В.М.Буханов, А.В.Грачёв, В.А.Погожев,
Н.И.Чистякова, А.А.Якута
yakuta@genphys.phys.msu.su

 

Физфак МГУ-2004

Вступительные испытания по физике

Продолжение. См. №  4, 6, 8/05

I. МЕХАНИКА (окончание)

11

На гладкой плоскости, образующей с горизонтом угол , лежит длинная доска массой M, упирающаяся нижним торцом в лёгкую пружину, нижний конец которой закреплён. На доске находится кубик массой m, который с помощью параллельной доске нити медленно равномерно перемещают вверх, как показано на рис. 14. Оси пружины и доски, нить и центр масс кубика находятся в одной вертикальной плоскости. При каком коэффициенте трения кубика о доску он будет совершать гармонические колебания после внезапного обрыва нити?

Решение

Как обычно, будем считать наклонную плоскость неподвижной относительно некоторой инерциальной системы отсчёта, а кубик и доску твёрдыми телами. По условию задачи, кубик с помощью нити медленно перемещают вверх. Следовательно, можно пренебречь действием на кубик сил сопротивления со стороны воздуха. Будем считать, что сила сухого трения скольжения не зависит от относительной скорости движения взаимодействующих тел и равна максимальному значению силы сухого трения покоя между ними. Учитывая, что, по условию задачи, оси пружины и доски, нить и центр масс кубика лежат в одной вертикальной плоскости, а кубик движется равномерно. При выполнении сделанных предположений на основании второго закона Ньютона можно полагать, что доска до обрыва нити покоилась, кубик двигался поступательно, сила натяжения нити была направлена вверх параллельно наклонной плоскости, а её величина была равна

где g – величина ускорения свободного падения.

После обрыва нити кубик будет скользить вверх по доске до тех пор, пока за счёт работы над ним силы тяжести и силы трения со стороны доски его скорость не станет равной нулю. Вплоть до этого момента времени (t=0) величина деформации пружины должна оставаться неизменной, а доска покоящейся, т.к. действующая со стороны кубика на доску сила сухого трения скольжения не изменяется. После остановки не только величина, но и направление силы трения изменятся, а потому доска не может оставаться неподвижной.

По условию задачи, кубик после обрыва нити должен совершать гармонические колебания. Следовательно, механическая энергия кубика, доски и пружины после возникновения этих колебаний должна оставаться неизменной. Так может быть только в том случае, когда на указанные тела не действуют силы трения со стороны воздуха, а кубик остаётся неподвижным относительно доски. Поэтому уравнения движения кубика и доски в проекциях на ось Х, направленную вниз параллельно наклонной плоскости, для моментов времени t>0 имеют вид:

где – проекция ускорения кубика и доски на ось Х, F_тр(t) – проекция силы трения, действующей на доску со стороны кубика, а начало отсчёта вдоль оси Х соответствует положению некоторой фиксированной точки С доски при недеформированной пружине. При составлении этих уравнений движения было учтено, что, по условию задачи, кубик и доска могут двигаться лишь поступательно, массой пружины следует пренебречь, при всех возможных деформациях пружины справедлив закон Гука, а силы трения между доской и кубиком подчиняются третьему закону Ньютона. Складывая почленно последние два уравнения, получаем

Учитывая, что первый член в правой части этого уравнения не зависит от времени, уравнение можно представить в виде:

где Нетрудно проверить, что такой выбор x₁ означает, что начало отсчёта вдоль оси Х соответствует положению точки С при равновесии доски с грузом на наклонной плоскости.

С учётом указанного выше выбора начала отсчёта времени непосредственной подстановкой можно убедиться, что решение этого уравнения имеет вид

где амплитуда колебаний A равна модулю разности величин деформаций пружины до обрыва нити и в те моменты, когда после её обрыва ускорение кубика становится равным нулю, т.е. равна

а угловая частота колебаний

Из полученных выражений следует, что ускорение кубика при гармонических колебаниях будет изменяться по закону

а потому, согласно приведённому выше уравнению движения кубика, величина действующей на кубик силы трения со стороны доски:

Следовательно, кубик будет совершать гармонические колебания после обрыва нити, если максимальная величина силы трения покоя будет не меньше, чем Учитывая, что максимальная величина силы сухого трения покоя равна после простых алгебраических преобразований с учётом ранее найденных значений амплитуды и частоты колебаний получим искомое значение коэффициента трения кубика о доску:

12

Плоская ультразвуковая монохроматическая волна постоянной интенсивности падает нормально на стеклянную пластинку достаточно больших размеров толщиной L = 2,5 мм. Прошедшая через пластинку волна регистрируется приёмником. При увеличении частоты падающей волны амплитуда сигнала на выходе приёмника становится минимальной при частоте = 550 кГц, а затем возрастает, достигает максимума при частоте, равной 2, после чего вновь начинает убывать. Пренебрегая поглощением ультразвука и многократными отражениями, найдите скорость с звука в стекле.

Решение

Падающая на пластинку ультразвуковая волна частично отражается от передней грани этой пластинки, а частично проходит через неё. Распространяющаяся в пластинке волна падает на заднюю грань, частично выходит из пластинки, а частично отражается от этой грани. В свою очередь, эта отраженная волна, распространяясь в материале пластинки, вновь встречает на своем пути границу стекло–воздух, частично отражается от неё, падает на заднюю грань и частично выходит из пластинки. Пренебрегая в соответствии с условием задачи последующими отражениями, можно утверждать, что за пластинкой в перпендикулярном её граням направлении распространяются две волны: первая однократно проходит через пластинку, а вторая, дважды испытав отражение от границы стекло–воздух, проходит в стекле расстояние 3L. Как известно, при прохождении волны через границу раздела изменения фазы волны не происходит, а фаза отражённой волны может быть либо той же, либо изменяется на противоположную в зависимости от соотношения плотностей сред перед и после границы раздела и скоростей распространения волн в этих средах. В школьном курсе физики не рассматриваются соотношения, позволяющие найти изменение фазы акустических волн при отражении от границы раздела двух сред. Однако из сказанного следует, что изменение фазы второй волны, обусловленное её двукратным отражением от границы стекло–воздух, либо равно нулю, либо (как это и действительно имеет место) равно 2. Поэтому можно считать, что на приёмник одновременно падают две монохроматические волны, разность хода между которыми постоянна и равна 2L.

Пусть начало отсчёта времени выбрано так, что в непосредственной близости от приёмника закон движения частиц воздуха, если бы из пластинки выходила только однократно прошедшая через неё волна, имеет вид:

Тогда закон движения этих же частиц при наличии только второй волны можно было бы представить в виде:

где = 2L/c – время задержки, необходимое для двукратного прохождения стеклянной пластинки ультразвуковой волной. Поэтому, воспользовавшись принципом суперпозиции, можно утверждать, что в непосредственной близости от приёмника закон движения частиц воздуха в рассматриваемом случае должен иметь вид:

Как известно, сумма двух гармонических функций, изменяющихся с одинаковыми частотами, так- же является гармонической функцией, изменяющейся с той же частотой, т.е. закон движения частиц воздуха в непосредственной близости от приёмника в нашем случае имеет вид:

где А₀ – амплитуда, а – начальная фаза суммарного колебания. Воспользовавшись теоремой косинусов, можно доказать, что

Амплитуда сигнала на выходе приёмника акустических волн может быть пропорциональна либо амплитуде падающей на него волны, либо её интенсивности, причём в общем случае эта амплитуда может зависеть и от частоты регистрируемой волны. В условии задачи специально не оговаривается наличие последней зависимости. Поэтому будем считать, что амплитуда сигнала на выходе приёмника в рассматриваемом диапазоне частот не зависит от частоты регистрируемой волны. Вспоминая, что интенсивностью излучения называют отношение энергии за период колебаний частиц среды, переносимой волной через площадку, перпендикулярную направлению её распространения, в расчёте на единицу площади этой площадки, к длительности этого периода, а энергия колеблющейся частицы пропорциональна квадрату амплитуды её колебаний, можно утверждать, что при минимальной амплитуде будет минимальна и её интенсивность.

По условию задачи, амплитуда сигнала на выходе приёмника была минимальной при частоте = 550 кГц, а затем с ростом частоты возрастала, пока эта частота не стала равной 2.

Поэтому, используя предыдущее выражение, можно утверждать, что

и

где n – целое число. Решая совместно эти уравнения, получим, что n = 0, а искомая скорость ультразвука в стекле равна

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

1

Прочный закрытый сосуд заполнен водой при температуре t=27°C. Каким было бы давление в сосуде при той же температуре, если бы в нём находилось столько же частиц идеального газа, сколько атомов содержится в находящейся в сосуде воде?

Решение

Пусть объём воды, находящейся в сосуде, равен V. По условию задачи, вода находится в сосуде при условиях, близких к нормальным. Поэтому её плотность из-за низкой сжимаемости можно считать равной = 1 г/cм³. Известно, что молекула воды состоит из двух атомов водорода и одного атома кислорода, а потому её молярная масса равна = 18 г/моль. Вспоминая определение моля вещества, можно утверждать, что в сосуде находится = 3V/ молей атомов.

Согласно уравнению состояния идеального газа, если в объёме V находится N частиц при температуре Т по шкале Кельвина, то давление газа должно быть равно где k – постоянная Больцмана. По определению, моль вещества содержит число Авогадро структурных элементов, а произведение числа Авогадро на постоянную Больцмана равно универсальной газовой постоянной R8,31 Дж/(моль•К). По условию задачи, сосуд является прочным и закрытым. Поэтому можно считать, что объём сосуда не зависит от давления в нём. Поскольку абсолютная температура Т и заданная в условии задачи температура t по шкале Цельсия подчиняются соотношению T К273+t °C, то искомое давление идеального газа должно быть равно

2

Два одинаковых мяча летят навстречу друг другу со скоростями и n. После лобового удара мячи разлетаются в противоположные стороны, а их скорости различаются в 2n раз. Масса оболочки мяча равна M, а его объём V. В каждом мяче находится по молей гелия. На сколько увеличилось бы по сравнению с исходным установившееся давление гелия в мячах после удара, если бы всё выделившееся при ударе тепло поровну распределилось между мячами? Изменением объёма мячей пренебречь. Удельная теплоёмкость оболочек мячей равна с.

Решение

Будем считать, что первоначальное движение мячей задано относительно лабораторной системы отсчёта и эту систему можно считать инерциальной. Поскольку каждый из мячей содержит n молей гелия, то масса гелия в каждом из мячей равна m = , где – молярная масса гелия. Поскольку в условии задачи специально не оговаривается, что во время соударения мячи подвергаются действию каких-либо других тел, соударяющиеся мячи можно рассматривать как изолированную систему, а потому на основании закона сохранения импульса и в соответствии с условием задачи можно утверждать, что величины скоростей мячей после удара u и 2nu должны удовлетворять соотношению

и, согласно закону сохранения энергии, выделившееся количество теплоты Q, которое получил каждый из мячей, можно найти из уравнения

Решая совместно приведённые уравнения, получим:

Как известно, гелий является одноатомным газом. Поэтому, полагая температуру и давление в мячах до и после удара не очень сильно отличающимися от нормальных, можно считать гелий идеальным одноатомным газом, а потому его молярную теплоёмкость при изохорическом процессе следует считать равной 1,5R, где R – универсальная газовая постоянная. Тогда, если обозначить через T приращение температуры оболочки мяча и содержащегося в ней гелия, согласно уравнению теплового баланса должно выполняться соотношение:

а согласно уравнению Клапейрона–Менделеева приращение давления p в каждом из мячей должно быть равно

С учётом ранее приведённых соотношений получим, что приращение давления в мячах при выполнении указанных предположений будет равно

3

В вертикальном цилиндре под поршнем массой m и площадью S содержится идеальный одноатомный газ. Поршень находится на высоте h от дна цилиндра. Над поршнем (рис. 1) висит гибкая верёвка, единица длины которой имеет массу . Расстояние от поршня до нижнего конца верёвки равно h. Какое количество теплоты нужно медленно сообщить газу, чтобы поршень переместился вверх на расстояние 2h? Трением пренебречь. Атмосферное давление равно р₀.

Решение

Будем считать, что цилиндр покоится относительно лабораторной системы отсчёта и эту систему можно считать инерциальной. Кроме того, будем пренебрегать изменением механической энергии центра масс газа. Поскольку газ нагревают достаточно медленно, следует считать, что газ всё время находится в квазиравновесном состоянии, а поршень перемещается с очень малой скоростью практически равномерно. Следовательно, давление р газа, его абсолютная температура Т (по шкале Кельвина) и объём V должны удовлетворять уравнению состояния идеального газа, т.е. pV = RT, где – число молей газа под поршнем, а R – универсальная газовая постоянная. При этом, согласно второму закону Ньютона, давление газа на поршень, пока он не коснётся верёвки, должно быть равно p₁ = p₀ + mg/S, где g – величина ускорения свободного падения, т.к., по условию задачи, трением следует пренебречь. Таким образом, пока объём газа увеличивается от первоначального V₁ = Sh до объёма V₂ = 2Sh, нагревание газа происходит изобарически. Как известно, молярная теплоёмкость идеального одноатомного газа при изобарическом нагревании равна 2,5R. Следовательно, на этой стадии газ должен получить количество теплоты

После того как верёвка коснулась поршня, давление газа в цилиндре должно возрастать по линейному закону и при подъёме поршня на высоту 2h от первоначальной должно стать равным

Утверждая это, мы в соответствии со сказанным выше учитывали, что скорость подъёма поршня очень мала. Следовательно, во время второй стадии газ совершит работу A = 0,5Sh(p₁ + p₂).   При этом, согласно уравнению состояния идеального газа, температура газа должна стать равной Как известно, внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа равна 1,5RT. Следовательно, на второй стадии нагревания, согласно первому началу термодинамики, газ должен получить количество теплоты Таким образом, при выполнении сделанных выше предположений, для того, чтобы поршень поднялся на высоту 2h, газ должен получить количество теплоты

Продолжение в № 12