К.Ю.Богданов,
школа № 1326, г. Москва
Kbogdanov@mtu-net.ru

Как быстрее скатиться с горки?

Решение задачи, представленной экспериментально на Марафоне-2005

Казалось бы, чем короче путь, тем быстрее доберёшься. Поэтому катиться надо по наклонной плоскости, соединяющей две точки. Но не всё так просто… Как показали экспериментально ученики С.Н.Кириллова, по наклонной плоскости шарик спускался медленнее, чем по изготовленному ими криволинейному профилю с двумя «ямами».* (*См. – стенд НИИ научного мировоззрения). [Одно из возможных объяснений могло быть следующим. Перемещение шарика в обоих случах одно и то же, равно s = (t) . t, и, по крайней мере в случае наклонной плоскости (равноускоренное движение), равно просто площади треугольника, образуемого прямой (t) и осью t. Такая же площадь должна быть и под кривой (t) в случае криволинейной траектории. А поскольку во втором случае скорость шарика местами сильно превышает скорость в первом случае, то время движения должно быть меньше. (На самом деле модуль перемещения где x – проекция скорости шарика на ось Х, направленную вниз вдоль наклонной плоскости. Именно поэтому модуль перемещения численно равен площади фигуры под графиком x(t). Для криволинейной траектории, лежащей под наклонной прямой, может оказаться, что график x(t) лежит выше, чем в случае наклонной прямой, т.е. скорость больше. Значит, то же самое перемещение совершается за более короткое время.) Однако эти, казалось бы, столь очевидные истины при внимательном рассмотрении оказываются не столь очевидными. – Ред.]

Начнём с 1696 г., когда на письмо И.Бернулли, опубликованное в журнале «Acta Eruditorum» с интригующим заглавием «Новая задача, к решению которой приглашаются математики», откликнулись Г.Лейбниц, Г.Лопиталь и Я.Бернулли. Условие задачи было следующим: «В вертикальной плоскости даны точки А и В. Определить путь АМВ, спускаясь по которому под действием собственной тяжести и при отсутствии сил трения, тело М, начав двигаться из точки А, достигнет точки В в кратчайшее время». И.Бернулли предложил называть кривую, соответствующую скорейшему спуску с горы, брахистохроной (от двух греческих слов: – самое короткое – и – время). Прошло некоторое время, и все эти знаменитые учёные решили задачу разными способами, но пришли к одинаковому ответу: брахистохрона – это циклоида.

Между точками А и В необходимо найти траекторию скорейшего спуска под действием только силы тяжести. Тонкой линией обозначена наклонная плоскость, соединяющая эти точки, а жирной – искомая брахистохрона

Что такое циклоида? Одним из первых определение циклоиды дал Паскаль, назвав её кривой, «описываемой в воздухе гвоздём колеса, когда оно катится своим движением с того момента, как гвоздь начал подниматься от земли, до того, когда непрерывное качение колеса не приводит его опять к земле после окончания целого оборота».

Циклоида – жирная кривая, которую описывает жирная точка (гвоздь), лежащая на границе круга радиусом r, катящегося без скольжения по прямой, совпадающей с осью х. Остальные обозначения сделаны для вычисления координат точки циклоиды, соответствующей повороту колеса на угол . Угол между касательной к циклоиде и вертикалью равен

Попробуем сначала расшифровать данное Паскалем определение циклоиды и вывести её уравнение, а потом доказать, что она действительно является брахистохроной. Выберем на плоскости систему координат так, чтобы прямая, по которой катится «колесо», совпала с осью x, и пусть круг катится в положительном направлении этой оси. Предположим, что в начальный момент времени наблюдаемый «гвоздь» занимает положение в начале координат O (0, 0). Если r – радиус колеса, то его центр С будет двигаться по прямой y = r. Через некоторое время гвоздь окажется в точке P, а колесо будет касаться прямой x в точке В. Пусть РА – перпендикуляр, опущенный на x, а отрезок РD параллелен x, тогда легко можно вывести следующие соотношения для координат точек циклоиды:

x = OA = OB – AB = OB – PD = r  – r sin;

y = AP = BD = BC + CD = r – r cos ,                              (1)

где = угол PCB, который при движении колеса слева направо увеличивается от 0 до 2. Мы получили так называемое параметрическое задание циклоиды: обе координаты x и y точки Р циклоиды являются функциями некоторой вспомогательной переменной . Исключая из системы уравнений (1) можно получить следующее уравнение циклоиды:

            (2)

Зная это уравнение, довольно легко вывести выражение для синуса угла между касательной к ней и вертикалью (см. рисунок), которое нам очень пригодится для доказательства того, что циклоида – это брахистохрона:

                             (3)

Принцип Ферма и геометрическая оптика. И.Бернулли решил задачу о скорейшем спуске, используя принцип наименьшего действия, сформулированный гениальным математиком XVII в. П.Ферма. В 1650 г. Ферма дал замечательную интерпретацию законов отражения и преломления света на границе двух сред: sinпадения /sinпреломления = n, где n – показатель преломления, константа для фиксированной пары сред. Он предположил, что путь распространения света между двумя точками есть такой путь, для прохождения которого свету требуется наименьшее время по сравнению с любым другим путём между этими точками. Tеперь это утверждение носит название принципа Ферма. Из принципа Ферма следует, в частности, что поскольку скорость света в однородной среде постоянна, то минимальному времени в пути соответствует минимальное расстояние, а это значит, что свет в однородной среде должен распространяться по прямой.

Использование принципа Ферма в тех случаях, когда свет наталкивается на границу раздела сред с разной скоростью распространения, позволяет легко вывести известные законы отражения и преломления света на границе раздела, а также в тех случаях, когда среда состоит из горизонтальных слоёв, в каждом из которых скорость света постоянна: с₁, с₂, с₃… В последнем случае свет будет распространяться по ломаной с вершинами на границах раздела, но для каждой вершины будет соблюдаться следующее равенство: где i – угол, который звено ломаной, лежащее в слое со скоростью света ci, образует с вертикалью.

Распространение света сверху вниз через слои с последовательно уменьшающимся показателем преломления. Обозначены углы падения света на границы раздела (i) и скорости света в этих слоях (ci)

Если же в некоторой неоднородной оптической среде скорость света меняется непрерывно, но зависит только от значения ординаты у, то в этой среде свет распространяется по кривой S, для которой

                    (4)

где (y) – угол между касательной к кривой S в точке с ординатой y и вертикалью. Отметим, что формула (4) была получена из принципа Ферма в предположении, что скорость света зависит только от вертикального положения точки (высоты).

Принцип Ферма и скорейший спуск. И.Бернулли заметил, что скорость тела v, катящегося с горы под действием силы тяжести, тоже зависит только от перепада высот y:

             (5)

Поэтому все выводы из принципа Ферма, сделанные для распространения света в среде с изменяющейся скоростью света, можно перенести на поиск уравнения для брахистохроны. Другими словами, траектория скорейшего спуска между точками А и В должна удовлетворять уравнению (4), где вместо с (y) надо подставить выражение (5) для , после чего уравнение для брахистохроны примет вид:

         (6)

Простое сравнение (3) и (6) показывает, что траекторией скорейшего спуска должна быть перевёрнутая циклоида.

Как спуститься быстрее без циклоиды? Чтобы сократить время движения между точками А и В, не обязательно спускаться по циклоиде. Можно, например, заменить наклонную плоскость двумя, расположенными чуть ниже. Кстати, такие же эксперименты ставил Галилей, пытаясь найти брахистохрону задолго до И.Бернулли. Простой расчёт, который мы предлагаем сделать самостоятельно с помощью таблиц Excel, показывает, что время скольжения по такой ломаной наклонной плоскости будет почти всегда меньше, чем по обычной.

Если высота горки h не больше её длины по горизонтали L, то время спуска по любой ломаной наклонной плоскости, лежащей ниже обычной, окажется меньшим. Как показывает расчёт, выигрыш во времени для каждого h/L зависит от того, где находится перегиб и насколько он глубокий.

Выигрыш во времени при спуске по ломаной наклонной плоскости по сравнению с обычным пологим спуском с h/L = 0,2 в тех случаях, когда перелом находится ближе к началу (а), в середине (б) и конце (в) горки; В, С и Н соответствуют верхней, средней и нижней ломаным в каждом случае

Когда мы с самого начала заменяем пологий спуск очень крутым, то быстро разгоняемся до максимальной скорости, а потом уже по инерции преодолеваем вторую, почти горизонтальную часть своего пути до конечной точки. Поэтому неудивительно, что максимальный выигрыш (32,2%) соответствует спуску, когда перелом глубокий и находится в начале горки (случай а).

Выигрыш и проигрыш во времени при спуске по ломаной наклонной плоскости по сравнению с обычным спуском с крутой горки

Когда горка крутая (h > L), то выигрыш от спуска по ломаной наклонной плоскости очень мал и никогда не превышает 7%. Это объясняется тем, что, скатываясь по крутой горке, мы и без излома быстро набираем скорость, а излом значительно удлиняет путь. Поэтому максимальный выигрыш для крутых горок соответствует не самому глубокому перелому, а промежуточному. Так, для горки с h/L = 2, изображённой на рисунке, максимальный выигрыш во времени спуска (2,2%) соответствует верхней ломаной. Когда же изломы при спуске с крутых горок становятся очень глубокими (ломаные С и Н на рисунке), то спуск становится уже невыгодным, и вместо опережения мы получаем запаздывание. Таким образом, спуск по ломаным наклонным плоскостям даёт выигрыш во времени, только если горки пологие (h < L).

Но ведь на горке, показанной на Марафоне, был горб! И такую ситуацию легко объяснить. Сначала заменим обычную наклонную плоскость, соединяющую А и В, ломаной, по которой спуск окажется быстрее. А потом пойдём ещё дальше и заменим каждый из двух линейных участков такой горки циклоидами, и тогда мы получим горбатую горку, удивлявшую всех на Марафоне-2005.

Иногда даже горб на спуске не помешает прийти раньше, чем просто при скатывании по обычной наклонной плоскости

Более подробно об удивительных свойствах циклоиды и брахистохроны можно прочитать в популярных статьях С.Г.Серова, опубликованных в журнале «Квант» в 1975 г. (№ 8 и 12).