р₂ – конечные давления в верхней и нижней частях соответственно.

Из условия равновесия поршня (обозначим его массу M) получаем связь между давлениями в обеих частях сосуда:

Отсюда следует, что р₁ + р = р₂.

В результате для значения температуры окружающего воздуха получаем

5. Горизонтальная плоскость делит пространство на две части: область с однородным электрическим полем E и область, в которой электрического поля нет. На каком расстоянии h от плоскости был отпущен шарик массой m и зарядом q, если он, пролетев сквозь небольшое отверстие в плоскости, возвратился на прежнее место через время ? Ускорение свободного падения g, qE > mg.

Решение

Вначале шарик движется с ускорением g, пока не достигнет плоскости с максимальной скоростью . Время этого равноускоренного движения   Далее шарик тормозится с ускорением до остановки в течение времени

Полное время движения равно

Находя из этого уравнения скорость и подставляя её в равенство для равноускоренного движения 2 = 2gh, получим:

Запросы следует направлять директору заочной школы СУНЦ НГУ Кутузовой Ольге Ивановне (kutuzova@sscadm.nsu.ru).