С.Е.Муравьёв,
МИФИ, г. Москва

Олимпиада по физике памяти академика И.В.Курчатова

МИФИ-2005

1. Если к некоторому резистору приложить напряжение U=100 В, ток через этот резистор будет равен I=1 А. Какая мощность будет выделяться, если такое же напряжение приложить к резистору с вдвое большим сопротивлением?

Решение

Из закона Ома для участка цепи находим величину первого сопротивления По закону Джоуля–Ленца находим мощность, которая выделяется на вдвое большем сопротивлении:

 

2. Если к телу, находящемуся на горизонтальной поверхности, приложить силу F= 120 Н, направленную вниз под углом = 60° к горизонту, то тело будет двигаться равномерно. С каким ускорением будет двигаться тело, если силу той же величины направить вверх под тем же углом? Масса тела m=25 кг. Считать ускорение свободного падения g=10 м/с².

Решение

Силы, действующие на тело в первом случае, показаны на рис. а. Здесь F – внешняя сила, N – сила реакции опоры, mg – сила тяжести, F_тр – сила трения. Второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси с учётом равенства нулю ускорения тела имеет вид:

        (1)

Поскольку тело движется, то F_тр=kN, где k – коэффициент трения между телом и поверхностью. Из системы (1) находим:

.        (2)

Силы, действующие на тело во втором случае, показаны на рис. б. Второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси имеет вид:

        (3)

Здесь учтено, что проекция внешней силы на вертикальную ось (Fsin = 104 Н) меньше силы тяжести (mg = 250 Н), и потому тело под действием внешней силы будет двигаться вдоль поверхности. Поскольку F_тр = kN, из системы (3) и формулы (2) находим ускорение тела во втором случае:

3. С одним молем идеального одноатомного газа происходит процесс, график которого в координатах p, V приведён на рисунке (1–2 и 3–4 – изохоры, 2–3 и 4–1 – изобары). Температуры газа в состояниях 1 и 3 равны соответственно T₁ и T₃, точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Найдите количество теплоты, полученное газом в течение процесса.

Решение

Газ получает теплоту при переходах 1–2 и 2–3. По первому закону термодинамики:

где Q – количество теплоты, сообщённое газу в изучаемом процессе, U – изменение его внутренней энергии, A – работа, совершённая газом. Найдём две последние величины.

Поскольку газ одноатомный идеальный, внутренняя энергия одного моля газа определяется соотношением U=RT, где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура. Поэтому в процессе 1–2–3:

где T₃ и T₁ – температуры газа в состояниях 3 и 1 соответственно.

Работа, совершённая газом в процессе 1–2–3, равна площади фигуры под графиком процесса в координатах p, V. Поэтому из рис. 3 находим

         (4)

где p₃ – давление газа в состоянии 3, V₃ и V₁ – объёмы газа в состояниях 3 и 1. Поскольку процесс 1–2 – изохора, а процесс 2–3 – изобара, то V₂=V₁ и p₂=p₃, где p₂ и V₂ – давление и объём газа в состоянии 2. Поэтому из (4) и уравнения Клапейрона–Менделеева имеем:

         (5)

где T₂ – температура газа в состоянии 2. Найдём температуру T₂. Так как процессы 1–2 и 3–4 – изохорические, то

               (6)

Разделим первое из равенств (6) на второе, учитывая, что p₂=p₃, а p₄=p₁. Температуры газа в состояниях 2 и 4, по условию задачи, совпадают (T₄=T₂), поэтому

             (7)

Из формулы (7) находим

         (8)

Объединяя все формулы, получим:

4. Палочка длиной l стоит вертикально на горизонтальной опоре около стенки. На нижнем конце палочки сидит жук. В некоторый момент времени палочка начинает двигаться так, что её нижний конец движется с постоянной скоростью по горизонтальной опоре, а верхний скользит вдоль стенки. В этот же момент жук начинает двигаться вдоль палочки с постоянной (относительно палочки) скоростью ₁. На какую максимальную высоту над горизонтальной опорой поднимется жук?

Решение

Очевидно, что высота, на которой жук находится над горизонтальной поверхностью, имеет максимум. Действительно, в начальный момент времени жук находится на поверхности, в момент падения палочки на поверхность – тоже (если, конечно, за время падения палочки он не успел доползти до стенки; см. также ниже).

Для нахождения максимальной высоты подъёма найдём высоту жука над поверхностью как функцию времени движения, продифференцируем эту функцию и приравняем производную к нулю. Пусть движение жука началось в момент t=0. Из рисунка видно, что в момент времени t жук находится над горизонтальной поверхностью на высоте

             (9)

где – угол между палочкой и горизонтальной поверхностью в этот момент. С другой стороны, из прямоугольного треугольника, который составляют палочка, горизонтальная и вертикальная поверхности, находим:

             (10)

Отсюда:

         (11)

Продифференцируем функцию (11) по времени:

         (12)

Приравнивая производную (12) к нулю, найдём время, через которое жук оказывается на максимальной высоте над горизонтальной поверхностью:

             (13)

Подставим теперь время (13) в формулы для угла наклона палочки к поверхности (10) и для высоты (9).

Получим:

             (14)

                 (15)

Формула (15) и даёт ответ на поставленный в задаче вопрос о максимальной высоте подъёма жука. При этом из формулы (14) следует, что жук оказывается на максимальной высоте над поверхностью в тот момент, когда палочка наклонена под углом = 45° к поверхности, причём независимо от скоростей палочки и жука (довольно неожиданный результат). Из неё можно получить и более точное ограничение на скорости палочки и жука, при которых рассмотренное решение имеет смысл. Действительно, рассмотренное решение справедливо, если за то время, за которое палочка наклонилась под углом ₀ к поверхности, жук не успел доползти до её конца, т.е. при

                 (16)

Если же выполнено обратное неравенство, то жук успеет доползти до вертикальной стенки, всё время поднимаясь над поверхностью. Поэтому вопрос о максимальной высоте подъёма жука зависит от его дальнейшего движения, которое никак не определено в условии задачи.

Существует и технически более простое решение этой задачи, в котором максимальную высоту подъёма можно найти без дифференцирования. Из формул (9) и (10) найдём высоту подъёма как функцию угла наклона палочки к поверхности, исключая время из этих уравнений:

         (17)

Максимум функции (17) легко найти и без дифференцирования: очевидно, что он достигается, когда максимален sin2 ( = 45°), и равен

                 (18)

Формула (18) даёт тот же ответ, что и формула (15).

5. Очень большое количество одинаковых тонких собирающих линз фокусным расстоянием f расположены на одинаковых расстояниях друг от друга так, что главные оптические оси всех линз совпадают. Расстояние между линзами много меньше их фокусного расстояния. На первую линзу перпендикулярно её плоскости падает луч света. Найдите расстояние между точками, в которых луч в третий и четвёртый разы пересекает главную оптическую ось.

Решение

Самая сложная задача из предлагавшихся школьникам на олимпиаде. Причём, если более или менее понятно, что делать в этой задаче (надо рассмотреть ход луча в нескольких линзах, «уловить» закономерность и сделать вывод о том, в каких точках луч будет пересекать главную оптическую ось), то как делать – совершенно неясно. Ведь формула линзы достаточно громоздка, и трудно поверить, что её многократное применение приведёт к какому-то компактному («разумному») ответу. Поэтому поступим по-другому. Качественно построим ход рассматриваемого луча в системе линз. Возможно, это построение подтолкнёт нас к правильному решению.

Поскольку линзы собирающие, то каждая будет «прижимать» луч к главной оптической оси. По условию, фокусное расстояние линз много больше расстояния между ними, а луч после прохождения линзы пересёк бы главную оптическую ось на таком расстоянии от линзы, которое по порядку величины близко к фокусному расстоянию. Поэтому между каждой парой линз луч будет смещаться очень незначительно.

Для качественного построения хода луча можно рассуждать так. После прохождения первой линзы луч несколько «прижмётся» к главной оптической оси, после прохождения второй – ещё, затем ещё, и в какой-то точке (пройдя большое количество линз) пересечёт главную оптическую ось, повернув при этом на значительный угол за счёт большого числа преломлений в линзах. После этого луч будет снова «поворачивать» к главной оптической оси и на каком-то расстоянии от точки пересечения станет параллельным главной оптической оси. Дальнейший ход луча будет повторять описанный выше. Качественно ход луча в системе линз показан на рисунке.

Можно сделать такие выводы. С одной стороны, луч представляет собой некоторую ломаную линию (между линзами луч прямой), с другой – если считать, что расстояние между линзами очень мало, луч будет описываться «почти» плавной линией, которая, заметим, похожа на синусоиду и много раз пересекает главную оптическую ось. Поэтому здесь возникает следующая идея. Будем приближённо считать луч плавной кривой и попытаемся получить уравнение этой кривой.

Для этого рассмотрим прохождение луча через одну линзу, находящуюся на некотором расстоянии x от начала координат.

Пусть луч падает на эту линзу под углом к главной оптической оси на расстоянии y от неё. Построим продолжение этого луча после линзы и найдём угол между его продолжением и главной оптической осью. Для построения проведём через центр линзы вспомогательный луч, параллельный падающему. Эти два луча пересекутся в фокальной плоскости линзы, причём луч, проходящий через её центр, не преломляется. Поэтому

         (19)

где B – точка пересечения рассматриваемого луча с фокальной плоскостью, F – фокус линзы, AF=y, f – фокусное расстояние линзы. Поскольку тангенс угла наклона луча равен «минус производной» искомой функции y(x) («минус», потому что и отсчитаны по часовой стрелке от оси X), то уравнение (19) можно переписать в виде

             (20)

Поделим правую и левую части уравнения (20) на расстояние d между линзами. Поскольку это расстояние мало, то левая часть получившегося уравнения приближённо равна второй производной искомой функции y(x) в точке, где находится линза, причём это приближение тем лучше, чем меньше расстояние d по сравнению с тем расстоянием, на котором изменяется функция y(x) (т.е. с f):

             (21)

Поэтому уравнение (20) можно приближённо представить в виде

                                         (22)

Это уравнение совпадает по форме с дифференциальным уравнением гармонических колебаний координаты колеблющегося тела:

                                         (23)

где ² – некоторое постоянное число. Функция x(t), удовлетворяющая уравнению (23), определяется комбинацией синуса и косинуса от аргумента t, т.е. является периодической функцией времени с периодом

Поскольку уравнение (22) совпадает по форме с уравнением (23) (причём ²=1/(fd)), то зависимость искомой функции y(x) от координаты x также представляет собой комбинацию тригонометрических функций (но не от времени, а от координаты x) с периодом Здесь период L имеет смысл не времени полного колебания, как в решении уравнения (23), а длины, на которой световой луч дважды пересекает ось X. Поэтому расстояние между ближайшими точками пересечения лучом главной оптической оси (и в частности, между третьим и четвёртым пересечениями) равно половине периода, т.е. В заключение ещё раз подчеркнём, что приведённое решение является приближённым и тем ближе к точному решению, чем точнее выполняется неравенство

Приглашаем желающих участвовать в Дне учителя физики на cледующем, 5-м Московском марафоне учебных предметов (2006 г.) со своими видео- или DVD-фильмами – записями уроков, внеклассных мероприятий, физических спектаклей, мастер-классов и т.п. Хотя редакция не может оплатить проезд и проживание в гостинице, но может помочь найти недорогую и вполне приличную. Присылайте свои заявки по обычной или электронной почте (см. с. 48) с указанием авторов, темы, краткого содержания и продолжительности просмотра.

Методисты! Предлагаем организовать спецномер с работами «подопечных» учителей. Вам не надо редактировать эти работы – надо просто отобрать наиболее интересные, с вашей точки зрения, положить в пакет и отправить бандероль по почте (или, если есть возможность, в электронном виде – по e-mail).