О.Ю.Шведов, С.Д.Варламов, Д.Э.Харабадзе, И.Н.Горбатый, А.И.Елантьев,
В.А.Погожев, М.В.Семёнов, В.В.Палюлин, А.А.Якута, А.В.Андрианов,
Е.П.Антышев, К.В.Башевой, А.Р.Зильберман, Н.А.Пекальн

Продолжение. См. № 15/05

66-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2005

7–11-й классы

Первый теоретический тур (продолжение)

9-й класс

Задача 1

На гладкой горизонтальной поверхности лежат три тонкие доски, как показано на рисунке. Их начинают медленно (без ускорения) растаскивать, прикладывая к доскам горизонтальные силы. В некоторый момент две из этих сил взаимно перпендикулярны, а их величины равны F₁ = 3 Н, F₂ = 4 Н. Определите величину F₃ третьей силы.

Решение

Так как первая доска движется без ускорения, то где F₁₂ и F₁₃ – силы, действующие на неё со стороны второй и третьей досок.

Аналогичные соотношения можно записать для второй и третьей досок:

где Fik – сила, действующая на i-ю доску со стороны k-й доски.

В соответствии с третьим законом Ньютона:

С учётом этого, складывая первые три уравнения, получим т.е. векторы F₁, F₂ и F₃ образуют стороны треугольника. Поскольку силы F₁ и F₂ взаимно перпендикулярны, то этот треугольник – прямоугольный, и для нахождения величины силы F₃ можно воспользоваться теоремой Пифагора:

Задача 2

На длинную тележку, движущуюся со скоростью без трения по горизонтальным рельсам, сыплется отвесно сверху песок так, что за каждую секунду на неё попадает килограммов песка. Точно такое же количество песка сбрасывается с тележки с постоянной относительно неё скоростью u в направлении, противоположном её движению. Какую горизонтальную силу нужно прикладывать к тележке, чтобы поддерживать её скорость постоянной?

Решение

За промежуток времени t на тележку падает масса песка t, приобретая относительно неподвижных рельсов горизонтальный импульс, равный
p₁=t•. За это же время точно такая же масса песка, двигавшаяся на тележке со скоростью , сбрасывается с тележки назад с относительной скоростью u, так что скорость этой массы песка становится равной – u, а изменение её импульса составляет p₂ = t • ( – u) – t • = – t • u. Следовательно, горизонтальный импульс массы песка t изменяется на величину p = p₁ + p₂ = t • ( – u).

В соответствии со вторым законом Ньютона приращение импульса системы за время t равно импульсу действующей на неё силы: p=F•t. Отсюда горизонтальная сила, действующая на данную массу песка со стороны тележки, равна

F = p/t = ( – u).

Точно такую же силу нужно прикладывать к тележке, чтобы её скорость оставалась постоянной.

Задача 3

При достижении температуры +910 °C в железе происходит полиморфное превращение: элементарная ячейка его кристаллической решётки из кубической объёмноцентрированной превращается в кубическую гранецентрированную – железо из -фазы переходит в -фазу. При этом плотность железа уменьшается на 2%. Найдите отношение постоянных решёток железа в - и -фазах.

Примечание. Постоянной a кубической решётки называют длину ребра куба элементарной ячейки. В объёмноцентрированной решётке ионы железа находятся в вершинах и в центре куба, а в гранецентрированной – в вершинах куба и в центрах каждой из его граней.

Решение

Каждый атом железа, находящийся в одной из вершин куба, одновременно принадлежит восьми элементарным ячейкам, а в центре грани куба – двум ячейкам. Атом же, находящийся в центре куба, принадлежит только одной ячейке. Следовательно, на одну элементарную ячейку кубической объёмноцентрированной решётки приходится атома, а на одну элементарную ячейку кубической гранецентрированной решётки атома. Если плотность железа в k-й фазе обозначить через k, то концентрация атомов в этой фазе будет равна nk = Nk/V = kN_A/A, где Nk – число атомов решётки в k-м состоянии, V – объём образца железа в данном состоянии, N_A – число Авогадро, A – масса моля железа. Объём Vk кубической элементарной ячейки железа в k-м состоянии равен отношению V к числу N элементарных ячеек решётки в данном состоянии:

т.к. Nk/N – это как раз число атомов, приходящееся на одну ячейку решётки в k-м состоянии. По условию задачи, Поэтому отношение постоянных решёток железа в - и -фазах равно

Задача 4

Реальный амперметр можно представить как идеальный амперметр с нулевым сопротивлением, соединённый последовательно с некоторым резистором. С помощью данного реального амперметра поочерёдно измеряют электрические токи, текущие через резисторы и источник питания в цепи, схема которой изображена на рисунке. Амперметр показывает, что токи через каждый из резисторов одинаковы и равны 6 мА, а ток через источник равен 11 мА. Что показал бы идеальный амперметр при измерении этих же токов? Источник считать идеальным.

Решение

Обозначим напряжение источника через U, сопротивления резисторов – через R₁ и R₂, сопро-тивление реального амперметра – через r. Тогда схемы, используемые для измерения токов через резисторы и через источник, можно изобразить так, как показано на рис. а–в.

   

По условию задачи, показания амперметров в этих случаях равны I₁ = 6 мА, I₂ = 6 мА и I₃ = 11 мА соответственно. На основании закона Ома для участка цепи, используя правила расчёта сопротивлений при последовательном и параллельном соединениях резисторов, имеем систему уравнений:

Так как I₁ = I₂, то из первых двух уравнений системы следует, что R₁ = R₂ = R. Тогда третье уравнение принимает вид: 

Если бы измерения проводились с использованием идеального амперметра, то он показал бы, что через каждый из резисторов течёт некоторый ток I₀ = U/R, а через источник течёт вдвое больший ток 2I0. Выражая величину U через I₀, перепишем первое и третье уравнения системы в виде:

Отсюда находим:

Из последнего соотношения получаем

10-й класс

Задача 1

Автомобиль с передними ведущими колёсами должен проехать по достаточно длинному прямолинейному участку шоссе, поднимающемуся вверх под углом к горизонту. Центр масс автомобиля находится на расстоянии h от полотна дороги, посередине между осями передних и задних колёс, которые расположены на расстоянии 2L друг от друга. Коэффициент трения колёс о дорогу равен , радиус колёс R. Найдите максимальную величину угла . Укажите условия, при которых автомобиль массой m сможет преодолеть этот участок шоссе.

Решение

Так как движущийся автомобиль не переворачивается, то величины Nн и Nв нормальных составляющих сил реакции дороги, приложенных к нижним и верхним колёсам, удовлетворяют следующим уравнениям для моментов сил:

Здесь первое уравнение записано относительно оси, проходящей через точки касания дороги верхними колёсами, а второе – относительно оси, проходящей через точки касания дороги нижними колёсами. Из этих уравнений видно, что вне зависимости от того, какие колёса являются ведущими, Nн > Nв.

Автомобиль движется в гору под действием силы тяги, которая представляет собой тангенциальную составляющую сил реакции дороги, действующих на ведущие колёса. Эта сила не может превышать величину силы трения покоя, равную Ni, где Ni – сила реакции, действующая либо на нижние, либо на верхние колёса – в зависимости от того, какие из них являются ведущими. При движении автомобиля в гору с очень малой скоростью сила тяги должна быть равна «скатывающей» силе: Ni = mg sin, т.е. автомобиль может преодолеть участок дороги с тем бoльшим углом наклона, чем больше нормальная сила реакции, действующая на его ведущие колёса. Следовательно, автомобиль должен ехать в гору так, чтобы его ведущие колёса находились снизу, т.е. автомобилю с передними ведущими колёсами выгоднее въезжать на поднимающийся участок дороги задним ходом. При этом

откуда с учётом выражения для Nн получаем

Чтобы автомобиль не перевернулся, ещё должно выполняться дополнительное условие Nв > 0, или tg < L/h. С учётом полученного выражения для это условие можно переписать в виде: < L/h. Так как < 1, а для реальных автомобилей L/h 1, то полученное условие практически всегда выполняется.

Кроме того, на ведущих колёсах автомобиля должен создаваться крутящий момент

При этом мощность двигателя может быть любой, т.к. в условии задачи нет никаких ограничений на минимальную скорость движения автомобиля (он может въезжать в гору и очень медленно).

Задача 2

Найдите общий коэффициент жёсткости системы пружин, изображённой на рисунке, если внешняя сила прикладывается к верхней платформе в вертикальном направлении. Лестница, на которую опираются пружины, бесконечна. Все платформы при сжатии пружин сохраняют горизонтальное положение и не касаются ступенек лестницы. Каждая из платформ, кроме самой верхней, опирается на две пружины. Коэффициенты жёсткости всех пружин одинаковы и равны k, оси всех пружин вертикальны. Массой пружин и платформ можно пренебречь.

Решение

Обозначим смещение верхней платформы под действием приложенной к ней силы F через x, а следующих, расположенных ниже платформ под действием приложенных к ним сил F₁, F₂, F₃, … , – через x₁, x₂, x₃, … соответственно.

Тогда из условия равновесия верхней платформы (сумма действующих на неё сил равна нулю) следует, что общий коэффициент жёсткости равен

Из условий равновесия расположенных ниже платформ следует, что:

  ................................ .

Складывая эти уравнения и сокращая на k, получаем:

        (*)

Ясно, что общий коэффициент жёсткости правой или левой частей данной бесконечной системы пружин не должен зависеть от номера ступени. Поэтому:

или 

Отсюда

поскольку деформации нижних пружин меньше, чем верхних. Таким образом,

... .

Подставляя полученные выражения для x₁, x₂, x₃, … в формулу (*), получаем:

Отсюда, применяя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, имеем:

или n2 – 3n + 1 = 0.

Решая это квадратное уравнение, находим  Поскольку n > 1, то

С учётом этого окончательно получаем: