Тульский спецвыпуск №3

Проф. Д.М.Захаров,
ИПКиППРО ТО, г. Тула

Совершенствовать физико-математическое образование

Создание в школах единого физико-математического пространства – основа современного математического и физического образования. К сожалению, эта проблема глубоко не осознана педагогической общественностью (руководителями школ, учителями физики и математики).

Хотелось бы специально подчеркнуть, что в научной области физика и математика тесно взаимосвязаны, о чём свидетельствует номенклатура учёных степеней: существуют кандидаты и доктора физико-математических наук, а не химико-математических, биолого-математических или просто математических или физических. Заслуживает внимания следующая аналогия. Как известно, в рамках школьной программы изучаются два предмета: русский язык и литература. Это разные предметы, но они объединены единым филологическим пространством, взаимно обогащая и дополняя друг друга. Физика и математика так же, как русский язык и литература, – «близнецы-братья», их связь гораздо глубже, чем просто межпредметная интеграция. Речь идёт о едином предметном пространстве, внутри которого должны формироваться глубокие взаимосвязи, взаимная подстраховка и, разумеется, «взаимная любовь».

Как известно, математика решает целый ряд самостоятельных стратегических задач в образовании, оставаясь при этом «языком» наук, в первую очередь физики. В рамках единого физико-математического пространства физикам гораздо легче выбрать подходящий математический аппарат для реализации тех или иных положений, особенно, если они выходят за рамки чисто физических проблем, имеют широкое мировоззренческое, культурологическое значение, т.е. охватывают интересы преподавателей всех предметов. В этом случае следует ориентироваться не на программу или стандарт, а на здравый смысл, который может покинуть чиновников, но не профессионалов-преподавателей. Рассмотрим некоторые примеры.

Общеизвестно, что понятие «энтропия» определяет возможности и направление развития в самых разнообразных системах неживой и живой материи, включая человека, общество, экономику, политику, исторические процессы. В термодинамике равновесных и неравновесных систем, в синергетике энтропия играет определяющую роль¹⁾. Осознанное владение понятием «энтропия» – важный элемент культуры современного человека, а тем более человека ближайшего будущего. К сожалению, в средней школе оно, как правило, не используется даже при изучении второго закона термодинамики, что заметно снижает общий уровень образования. Одна из причин – отсутствие необходимого математического аппарата. И это при том, что он достаточно прост и его введение не требует особых усилий. Согласно формуле Больцмана, энтропия S=k ln P, где k – постоянная Больцмана, P – термодинамическая вероятность (число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние²⁾, которая и определяет сущность энтропии как меры беспорядка, или деградации энергии.

Подвести учеников к осмыслению термодинамической вероятности удобно, ориентируясь на воображаемую смесь двух газов, образовавшуюся после удаления перегородки, отделявшей один газ от другого. Нетрудно показать, что термодинамическая вероятность такой смеси где N₁ и N₂ – числа молекул соответственно первого и второго газов, N = N₁ + N₂. Далее несложно прийти к выводу, что изменение энтропии при смешивании газов ³⁾ Чтобы провести эти рассуждения и расчёты, ученики должны иметь представление о факториале, уметь определять число перестановок с повторяющимися элементами, понимать смысл натурального логарифма⁴⁾.

Рассмотрение всех этих вопросов не относится к числу неразрешимых задач, они необходимы и вполне доступны всем ученикам. При этом возрастает качество самих математических знаний в силу их «нужности» в самом широком смысле этого слова, благодаря способности через физику выйти на энтропию и в итоге дать ученикам возможность осознать её широкий спектр. В классах физико-математического профиля обсуждение данного вопроса может быть продолжено на более высоком уровне.

В качестве примера покажем, что

где R – универсальная газовая постоянная, n₁ и n₂ – числа молей газов соответственно, V₁ и V₂ – объём газов до их смешения.

Из уравнения с очевидностью следует, что при смешении газов
Если воспользоваться приближённой формулой Стирлинга lnN! = N lnN–N, то:

В контексте большинства вопросов различного характера роль натурального логарифма заметно больше, чем десятичного, поэтому именно ему необходимо уделить в школе должное внимание. Как известно, любая экспериментальная работа требует оценки погрешности измерений, без которой она теряет всякий смысл. Натуральный логарифм играет основную роль для определения относительной погрешности результатов косвенных измерений. Необходимо найти полный дифференциал натурального логарифма заданной функции, причём во всех случаях для нахождения максимальной ошибки следует брать сумму абсолютных значений всех частных дифференциалов. Далее от дифференциалов следует перейти к конечным приращениям, в качестве которых используются либо систематические ошибки самих приборов, либо средние абсолютные ошибки измеряемых величин. В общеобразовательных школах обычно используются функциональные зависимости простейшего типа:

y = a ± b; y = ab; y = ; y = an; y = sin ;  y = cos ; y = tg  и т.д.

Знание алгоритма нахождения относительных, а следовательно, и абсолютных погрешностей, позволяет легко получить расчётные формулы и для случаев более сложных функциональных зависимостей, которые могут встретиться в учебной, в частности лабораторной, практике исследовательского характера. Например:

ln y = ln(a₁b₁ – a₂b₂) – ln a₁ – ln b₂.

Нам представляется совершенно не важным, кто сообщит ученикам необходимые знания: учитель физики или математики. Главное, чтобы их действия были согласованны и продуктивны, а это возможно осуществить лишь в рамках единого физико-математического пространства. В итоге усилиями учителей физики и математики будет решена принципиально важная задача: научить учеников грамотно завершать эксперимент и дать возможность осознать, что доверительный интервал выражает не только неточность конкретного измерения, но, в широком смысле, – неточность познания. Глубоко прав был академик Н.Н.Моисеев, утверждая, что вопрос: «А как на самом деле?» – является по целому ряду причин риторическим, в том числе и из-за наличия .

Мы вынуждены констатировать также, что роль неперова числа (числа e, основания натуральных логарифмов) в школьном образовании недооценивается и физиками, и математиками. Свойства показательной функции y = y₀e^±x, получившей название экспоненты, должны быть хорошо известны ученикам. Дело в том, что описание многих процессов микромира неразрывно связано с экспонентой, поскольку вероятностный характер поведения микрочастиц часто выражается с помощью неперова числа. Отсюда вытекает его особое значение в физике, а следовательно, и в природе, т.к. мы живём в вероятностном мире. Физика и математика являются теми предметами, которые должны помочь ученикам осознать эту особенность нашей жизни, играющую важную роль в формировании их миропонимания. Недооценка роли числа e приводит к ряду несуразностей. Например, ученики изучают, как изменяется давление воды с изменением глубины (линейная зависимость), и не изучают, как изменяется давление воздуха с изменением высоты (экспоненциальная зависимость).

Рассмотрим решение двух задач, в которых используется экспоненциальная зависимость.

Задача 1. Ток в сверхпроводящем кольце в течение t лет фиксировался без заметного уменьшения. Найдите сопротивление сверхпроводника R, если его индуктивность L, а относительная погрешность измерения a%. Сила тока в сверхпроводнике связана со временем экспоненциальной зависимостью.

Решение. Зависимость типа y = y₀e^–x после ряда логических рассуждений может быть переведена в зависимость (увеличение R и t способствует уменьшению силы тока i, поэтому эти параметры находятся в числителе показателя степени, а увеличение L, напротив, противодействует её уменьшению; показатель степени при e должен быть безразмерным).

Учитывая, что y = y₀e^–x  y₀(1 – x), если и полагая, что получим:

значит,   = a•10^–2, отсюда

Задача 2. Чему равна высота h, где давление воздуха в n раз меньше, чем на поверхности Земли, а температура соответствует этой высоте? Воздух для простоты принять за одноатомный идеальный газ, а процесс считать адиабатическим.

Решение. Уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, имеет вид:

где (показатель адиабаты)⁵⁾.

Для идеального одноатомного газа (Если воздух считать двухатомным идеальным газом, то  = 7/5.) После несложных преобразований с использованием уравнения Клапейрона–Менделеева получим T⁵/p² = const.

Пусть T₀ и p₀ – температура и давление воздуха на поверхности Земли, а T₁ и p₁ – соответственно на высоте h. Учитывая, что p₁ = p₀/n, получим:

Как известно, зависимость давления воздуха от высоты описывается экспоненциальной зависимостью, получившей название барометрической формулы:

где M=29•10^–3 кг/моль – масса моля воздуха, g – ускорение силы тяжести, R – универсальная газовая постоянная. Запишем:

В барометрической формуле T=const, поэтому при расчёте h целесообразно взять усреднённую температуру а изменением g с высотой пренебречь. Следует также иметь в виду, что описание процессов, происходящих в воздухе, только адиабатой – достаточно условно⁶⁾.

Математики часто любят повторять афоризмы: «Не ученик для математики, а математика для ученика». Или: «Математика ум в порядок приводит». Всё это слова, слова, слова... Подобные афоризмы воплотятся в жизнь лишь тогда, когда математические зависимости, носящие модельный, порой максимально абстрактный характер, будут сориентированы на более конкретные физические модели. Такое взаимодействие увеличит силу математических абстракций, сделает их осознанными, привлекательными для учеников. В итоге выиграет и физическое, и математическое школьное образование.

---

Дмитрий Михайлович Захаров – профессор, к.ф.-м.н., декан физмата ИПКиППРО ТО. Участвовал в разработке фундаментальных основ радиационного контуростроения в Тбилисском институте физики (около 20 научных статей). Эти разработки в своё время «благословил» сам Нильс Бор. 15 лет заведовал кафедрой физики и химии в Тбилисском высшем артиллерийском командном училище, издал ряд учебных пособий. После переезда в Тулу заведовал кафедрой в ИПКиППРО ТО, разработал концепцию гуманитарной физики, которая была одобрена А.А.Пинским, Ю.И.Диком, В.Г.Разумовским, В.А.Орловым и др. и оказала заметное влияние на развитие физического образования. Увлечён проблемами ноосферологии, развитием идей В.И.Вернадского, Н.Н.Моисеева, И.Р.Пригожина. Свободное время посвящает чтению художественной литературы, а также театру, который любит с детства.

Комментарий редактора

Мне глубоко симпатична и сама эта статья, и основная идея её автора: единое физико-математическое пространство. Именно поэтому, безоговорочно поддерживая Д.М.Захарова, я решился на несколько примечаний, отмеченных в авторском тексте цифровыми ссылками.

¹⁾ Специалистам известно такое высказывание: «В гигантской фабрике естественных процессов принцип энтропии занимает место директора, который предписывает вид и течение всех сделок, в то время как закон сохранения энергии играет лишь роль бухгалтера, который приводит в равновесие дебет и кредит» [Emden R. Nature, v. 141, 908 (1938). Русский перевод цитируется по книге Р.Кубо. Термодинамика. – М.: Мир, 1970, с. 23].

²⁾ Число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние, принято называть статистическим весом Г. Этот термин удобнее, чем термодинамическая вероятность, во-первых, потому что Г > 1, а аксиоматика теории вероятностей требует, чтобы вероятность любого события подчинялась неравенству независимо от прилагательного при этой вероятности. Во-вторых, статистическая энтропия, определённая равенством S = kln Г, выражается ещё и формулой

где w_n – вероятность реализации данного микроскопического состояния системы. Из статистической энтропии путём предельного статистического перехода

N , V , N/V = const

получается энтропия термодинамическая, определяемая вторым законом термодинамики.

³⁾ Здесь отметим два обстоятельства. Во-первых, каждый из газов состоит из одинаковых, принципиально неразличимых частиц, но частицы одного газа отличаются от частиц другого газа. Во-вторых, исходная температура и исходное давление в обоих газах одинаковы.

⁴⁾ Лет сорок назад перестановки, размещения и сочетания, наряду с факториалами, биномиальной формулой Ньютона и комплексными числами, были в программе обычной средней школы. Сейчас школьная программа успешно освобождена от этих пережитков.

⁵⁾ Подчеркнём, что это уравнение описывает не адиабату вообще, а только адиабату идеального газа. Для равновесного теплового излучения, например, адиабата задаётся уравнением pV^4/3 = const, хотя С_p/C_V .

⁶⁾ Барометрическая формула описывает, как отмечает сам автор, только изотермическую атмосферу. Поэтому либо надо решать задачу 2, считая T=const по условию. Тогда найдём h по авторскому решению, но Т₁=Т₀=Т. Либо атмосфера адиабатическая, Т₁ найдена автором, но

откуда

(Решение можно посмотреть всё в той же книге Р.Кубо.) Подставляя в последнюю формулу выражение для Т₁, находим

При малых изменениях давления положим  n = 1 + x, причём Тогда что совпадает в пределе малых х с результатом, следующим из барометрической формулы.

В.А.Грибов, к.ф.-м.н.,
доцент МГУ им. М.В.Ломоносова