С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин, И.П.Николаев,
Н.Б.Подымова, М.С.Полякова, проф. В.И.Шмальгаузен,
физфак МГУ, г. Москва
chesnok@ msuilc.phys.msu.su

Продолжение. См. № 1, 3, 5, 7, 9/05

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет
вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2004 г.

III. Электродинамика

1  На плоской горизонтальной непроводящей шероховатой поверхности закреплён маленький шарик, имеющий заряд q. Маленький брусок массой m, несущий такой же по знаку и величине заряд, помещают на эту поверхность на расстоянии l₀ от закреплённого заряженного шарика. Какой путь l пройдёт брусок до остановки, если его отпустить без начальной скорости? Коэффициент трения между бруском и поверхностью . Поляризацией материала поверхности пренебречь. Электрическая постоянная ₀, ускорение свободного падения g.

Решение

Поскольку сила кулоновского взаимодействия между заряженными телами является потенциальной, для решения задачи можно воспользоваться законом изменения механической энергии. По условию, в начальном и конечном состояниях брусок неподвижен и его кинетическая энергия равна нулю. Следовательно, изменение потенциальной энергии взаимодействия зарядов равно работе силы трения на перемещении бруска из начального положения в конечное:

Отсюда находим 

Необходимо иметь в виду, что этот результат справедлив не всегда. В самом деле, если в начальном положении бруска сила кулоновского отталкивания меньше максимального значения силы трения покоя, т.е.

то брусок в движение не придёт. Поэтому полная формулировка ответа такова:

при 

l = 0, при

2  В плоском воздушном конденсаторе к одной из обкладок придвинута вплотную пластинка слюды  толщиной d₁=0,3 мм. Диэлектрическая проницаемость слюды = 7, площадь обкладок конденсатора S=200 см², расстояние между ними d=0,5 мм. Определите ёмкость конденсатора. Краевыми эффектами пренебречь. Электрическая постоянная ₀ = 8,85•10^–12 Ф/м.

Решение

Поверхность слюды, обращённая к левой обкладке конденсатора, является эквипотенциальной, т.к. напряжённость электрического поля перпендикулярна ей. Нанесём мысленно на эту поверхность тонкий проводящий слой. При этом потенциал поверхности останется тем же самым и разность потенциалов между обкладками конденсатора не изменится. Поэтому не изменится и ёмкость конденсатора. Следовательно, конденсатор с диэлектрической пластинкой можно рассматривать как два последовательно соединённых конденсатора ёмкостями

и

Окончательно

3  Плоский конденсатор представляет собой две параллельные металлические пластины, жёстко скреплённые между собой изолирующими стержнями. Конденсатор находится в вакууме и покоится на горизонтальной подставке. Между пластинами конденсатора распространяется пучок электронов, скорость которых ₀ направлена горизонтально. На какую величину N изменится сила реакции подставки, если на конденсатор подать напряжение, при котором пучок на выходе из конденсатора отклонится от первоначального направления на угол ? Поле конденсатора считать однородным, действием силы тяжести на электроны пренебречь. Поперечное сечение пучка и концентрация электронов в пучке на входе в конденсатор равны соответственно S и n. Масса электрона m.

Решение

Поскольку электрическое поле внутри конденсатора однородно и направлено перпендикулярно его пластинам, а вне его равно нулю, при пролёте конденсатора будет изменяться только поперечная составляющая скорости электронов, причём на выходе из конденсатора y=₀tg. Следовательно, изменение импульса одного электрона за время пролёта конденсатора равно (в проекции на ось Y)

С другой стороны, по закону изменения импульса, где F₁ – проекция на ось Y силы, действующей на электрон со стороны поля конденсатора, t – время пролёта конденсатора. Обозначив через l длину пластин конденсатора, находим, что и

Одновременно в конденсаторе находятся электронов. Поэтому полная сила, действующая на пучок, равна

По третьему закону Ньютона, искомая величина |N| = |F|. Поэтому окончательно

В зависимости от полярности напряжения на конденсаторе пучок будет отклоняться либо вверх (), либо вниз ( > 0). В соответствии с этим сила реакции подставки будет либо увеличиваться, либо уменьшаться на величину |N|.

4   Непроводящая трубка, открытая с обоих концов, расположена горизонтально. В трубке находятся два металлических поршня площадью S каждый, способные перемещаться без трения. Пространство между поршнями заполнено воздухом при атмосферном давлении, причём расстояние между поршнями мало по сравнению с их диаметром. Во сколько раз n уменьшится расстояние между поршнями, если зарядить их разноимёнными зарядами q и –q? Температура воздуха постоянна. Атмосферное давление p₀. Электрическое поле между поршнями считать однородным. Поляризацией материала трубки пренебречь. Электрическая постоянная ₀.

Решение

Обозначим через l₀ и l расстояния между поршнями до и после сообщения им зарядов. Напряжённость поля, создаваемого одним из поршней, равна

Поэтому величина силы электростатического притяжения между поршнями равна

Под действием этой силы поршни переместятся и займут новое положение равновесия. Обозначив через p давление воздуха в пространстве между поршнями после их зарядки, запишем условие равновесия каждого из поршней:

Поскольку температура воздуха постоянна, справедлив закон Бойля–Мариотта, согласно которому

Объединяя записанные выражения, получаем ответ: