В.В.Альминдеров, А.И.Черноуцан,
МИК «Глюон», г. Москва
gluon@yandex.ru; acher@gubkin.ru

XIII международная олимпиада «Интеллектуальный марафон-2004»

Международный интеллект-клуб «Глюон» в рамках международной программы «Дети. Интеллект. Творчество» при участии «Menza Czech Republic» («Фонд одарённых детей Чехии»), МГУ им. М.В.Ломоносова, фонда некоммерческих программ «Династия» и при поддержке компаний «Кирилл и Мефодий», «Физикон», ИД «Первое сентября» и журнала «Квант» провёл очередную XIII международную тест-рейтинговую олимпиаду «Интеллектуальный марафон-2004». Олимпиада проходила с 17 по 24 октября 2004 г. на базе международного «Юниорцентра», на берегу одного из красивейших озёр Европы в г. Сеч (Чехия).

Участники – одарённые школьники из разных регионов России, Казахстана и Норвегии, проявившие интерес к фундаментальным наукам, – соревновались в командных и индивидуальных турах по математике, физике, истории научных идей и открытий. Во второй раз школьники померились силами в командном туре по истории научных идей и открытий, а также в индивидуальных турах по биологии и экологии.

Впервые церемония открытия олимпиады проходила в замке XIII в. по канонам времён Средневековья. Участников встречали рыцари той эпохи и под барабанный бой сопровождали их во внутренний дворик. На открытии выступили организаторы олимпиады, представители мэрии Пардубицкого края, директор международного «Юниорцентра», участники. После завершения приветственных речей и представления команд-участниц состоялся рыцарский турнир. Рыцари в средневековых доспехах продемонстрировали своё умение фехтовать на мечах и сражаться в ближнем бою. Рыцарь-победитель повёл участников осматривать достопримечательности замка. После интересной экскурсии и фотографирования на память участники вернулись в свой базовый лагерь. (В один из экскурсионных дней участники съездили в известный средневековый город Кутну Гору. Этот город прославился своими серебряными рудниками и монетным двором, в котором чеканились монеты для всей Европы.)

День завершился устными командными соревнованиями по истории научных идей и открытий в области физики–математики, экологии–биологии. Затем последовали напряжённые рабочие дни, каждый школьник участвовал в командных и индивидуальных соревнованиях по направлениям.

Закрытие олимпиады проводилось в Русском культурном центре при Посольстве РФ в Праге. Участники посетили многие достопримечательности прославленного города и вечером вернулись в Сечь. На церемонии организаторы и члены жюри поблагодарили участников за интересную совместную работу, сказали тёплые слова всем, кто помогал в организации и проведении этого мероприятия. Особо было отмечено участие фонда «Династия» и компании «Кирилл и Мефодий». Впервые МИК «Глюон» совместно с ИД «Первое сентября» учредил специальный приз имени Иосефы Львовны Соловейчик, который вручили победителю по математике и лучшему учителю-математику, воспитавшего ученика-победителя. Церемония награждения прошла в праздничной обстановке. Всем участникам вручили сертификаты и памятные подарки олимпиады, а лучшие в индивидуальных и командных зачётах по всем номинациям были награждены дипломами, медалями, кубками и памятными сувенирами.

Абсолютным победителем олимпиады в командном зачёте стала команда классического лицея № 1 при РГУ (г. Ростов-на-Дону). Ей был вручен главный приз соревнований – Суперкубок – и призы от спонсоров. Команда была также лучшей в турах по физике, математике, истории научных идей и открытий, ей были вручены Малые кубки.

Второе место в общем зачёте заняла команда лицея № 1511 при МИФИ (г. Москва). Она также заняла второе место в турах по физике, истории научных идей и открытий и третье место по математике. Команде был вручён Большой кубок за второе место в общем зачёте и соответствующие дипломы за успехи в командных соревнованиях. На третье место вышла сборная команда г. Тольятти (региональный центр МИК «Глюон»), которая также стала второй по математике и третьей в туре «История научных идей и открытий» (кубок и дипломы за успехи в командных соревнованиях).

В биолого-экологическом направлении олимпиады «ИМ-2004» победу одержала сборная России (представители Электростали, Тольятти, Ростова-на-Дону), на 2-м месте оказались представители России (команда гимназии «Промо-М») и Норвегии, на 3-м – команда Казахстана. Всем им вручены кубки, дипломы и призы.

В индивидуальных соревнованиях абсолютным победителем олимпиады стал Ожогин Илья (11-й класс, классический лицей № 1 при РГУ) – большая золотая медаль и малая золотая медаль за 1-е место по математике, а также бронзовая медаль за 3-е место по физике.

Вторым призёром в общем зачёте стал ученик того же лицея Кучмиев Алексей – большая серебряная медаль и малая серебряная медаль за 2-е место по физике.

Большую бронзовую медаль в общем зачёте завоевал Китанин Илья – ученик 11-го класса классического лицея № 1 при РГУ.

В индивидуальном зачёте по физике лучшим стал Петров Кирилл (11-й класс, классический лицей № 1 при РГУ), ему вручена малая золотая медаль. Стан Крат (10-й класс, лицей № 1511 при МИФИ) получил серебряную медаль за 2-е место по математике, а Крахмалёв Андрей (11-й класс, лицей № 1511 при МИФИ) был награждён за 3-е место по математике малой бронзовой медалью.

В индивидуальных соревнованиях по биологии и экологии победу одержала Усачёва Светлана (11-й класс, классический лицей № 1 при РГУ) – золотая медаль. 2-е место занял Бобылёв Юрий (11-й класс, школа № 48, г. Тольятти), а 3-й оказалась Парамонова Наталья (11-й класс, лицей № 7, г. Электросталь) – соответственно серебряная и бронзовая медали. Все победители и призёры получили разные подарки и призы от организаторов и спонсоров олимпиады.

Международный интеллект-клуб «Глюон» приглашает региональные центры, школы, лицеи и гимназии, работающие с одарёнными детьми, принять участие в XIV международной олимпиаде «Интеллектуальный марафон-2005», который пройдёт в октябре 2005 года.

Заявки на участие присылайте по адресу: 115522, Москва, Пролетарский проспект, 15/6, корп. 2, МИК «Глюон».

Тел. (095)517-8014, факс (095)396-8227.

e-mail:gluon@yandex.ru (см. также сайт: www.informika.ru/text/goscom/gluon).

Физика

Письменный индивидуальный тур

1. Мотоциклист начинает разгоняться по круговой трассе, стараясь набрать скорость за минимальное время. Какую часть круга он пройдёт к моменту достижения максимальной скорости?

Решение. Ускорение мотоциклиста определяется силой трения. Чтобы набирать скорость максимально быстро, он должен в каждый момент времени иметь максимально возможное тангенциальное ускорение. Для этого полное ускорение также должно быть максимально большим, т.е.  Обозначив через   угол между вектором ускорения и вектором скорости, выразим тангенциальное и нормальное ускорения:

Продифференцировав второе уравнение по времени, получим

Учитывая, что а где – угол поворота радиуса-вектора мотоциклиста, получим Значит, с учётом начальных условий, в каждый момент времени = /2. В момент достижения максимальной скорости = /2. Следовательно, в этот момент = /4, т.е. мотоциклист прошёл восьмую часть окружности.

2. Два свинцовых шарика, отпущенные с большой высоты, достигают при падении в воздухе установившихся скоростей 100 м/с и 150 м/с. Чему будет равна установившаяся скорость падения, если шарики соединить длинной невесомой нитью? Сила сопротивления пропорциональна площади поперечного сечения и квадрату скорости.

Решение. При установившемся падении сила сопротивления воздуха равна силе тяжести. Поскольку , а где k – коэффициент пропорциональности, получаем:

Для шариков, связанных нитью, или

Подставив сюда R₁ и R₂, получим

3. Частица движется в центральном силовом поле F = –kr по круговой траектории радиусом R₀. Внезапно в некоторый момент времени происходит уменьшение коэффициента k в два раза. Каким будет максимальное удаление частицы от силового центра? По какой траектории будет двигаться частица?

Решение. Первоначально в проекциях на координатные оси уравнение движения точки имеет вид:

ma_x = –k_x; ma_y = –k_y,

т.е. движение по каждой оси происходит по закону гармонических колебаний с частотой амплитудой R₀ и максимальной скоростью равной скорости движения точки по окружности. Выберем оси координат так, чтобы в тот момент, когда k скачком уменьшается в два раза, точка находится на оси Y: x=0, y=R₀. После этого движение в проекциях на оси будет происходить по закону гармонических колебаний с частотой причём в силу начальных условий амплитуда колебаний вдоль оси y останется равной R₀, а вдоль оси X амплитуда станет равной Движение точки будет происходить по эллипсу с минимальным и максимальным удалением от центра R₀ и R₀.

4. В морозную ночь на поверхности озера начинает нарастать лёд, за первые 5 ночных часов он достигает толщины 5 см. Какой станет толщина льда ещё через 5 ч, если температура воздуха не меняется? Считать, что теплопроводность льда велика по сравнению с теплопроводностью воды.

Решение. Будем считать, что теплота, выделяющаяся при кристаллизации на границе воды и льда, уходит через лёд наружу за счёт разности температур T между нижней и верхней кромками льда (т.е. пренебрежём потоком тепла от воды):

Здесь – удельная теплота плавления льда, – теплопроводность льда, h – толщина слоя льда. Отсюда

Поскольку в начальный момент толщина льда была равна нулю, то h~ Через 10 ч толщина льда будет в раз больше, чем через 5 ч, т.е. составит примерно 7 см.

5. В вертикальном цилиндре под поршнем находится в равновесии идеальный одноатомный газ при температуре 280 К. С помощью нагревателя газ очень быстро (так, что поршень не успевает сдвинуться с места) нагревают до температуры 350 К. Чему будет равна температура газа после установления нового равновесия? Снаружи – вакуум.

Решение. Запишем условие равновесия поршня в начальном состоянии (до нагревания) и конечном (после прихода в равновесие):

pS=mg.

Уравнение Клапейрона–Менделеева для этих состояний имеет вид:

p(Sh₁) = RT₁; p(Sh₂) = RT₃.

Из этих уравнений получаем соотношения:

mgh₁ = RT₁; mgh₂ = RT₃,

которые подставим в закон сохранения энергии:

mgh₁ + RT₂ = mgh₂ + RT₃,

где T₂ – температура сразу после нагревания. Получаем

RT₁ + RT₂= RT₃ + RT₃.

Отсюда

6. Тонкий проводящий диск толщиной d и площадью S падает в вертикальном положении в горизонтальном магнитном поле индукцией B, линии которой параллельны плоскости проводника. Найдите ускорение, с которым падает диск, если его масса m.

Решение. Если диск в данный момент имеет скорость , то действующая на электрон сила Лоренца должна быть уравновешена силой со стороны электрического поля:

qB = qE.

Для этого на противоположных поверхностях диска должен появиться заряд

Следовательно, от одной поверхности к другой протекает горизонтальный ток силой

на который действует направленная вверх сила Ампера F_A = Подставляя это выражение в уравнение движения (2-й закон Ньютона) mg–F_A=ma, получим ответ для ускорения:

7. Определите сжатие Юпитера у полюсов R/R₀ (R – разность между радиусами на экваторе и на полюсе, R₀ – средний радиус планеты), если известно, что R₀=70 000 км, g=20 м/с² у поверхности, а период обращения планеты вокруг своей оси равен 10 ч. Считать, что основная масса планеты сосредоточена в плотном, компактном сферическом ядре.

Решение. Будем решать задачу в предположении небольшого отклонения формы планеты от сферической. Во вращающейся системе отсчёта на любой элемент покоящейся жидкости кроме силы тяготения mg действует центробежная сила инерции F_цб = m2r, направленная от оси вращения (r – расстояние до оси). Поскольку все точки поверхности должны иметь одинаковый потенциал, то работа по переносу пробной массы m из центра планеты до поверхности должна быть одинаковой для экватора и полюса. Получим откуда 

Устный командный тур

1. Можно ли на самолёте догнать лунную тень, движущуюся по поверхности Земли на широте Пардубице?

Ответ. Скорость тени равна скорости движения поверхности Земли за счёт суточного вращения, т.е. примерно 1100 км/ч.

2. Пустая бутылка ёмкостью 0,5 л весит 250 г. Найдите плотность стекла, из которого сделана бутылка, если известно, что плавающая в воде бутылка тонет, когда её заполняют водой на 70%.

Ответ. Масса тонущей бутылки 250 г + 350 г = 600 г, внешний объём бутылки 0,6 л, объём стекла 0,1 л, плотность стекла 2500 кг/м³.

3. Невесомый стержень длиной 2l, на котором закреплены два одинаковых груза на расстояниях 0,2l от его концов, свободно вращается с угловой скоростью вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. В некоторый момент грузы освобождаются и начинают скользить по стержню без трения. За какое время грузы достигнут концов стержня?

Ответ. Поскольку стержень невесомый, момент сил, действующих на него со стороны грузов, должен быть равен нулю. Следовательно, грузы не взаимодействуют со стержнем и движутся равномерно по прямой со скоростью Пройдя расстояние они достигнут концов стержня. Это займёт время 

4. При испытании новой модели электрического чайника, рассчитанного на мощность P=300 Вт и напряжение сети U=110 В, оказалось, что вода нагревается почти до 100 °C, но не закипает. За какое время чайник выкипит наполовину, если его подключить к сети 220 В? Масса воды m=1 кг, удельная теплота парообразования r=2,3 МДж/кг.

Ответ. Мощность тепловых потерь при 100 °C равна P. При увеличении напряжения в два раза мощность нагревателя возрастает до 4P, причём P тратится на тепловые потери, а 3P – на испарение воды. Из уравнения 3Pt = rm/2 найдём t = 21 мин.

5. На расстоянии r от заземлённого металлического шарика радиусом находится точечный заряд q. Во сколько раз увеличится сила, действующая на шарик, если к нему поднести второй такой же заряд и расположить его на расстоянии r/2 от шарика так, что отрезки, соединяющие шарик с зарядами, будут взаимно перпендикулярны?

Ответ. Наведённый на шарике заряд Q находится из условия равенства нулю потенциала его центра:

При поднесении второго заряда наведённый заряд увеличится в 3 раза. Если вначале на шарик действовала сила величиной F притяжения к заряду q, то теперь на него действуют две взаимно перпендикулярные силы: величиной 3F со стороны первого заряда и величиной 12F со стороны второго. Равнодействующая этих сил равна по величине

6. Длинная трубка, закрытая с верхнего конца, выступает из воды на 10 см. Трубка целиком заполнена водой, но содержит маленький пузырёк воздуха. Где будет находиться уровень воды в трубке, если её нагреть до 100 °C?

Ответ. Давление насыщенного водяного пара при 100 °С равно нормальному атмосферному, поэтому уровень воды в трубке сравняется с уровнем воды в сосуде.

7. В лодку налили столько воды, что её уровень сравнялся с уровнем воды в водоёме. Изменится ли глубина погружения лодки, если в неё положить бревно, плавающее на поверхности воды? Течь в лодке отсутствует.

Ответ. Глубина погружения увеличится.

8. Бруску, сечение которого имеет вид правильного шестиугольника (большой карандаш), сообщили начальную скорость в поперечном направлении. При каких значениях коэффициента трения он будет скользить, не перекатываясь?

Ответ. Если брусок близок к перекатыванию, он опирается о плоскость только передним нижним ребром. Приравнивая моменты сил трения и нормальной реакции относительно центра бруска, получим   т.е. Перекатывания не будет при < 0,58.

9 (экспериментальная задача). Демонстрируется опущенная в воду растворимая таблетка аспирина «Упса», которая некоторое время лежит на дне, а затем всплывает. Требуется объяснить явление.

Ответ. Площадь поверхности таблетки при растворении уменьшается медленнее, чем её объём.

История научных идей и открытий

Устный командный тур

1. Описывая историю своих астрономических открытий, этот замечательный учёный написал так: «…Наконец, не щадя ни труда, ни издержек, я дошёл до того, что построил себе прибор, до такой степени превосходный, что при его помощи предметы казались почти в 1000 раз больше и более чем в 30 раз ближе, чем при наблюдении простым глазом». В это же время похожий телескоп построил и другой известный учёный.

? В каком году это происходило? (Назовите хотя бы примерную дату.)

? Назовите этих двух учёных.

? В каких городах они жили, когда изобретали эти приборы?

? В процитированном выше отрывке говорится о труде и издержках. В чём заключался основной труд и почему необходимы были значительные денежные затраты?

? В чём заключалось различие между конструкциями телескопов этих двух учёных?

? Какая конструкция применялась в астрономии гораздо чаще?

? Перечислите несколько астрономических открытий, сделанных первым из этих двух учёных с помощью телескопа.

Ответы

– В 1609 г.

– Галилео Галилей и Иоганн Кеплер.

– Галилей – в Венеции и её окрестностях (Падуя), Кеплер – в Праге.

– Труд – в шлифовании линз, доведении их поверхностей до сферических; издержки – в высокой стоимости стекла для линз, которое должно быть особо однородным.

– Галилей использовал плосковыпуклую и плосковогнутую линзы примерно с одинаковыми фокусными расстояниями, а Кеплер – две плосковыпуклые линзы: длиннофокусную для объектива и короткофокусную для окуляра.

– Телескоп Кеплера – он давал большую яркость изображения.

– Спутники Юпитера, кольца и спутник Сатурна, характер поверхности Луны, фазы Венеры.

2. В 1600 г. был опубликован научный труд, озаглавленный «О магните, магнитных телах и великом магните Земли».

? Кто автор этого труда?

? Какая из идей, высказанных в этом труде, облегчила Ньютону открытие закона всемирного тяготения?

? Какой учёный практически одновременно с Ньютоном сформулировал закон тяготения? Чем ещё известен этот учёный?

Ответы

– Уильям Гильберт.

– Идея о передаче силового взаимодействия через пространство, а не только при непосредственном соприкосновении тел.

– Роберт Гук. Закон упругости, круговой пружинный маятник для ручных часов, систематизированный обзор микроскопического мира, включая открытие клеток, микрометр, использование пара в насосах (вместе с Папеном).

3. На купюрах американской валюты изображены основатели Соединённых Штатов Америки и некоторые выдающиеся политические деятели.

? Какой известный учёный-естествоиспытатель (он изобрёл, в частности, кресло-качалку) изображён на одной из купюр?

? Каков наиболее существенный вклад этого учёного в науку?

? В чём заключалась его общественная деятельность на благо своей родины?

? Кто автор романа об одном из эпизодов жизни этого учёного? Как он называется?

? Какие российские учёные примерно в то же время занимались той же самой научной проблемой? Почему об одном из них английский религиозный философ и учёный Джозеф Пристли сказал, что он «нашёл свою завидную смерть»?

Ответ

– Бенджамин Франклин.

– Создал первую теорию электричества, исследовал атмосферное электричество и изобрёл мол-

ние(громо)отвод.

– Участвовал в работе над Декларацией независимости и Конституцией США; будучи послом во Франции, добился значительной финансовой помощи и участия французских волонтёров в войне за независимость (в числе этих добровольцев был герцог Лафайет).

– Лион Фейхтвангер, «Лисы в винограднике».

– М.В.Ломоносов и Георг Рихман, который погиб при проведении опытов с «притягиванием» молнии к молниеотводу.

4. В истории науки первой половины XX в. очень большую роль сыграло развитие работ Дж.Томсона о применении силы Лоренца для определения удельного заряда и массы электрона. Ученик Томсона сконструировал прибор, который он назвал масс-спектрографом, и за время с 1919 по 1937 гг. значительно улучшил его конструкцию, добившись точности измерения масс атомов до 0,001%.

? Назовите имя этого учёного.

? В чём заключались первые важные результаты применения масс-спектрографов, за которые этот учёный получил Нобелевскую премию по химии?

? В чём заключалось главное практическое значение результатов точных измерений масс атомов для человечества?

Ответ

– Фрэнсис Астон.

– Открытие в 1919–1922 гг. большого числа изотопов химических элементов.

– Точные измерения масс атомов позволили измерить дефект масс атомных ядер, знание которого было необходимо для практического использования ядерной энергии.

5. В 1880 г. окончил Пражский университет (получив второе высшее техническое образование). Один из самых выдающихся изобретателей и конструкторов в области электротехники и радиотехники. Он работал в разных фирмах и получал за свою работу крупные вознаграждения, например, по одному доллару за каждый киловатт мощности создаваемых им двигателей. Это позволяло ему думать только о работе. Одно из его дел – строительство Ниагарской гидроэлектростанции.

? Назовите имя этого учёного и изобретателя.

? В какой стране он жил и работал с 1884 г. до своей смерти в возрасте 87 лет?

? Какие его изобретения вам известны?

? Какая физическая единица названа его именем в Международной системе единиц? Выразите размерность этой величины через основные единицы СИ.

Ответ

– Никола Тесла (1856–1943).

– В США.

– Электродвигатели, электрогенераторы, высокочастотные трансформаторы, радиоантенны.

– Тесла – единица магнитной индукции. Тл = кг/(А^.с²).