О.Ю.Шведов, С.Д.Варламов, Д.Э.Харабадзе, И.Н.Горбатый,
А.И.Елантьев, В.А.Погожев, М.В.Семёнов, В.В.Палюлин, А.А.Якута,
А.В.Андрианов, Е.П.Антышев, К.В.Башевой, А.Р.Зильберман, Н.А.Пекальн
yakuta@genphys.phys.msu.ru

66-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2005

7–11-й классы

В соответствии с Положением от 2003 г. Московская региональная олимпиада школьников проводится в три этапа (подробнее см. № 42/04). Для её победителей и призёров установлены льготы при приёме в вузы. Государственные вузы, находящиеся на территории г. Москвы, имеют право принимать победителей и призёров окружного этапа олимпиады вне конкурса или засчитывать результаты их выступления на олимпиаде в качестве соответствующего вступительного экзамена. Победители и призёры городского этапа олимпиады могут быть приняты в указанные вузы без экзаменов, или результаты их выступления на олимпиаде могут быть зачтены в качестве соответствующего экзамена, причём диплому 1-й степени городского этапа соответствует наилучший из возможных результатов экзамена. Решение о предоставлении победителям и призёрам олимпиады льгот при поступлении в вуз принимается учёным советом вуза, которое согласовывается с советом ректоров вузов г. Москвы и Московской области и с Департаментом образования г. Москвы. Победители и призёры региональной олимпиады также имеют право поступать на соответствующие специальности в государственные средние специальные учебные заведения, находящиеся на территории г. Москвы, без вступительных испытаний.

В 2005 г. в окружном этапе приняли участие 11 894 человека – школьники из г. Москвы и Московской области. Победителями окружного этапа стали 244 школьника, призёрами – 1193, 583 одиннадцатиклассника получили льготы при приёме в вузы.

Городской этап олимпиады для учеников 7-11-х классов проводился в два тура. В первом туре приняли участие 1958 человек (7-й класс – 171 человек, 8-й класс – 316, 9-й класс – 395, 10-й класс – 555, 11-й класс – 521 человек).

Ученики, показавшие лучшие результаты, были приглашены для участия во втором туре (8-й класс – 112 человек, 9-й класс – 145, 10-й класс – 142, 11-й класс – 226 человек).

Призёрами городского этапа стали 310 школьников, 67 одиннадцатиклассников получили льготы при приёме в московские вузы, в том числе право зачёта профильного вступительного испытания при поступлении в МГУ им. М.В.Ломоносова на физический, химический, механико-математический, геологический факультеты, факультеты вычислительной математики и кибернетики, наук о материалах, биоинженерии и биоинформатики.

По итогам второго городского тура в старших классах (с 9-го по 11-й) были отобраны 46 человек для участия в экспериментальном туре, который носил характер отборочного при формировании состава команды г. Москвы для участия в 5-м (заключительном) этапе Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Победителями Московской региональной олимпиады школьников по физике стали 37 школьников, которые были награждены дипломами и призами. На с. 44 приведён список победителей (фамилия учителя указана в случае, если она была сообщена учеником).

С полным списком победителей и призёров можно ознакомиться на сайте http://genphys.phys. msu.ru/ol/2005.

На теоретических турах городского этапа участникам предлагалось решить в 10-м и 11-м классах по 5 задач, в 9-м классе – по 4 задачи, в 8-м классе – по 3 задачи, в 7-м – 4 задачи. На решение одной задачи в 8–11-х классах давался 1 ч, в 7-м – 45 мин. На экспериментальном туре все участники выполняли по 2 задания, на каждое из которых отводилось по 2 ч. Сразу по окончании каждого тура для участников проводился подробный разбор решений всех задач.

М.В.Семёнов, Ю.В.Старокуров, А.А.Якута
(МГУ им. М.В.Ломоносова);
В.И.Зинковский, А.Р.Зильберман  (МИОО)

Первый теоретический тур

7-й класс

Задача 1

Когда пассажир едет в автобусе, то навстречу ему попадаются автобусы того же маршрута через каждые 10 мин. Какое максимальное время ему придётся ждать на остановке до прихода автобуса? Считать, что автобусы в обоих направлениях движутся с одинаковой скоростью, а на остановках стоят очень мало.

Решение

Максимальное время ожидания совпадает с интервалом движения автобусов. Это соответствует тому, что пассажир пришёл на остановку сразу после ухода автобуса. Интервал движения автобусов равен отношению расстояния между автобусами, находящимися на маршруте, к скорости их движения. Для пассажира в движущемся автобусе скорость встречных автобусов возрастает в два раза, соответственно интервал времени между ними уменьшается в два раза по сравнению с интервалом движения. Следовательно, интервал движения, а значит и максимальное время ожидания автобуса на остановке, вдвое больше интервала 10 мин, который наблюдает движущийся пассажир, т.е. равно 20 мин.

Задача 2

Школьник стоит на одном из этажей многоэтажного дома около лифта, который из-за поломки непрерывно ездит вверх-вниз от первого до последнего этажа и обратно. Школьник заметил, что интервал времени между приходом лифта сверху на пути вниз и приходом лифта снизу на его обратном пути вверх в два раза меньше, чем интервал между приходом лифта снизу на пути вверх и его приходом сверху на обратном пути вниз. Но стоило школьнику подняться по лестнице на 5 этажей, как эти интервалы стали равны. На каком этаже он находился вначале?

Решение

Лифт обычно ездит вверх и вниз с одинаковой постоянной скоростью. Поэтому вначале число меж-этажных пролётов вниз до первого этажа было в два раза меньше, чем число пролётов вверх до последнего этажа. Пятью этажами выше числа пролётов вверх и вниз стали равны между собой. Следовательно, вначале человек стоял на одной трети высоты здания, а затем поднялся на половину высоты. Следовательно, 5 пролётов составляют 1/6 высоты здания. Вся высота здания, таким образом, составляет 30 пролётов (31 этаж), а вначале человек находился на 11-м этаже.

Задача 3

В день весеннего равноденствия по идущей среди американских прерий прямой железной дороге с постоянной скоростью 10 миль/ч едет поезд-экспресс, имеющий длину 1/10 мили. Индеец Орлиный Глаз находится вместе со своей лошадью на прямой тропе, которая пересекает железную дорогу. Взглянув на поезд и на место пересечения тропы с железной дорогой, индеец подумал: «Если я прямо сейчас поскачу по тропе, то через время, за которое солнце сегодня пройдёт двадцатую часть своего пути от восхода до заката, я смогу вскочить прямо на паровоз к бледнолицым». Сделав так, Орлиный Глаз действительно смог вскочить в поезд, но не на паровоз, а лишь на заднюю площадку последнего вагона. На сколько ошибся индеец, оценивая на глаз расстояние от себя до места пересечения тропы с железной дорогой, если на самом деле оно было равно 6 милям?

Решение

В день весеннего равноденствия время от восхода до заката составляет 12 ч, а его двадцатая часть – 0,6 ч. Поэтому скорость передвижения Орлиного Глаза на лошади равна (6 миль)/(0,6 ч) = 10 миль/ч. Поезд пересекает тропу за время (0,1 мили)/(10 миль/ч) = 0,01 ч, поэтому Орлиный Глаз ошибся в определении расстояния до железной дороги всего на (0,01 ч) х (10 миль/ч) = 0,1 милю, т.е. на 1/60 этого расстояния. Глаз действительно орлиный!

Задача 4

Определите примерный средний размер молекулы в оливковом масле, если его капля объёмом 2 мм³ растекается по поверхности воды, образуя тонкую плёнку максимальной площадью примерно 1 м².

Решение

Капля масла растекается по поверхности воды практически мономолекулярным слоем. Поэтому размер молекулы d примерно равен толщине плёнки. Пренебрегая изменением объёма капли V при растекании, получаем: V=Sd, где S – максимальная площадь плёнки. Из этого соотношения получаем d=V/S = 2 мм³/1 м² = 2 нм.

8-й класс

Задача 1

Цилиндрический пластмассовый стакан имеет дно толщиной 1 см. Если опустить его в большой сосуд с водой, то он будет плавать в вертикальном положении, погрузившись на 3 см. Если затем налить в него слой неизвестной жидкости высотой 3 см, то стакан окажется погружённым на 5 см. Сколько ещё нужно долить в него этой же жидкости, чтобы её уровень совпал с уровнем «забортной» воды?

Решение

После того как в стакан долили слой жидкости высотой 3 см, он дополнительно погрузился на 2 см (был погружён на 3 см, стал – на 5 см). Ясно, что при доливании в стакан слоя этой жидкости высотой x стакан дополнительно погружается на глубину 2x/3. Перед доливанием уровень жидкости в стакане был на 1 см ниже, чем у «забортной» воды (5 см минус 3 см минус толщина дна 1 см). Поэтому для совпадения уровней жидкости в стакане и воды «за бортом» нужно долить в стакан слой жидкости высотой ещё 3 см. При этом глубина погружения стакана составит 5 см + 2 см = 7 см, а расстояние от нижней поверхности дна стакана до уровня жидкости в нём будет также равно 7 см (1 см + 3 см + 3 см).

Задача 2

Стеклянная открытая сверху трубка постоянного поперечного сечения имеет форму латинской буквы L. Одно её колено – горизонтально, имеет длину l₁ = 10 км и запаяно на конце. Другое колено, длиной l₂ = 1,2 м, вертикально, конец его открыт. Трубка полностью заполнена водой при температуре 0 °C. Найдите, как меняется давление вблизи закрытого конца трубки при изменении температуры воды от 0 до +8 °C. Зависимость плотности воды от температуры t приведена в таблице. Атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па, геометрические размеры трубки считать неизменными.

Решение

При    0 °C,  когда    трубка   полностью   заполнена,    давление  у  её  запаянного   конца,  очевидно,  равно  p₀+₀gl²10⁵ Па+1000 кг/м³•10 м/c² •1,2 м=1,12 • 10⁵ Па (здесь 0 – плотность воды при 0 °C). С ростом температуры от 0 до 8 °C плотность воды вначале возрастает, а затем убывает, всё время оставаясь большей, чем при 0 °C, так что из трубки вода не вытекает, и её масса остаётся постоянной: ₀S(l₁ + l₂) = S(l₁ + l) . Здесь S – площадь сечения трубки, а l – высота уровня воды в вертикальном колене.

Давление у запаянного конца трубки при температуре t, таким образом, равно p=p₀+gl, если l>0, и p₀, если l<0 (тогда вся масса воды будет находиться в горизонтальном колене трубки). Представим плотность воды при температуре t в виде  = ₀ + , где определяется из приведённой в условии задачи таблицы и не превышает 0,132 кг/м³. Из условия постоянства массы получаем: ₀l₁+₀l₂=₀l₁+l₁+(₀+)l. С учётом того, что стоящей в последнем слагаемом в скобках величиной  << ₀ можно пренебречь по сравнению с ₀, имеем:   l  l₂ – (/₀)l₁. Результаты расчёта зависимости , l и искомого давления p от температуры t приведены в таблице ниже.

Задача 3

Любители чая считают, что кипяток, налитый в чашку, может заметно остыть даже за несколько секунд, что испортит качество получившегося чая. Проверим, правы ли они.

Над чашкой очень горячей воды поднимается пар. Скорость подъёма пара, оцениваемая на глаз, равна  = 0,1 м/с. Считая, что весь поднимающийся над чашкой пар имеет температуру 100 °C, оцените скорость остывания чашки с очень горячей водой за счет испарения воды (эта скорость измеряется в градусах за секунду.) Масса воды в чашке m = 200 г, площадь поверхности воды S = 30 см², удельная теплота испарения воды r = 2,3 • 10⁶ Дж/кг, удельная теплоёмкость воды C = 4,2 • 10³ Дж/(кг • °C), плотность насыщенного водяного пара при 100 °C равна  = 0,58 кг/м³.

Решение

За промежуток времени t за счёт испарения с поверхности чая образуется объём пара St массойm = St. На его образование будет затрачено количество теплоты Q = rm = rSt, которое отнимается от чая, вызывая его охлаждение на T = Q/(mC) = rSt/(mC). Отсюда скорость охлаждения чая составит

Таким образом, чай будет остывать приблизительно на один градус за две секунды, т.е. довольно быстро: через десять секунд его температура станет равной лишь 95 °C, а это уже совсем не кипяток. Значит, любители горячего чая правы!

Заметим, что полученные результаты дают, конечно, «оценку сверху»; реальная скорость остывания чая будет ниже.