10–11-й классы.

Профильный уровень

В.Л.Булынин,
школа № 142, г. Москва

Графические методы решения задач

2. Построение графиков циклов идеального газа

Пусть требуется построить график цикла идеального газа, заданный в каких-либо двух координатных осях из тройки p, V, T (например, показанный на рис. 1), в другой паре осей.

Рис. 1

Как безошибочно выполнить такое построение? Если масса газа не изменяется (m = const), то уравнение состояния может быть записано в виде:

         (1)

где c = R – константа для данной задачи.

Уравнение (1) называется уравнением Клапейрона, именно оно является нашей главной рабочей формулой и справедливо в каждой точке заданного и искомых графиков. Вспомним, как выглядят графики изопроцессов и как на них влияет третий (отсутствующий) параметр (рис. 2).

Рис. 2

а) Изотермы: чем выше T, тем выше идёт гипербола pV = cT.

б) Изобары: чем выше p, тем меньше наклон прямой

в) Изохоры: чем больше V, тем меньше наклон прямой

1. Пусть график задан в осях p, V. Сначала расположим удобно системы координат p, T и V, T, в которых требуется выполнить построение (рис. 3). Переносим на них данные по p и V. Для этого проведём пунктирные линии p_1,2 = const, p_3,4 = const, V_1,4 = const, V_2,3 = const. В кружках справа записываем цифры, обозначающие переходы.

Рис. 3

Далее записываем прямо на графике, во что «превращается» уравнение Клапейрона (1) на каждом из переходов (1–2, 2–3 и т.д.) для каждого заданного изопроцесса:

(1–2): p_1,2 =

(3–4): p_3,4 =

(2–3): V_2,3 =

(4–1): V_1,4 =

с₁, c₂, c₃, c₄ – новые константы.

Рис. 4

Следующий шаг: находим на заданном графике точку (или линию) с максимальным значением отсутствующей переменной. В нашем примере это температура T: T₃ = T_max в точке 3. Таким образом, мы можем задать масштаб по отсутствующей координате, проведя вертикальную линию T = T₃ (рис. 5), все остальные температуры будут находиться слева от этой линии. Задание масштаба (проведение первой линии) – это единственное произвольное действие при перестройке графиков. Далее находим точки 3 на новых графиках (по совпадению индексов «3» в кружках и на вертикали T = T₃).

Рис. 5

Теперь можно построить участки (переходы) 3–4 и 2–3. Переходу 2–3 соответствует формула    В координатах p, T – это прямая, проходящая через начало координат и точку 3 (рис. 5). Проведя эту прямую, находим точку 2 и, тем самым, температуру T₂. Продолжив вертикаль T = T₂ до координат V, T находим точку 2 на втором графике на пересечении линий T = T₂ и V = V_2,3. Соединив точки 2 и 3, отображаем переход 2–3 в координатах p, T и V, T.

Аналогично строятся переходы 1–2 и 3–4. Каждый из них в координатах V, T – это прямая проходящая через начало координат и точки 2 и 3 соответственно (рис. 6). Пересечение этих прямых с линией V = V_1,4 даёт точки 1 и 4 и соответственно искомые температуры T₁ и T₄ (на рис. 6 не указаны из-за недостатка места). Продолжив вертикали T = T₁ и T = T₄ до координат p, T, находим точки 1 и 4 в координатах p, T на пересечении с линиями p = p_1,2 и p = p_3,4.

Рис. 6

Завершаем построение, соединив все найденные точки прямыми линиями (рис. 7). При аккуратном выполнении всех операций точки T₁, T₂, T₃, T₄ должны лежать на обоих графиках на одних вертикалях, а прямые изохор и изобар проходить через начало координат в координатах p, T и V, T.

Рис. 7

2. Если график цикла задан в координатах V, T, новые координаты логичнее расположить так, как показано на рис. 8.

Рис. 8

3. Пусть цикл идеального газа задан в координатах p, T. Требуется найти вид этого цикла в координатах p, V и V, T. Решаем задачу в том же порядке. Строим новые координаты удобным образом, записываем соответствующие каждому участку графика формулы, используя уравнение (1), переносим заданные значения p_i и T_i (рис. 9).

Рис. 9

Находим точку или линию, где третий (отсутствующий на исходном графике) параметр имеет максимальное значение. В нашем случае это объём: V_max=V₂. Задаём масштаб по координате V, проводя линии V = V₂ в координатах p, V и V, T и определяя тем самым положение точки 2 в этих координатах.

Процесс 1–2 в координатах V, T – это прямая линия которая проходит через начало координат и точку 2. Проводим её и находим точку 1 на пересечении этой линии с вертикалью T = T_1,4. Отмечаем значение V₁ в координатах V, T и p, V.

Теперь самое трудное: в координатах p, V надо построить две гиперболы, проходящие через точки 1 и 2. Проще всего выполнить это построение по клеткам: в точке 2 pV = 6 • 2 = 12 клеток. Так как для каждой точки искомой гиперболы должно выполняться pV = 12, легко найти следующие точки: (p = 6, V = 2); (p = 4, V = 3); (p = 3, V = 4). Строим по этим точкам гиперболу и на её пересечении с линией p = p_3,4 находим точку 3. Чуть труднее построение для точки 1, т.к. p₁V₁ = 3: (p = 3, V = 1); (p = 6, V = 0,5) и т.д. – находим точку 4.

Значения V₃ и V₄ наносим на ось V в координатах V, T и p, V (рис. 10). Если гиперболы построены правильно, то эти точки должны оказаться на одной прямой, проходящей через начало координат.

Рис. 10

4. График цикла идеального газа, изображённый на рис. 11 в координатах p, V, надо построить в координатах p, T и V, T.

Рис. 11

Переход 1–2 не является изопроцессом, все три параметра p, V и T являются переменными, и в координатах p, T и V, T этот переход уже не будет описываться прямой линией. Тем не менее наши действия и их последовательность остаются прежними.

Ясно, что T_max = T₂, процесс 2–3 отображается прямой линией V = T   в координатах V, T; процесс 1–3 – прямой линией p = T  в координатах p, T.

Уравнение процесса 1–2 в координатах p, V задаётся уравнением p = V, где – константа (тангенс угла наклона заданной прямой): V =  p, так что уравнение (1) можно записать как  

Отсюда получаем V =  т.е. V ~ .

Из   = c получаем p =  т.е. p ~ .

Теперь можно через точки 1 и 2 и начало координат провести приблизительные кривые p ~   в координатах p, T и V ~   в координатах V, T и получить искомые графики (рис. 12).

Рис. 12

5. График цикла идеального газа, изображённый на рис. 13 в координатах p, V, построить в координатах p, T и V, T.

Изображаем все три системы координат.

Рис. 13

Записываем уравнения переходов 1–2 и 4–3:

p_1,2 = ₁V; p3,4 =  V_3,4 = 

где ₁ и ₂ – константы (наклоны линий 1–2 и 4–3, ₁ > ₂).

Из уравнения Клапейрона (1) получаем:

 

Легко видеть, что так что в координатах V, T кривая 1–2 пойдёт ниже кривой 4–3.

Далее получаем из (1):

p_1,2 = ; p_3,4 = .

Задаём масштаб по T: проводим линию T = T₂, находим положение линии T = T₁. Достраиваем остальные кривые.

6. График цикла идеального газа, изображённый на рис. 14 в координатах p, V, построить в координатах p, T и V, T.

Ход решения – записать уравнение линии 2–3, выразить p(V) и V(p) и с помощью уравнения Клапейрона (1) найти вид функций p(T) и V(T).

Рис. 14

Для каждой точки M(p, V), принадлежащей линии 2–3, из подобия треугольников (заштрихованного и цикла 1–2–3) можно записать:

 

Отсюда:

где

Вообще, зная общий вид уравнения прямой 2–3 в координатах p, V, можно было сразу записать p = p₀ – k₁V и, аналогично, V = V₀ – k₂p, где p₀ и V₀ – точки, в которых прямая 2–3 пересекает оси p и V (рис. 15).

Рис. 15

Подставим p = p₀ – k₁V в уравнение (1):

 

В координатах V, T – это парабола, проходящая через начало координат и пересекающая ось V в двух точках: V₁ = 0 и V₂ = . Очевидно, что вершина этой параболы T_max определяется из соотошения     или, по правилу T'(V) = 0:

В этой задаче лучше не искать T_max, а из вида заданного цикла задать T_min. Очевидно, что T_min = T₁.

Итак:

– располагаем новые оси p, T и V, T;
– переносим на них известные данные;
– определяем для каждого участка вид функций p(T), V(T) и T(V);
– задаём масштаб по температуре, проводя вертикаль T = T₁ (находим точку 1);
– строим прямые p = T и V = T;
– находим точки 2 и 3 в координатах p, T и V, T;
– в координатах p, T через точки 2, 3 и начало координат проводим (приблизительно) параболу и, проведя касательную к её вершине, находим T_max;
– завершаем построение параболой в координатах V, T через точки 2, 3 и начало координат с касанием в точке T_max.

Ч. 1 «Механика» см. в № 46/04. – Ред.

---

Булынин Вячеслав Леонидович окончил Ленинградский государственный университет в 1964 г. Работал в научно-исследовательских институтах в области прикладной сверхпроводимости. С 1992 г. преподавал физику, астрономию и математику в московских лицеях. Среди учеников, подготовленных за эти годы, – четырнадцать медалистов (три золотых и одиннадцать серебряных), а также призёры и победители олимпиад по физике в институтах Станкин, МИИТ, МГУ им. М.В.Ломоносова, МГТУ им. Н.Э.Баумана, МИФИ. Вячеслав Леонидович – автор двух сборников «Физика. Тесты и задачи», рекомендованных для школ и педвузов.