Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №7/2005
65-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2004

О.Ю.Шведов, С.Д.Варламов, М.В.Семёнов, А.И.Елантьев, В.А.Погожев,
Д.Э.Харабадзе, Д.А.Ягнятинский, А.А.Якута,К.В.Дмитриев, В.В.Птушенко,
А.В.Андрианов, К.В.Башевой, А.Р.Зильберман, Ю.В.Старокуров
yakuta@genphys.phys.msu.ru

Продолжение. См. № 1, 3, 5/05

65-я Московская региональная олимпиада
школьников по физике-2004

7–11-й классы

10-й класс (окончание)

Задача 2

Найдите ускорение груза массой m1 в системе, изображённой на рисунке. Блоки невесомы, нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает по верхнему двухступенчатому блоку радиусами r и R. Один конец нити закреплён на этом блоке, к другому концу прикреплён груз массой m2. Участки нити, не лежащие на блоках, вертикальны, трение в осях блоков и о воздух отсутствует, ускорение свободного падения равно g.

Рис.1         Рис.2

Решение

Обозначим силу натяжения подвеса, на котором закреплён груз m1, через F. Тогда сила натяжения нити на вертикальных участках по обе стороны от нижнего блока равна F/2 – из-за невесомости этого блока и нити, а также из-за отсутствия трения в оси блока и трения о воздух. Силу натяжения нити, действующую на подвешенный к ней груз m2, обозначим через f. Так как двухступенчатый блок невесом и трение в его оси и о воздух отсутствует, то сумма моментов сил натяжения нити, действующих на него, равна нулю: формула

Отсюда

формула

Поскольку система из таких блоков не даёт выигрыша в работе, то при смещении нижнего груза, например, вниз, верхний груз сместится вверх, и будет справедливо соотношение между перемещениями грузов wpe502.jpg (721 bytes)x1 и    wpe502.jpg (721 bytes)x2 : Fwpe502.jpg (721 bytes)x1 + fwpe502.jpg (721 bytes)x2 = 0. Отсюда с учётом найденной связи между силами F и f  получаем формула Таким образом, связь проекций a1 и a2 ускорений грузов на вертикальную ось (уравнение кинематической связи) имеет вид:

формула

Запишем уравнения движения грузов в проекциях на ту же ось:

формула формула

Для решения получившейся системы подставим во второе уравнение выражения для a2 и f:

формула формула

Умножим второе уравнение на формула и сложим результат с первым уравнением. В результате получим

формула

Отсюда

формула

Задача 3

Лёгкая нерастяжимая нить длиной L = 2 м удерживается за концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит кусочек проволоки массой M = 1 г, изогнутый в виде перевёрнутой буквы U. Нить выдерживает максимальную силу натяжения F = 5 Н. Концы нити одновременно начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями v-скорость = 1 м/с. В какой-то момент нить не выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту относительно уровня концов нити взлетит кусочек проволоки? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь.

Рисунок

Решение

Изобразим нить в тот момент времени, когда она ещё не порвалась, но вот-вот порвётся. Пусть в этот момент расстояние от проволочного грузика до линии, вдоль которой перемещаются концы нити, равно х, а скорость грузика равна u. Так как нить нерастяжима, то проекция скорости грузика и проекция скорости конца нити на направление нити должны быть одинаковы. Следовательно, v-скоростьcosальфа = usinальфа. Поэтому

формула

Из условия задачи видно, что формула. Поэтому угол, который составляют две половинки нити в момент перед разрывом, близок к 180°, а угол альфа мал. Это означает, что формула , т.е. формула Уменьшение расстояния x на малую величину wpe502.jpg (721 bytes)x приведёт к тому, что скорость u увеличится на wpe502.jpg (721 bytes)u. При этом изменения скорости u и величины x связаны друг с другом соотношением

формула

Разделим данное соотношение на величину малого промежутка времени wpe502.jpg (721 bytes)t, за который эти изменения произошли, и учтём,

что формулаформула

В соответствии со вторым законом Ньютона ускорение wpe502.jpg (721 bytes)u/wpe502.jpg (721 bytes)t равно сумме всех действующих на груз сил, разделённой на его массу. Так как перед самым обрывом нити равнодействующая сил натяжения равна формула то

формула

Предположим, что не только формула, но и формула (потом нужно будет обязательно проверить, выполняется ли на самом деле это неравенство!). В этом случае

формула и формула

Неравенство формула действительно выполняется. Теперь можно определить скорость груза в момент разрыва нити:

формула

Следовательно, груз после разрыва нити взлетит на высоту

формула

Задача 4

Идеальный одноатомный газ находится в гладком вертикальном цилиндре под невесомым поршнем, на котором стоит груз массой m. Снаружи цилиндра вакуум, теплообмен газа с окружающими телами отсутствует. Над газом совершают процесс, состоящий из n стадий, на каждой из которых массу груза увеличивают в одно и то же число раз по сравнению с предыдущим значением, а затем дожидаются установления равновесия. Конечная масса груза равна М. Во сколько раз изменится объём газа после завершения этого процесса? Решите задачу в общем случае, а затем получите приближённый ответ для n = 2004, формула Ускорение свободного падения равно g, действием силы тяжести на газ можно пренебречь.

Примечание. При малых эпсилон и формула справедливо соотношение формула

Решение

Пусть масса груза на каждой стадии увеличивается в альфа раз по сравнению с предыдущим значением. Ясно, что формула Рассмотрим процесс на k-й стадии. Пусть в начале этой стадии поршень площадью S находится в равновесии на высоте hk–1, температура газа в цилиндре равна Tk–1, вес груза на поршне составляет формула а давление газа равно формула В момент, когда на поршень поставили следующий перегрузок, энергия системы стала равна

формула

После затухания колебаний поршень опустится и остановится на высоте hk, а энергия системы в конце рассматриваемой стадии станет равна

формула

где формула Так как теплообмен газа с окружающими телами отсутствует, то в соответствии с законом сохранения энергии формула

Отсюда

формула

Следовательно, после n стадий процесса объём газа изменится в

формула

Получим теперь приближённый ответ для формула При больших n в соответствии с примечанием к условию задачи имеем

формула

Таким образом, при формула объём газа изменится в формула раз, т.е. результат не зависит от n и годится, в частности, для n = 2004. При формула получаем

формула

т.е. объём газа уменьшится в формула раза.

Задача 5

Два школьника на уроке физики собрали самодельные приборы для измерения сопротивлений – омметры, – состоящие из последовательно соединённых батарейки, резистора и амперметра, причём эти элементы у каждого школьника были разные. Потом они откалибровали свои приборы, подключая к ним резисторы известного сопротивления, и нанесли на шкалы амперметров эти значения сопротивлений. Далее школьники решили вместе измерить неизвестное сопротивление Rx резистора, одновременно подключив параллельно к нему оба своих прибора с соблюдением одинаковой полярности батареек. При этом один прибор показал значение сопротивления, равное R1, а второй – R2. Каково истинное значение Rx?

Схема

Решение

Нарисуем схему разветвлённой электрической цепи, получившейся у школьников после подключения их приборов к неизвестному резистору. Сопротивления r1 и r2 включают в себя сопротивления использовавшихся школьниками резисторов, а также внутренние сопротивления соответствующих батареек и амперметров.

Согласно правилам расчёта разветвлённых цепей постоянного тока, сумма токов в каждом узле разветвлённой цепи равна нулю, а сумма падений напряжений вдоль замкнутых контуров, на которые можно разбить эту цепь, равна суммарной ЭДС в этих контурах. Отсюда, выбрав направления текущих в участках цепи токов, как показано на рисунке, получаем:

формула формула

Заметим, что при измерении сопротивления резистора Rx одним из самодельных омметров через этот омметр течёт ток формула (здесь i = 1, 2), так что показание каждого омметра связано с текущим через него током формулой IiRх = ЭДСiIiri. Поэтому записанную выше систему уравнений можно переписать в виде:

формула формула

откуда

формула формула

Складывая эти равенства, получим

формула

Отсюда формула

11-й класс

Задача 1

Два однородных концентрических обруча жёстко скреплены невесомым стержнем АВ и могут вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг неподвижной горизонтальной оси О, проходящей через их центр. К обручам прикреплены лёгкие упругие нити, другие концы которых неподвижно закреплены на потолке и стене, как показано на рисунке. Масса и радиус внутреннего обруча равны m и R соответственно, а внешнего – 2m и 2R. В начальном положении системы, когда обе нити не растянуты, длина вертикальной нити равна l0, длина горизонтальной 2l0. Коэффициент упругости на растяжение у горизонтальной нити равен k, у вертикальной 2k. Обручи поворачивают из начального положения по часовой стрелке на угол альфа 0 и отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Найдите период колебаний системы, считая, что нити абсолютно гибкие, гладкие и при растяжении наматываются на обручи.

Рис.1                         Рис.2

Решение

При повороте обручей по часовой стрелке на угол альфа от начального положения удлинение вертикальной нити при её наматывании на внутренний обруч радиусом R составит формула а удлинение горизонтальной нити при наматывании на внешний обруч радиусом 2R будет равно формула Сила натяжения вертикальной нити при этом будет равна формула а горизонтальной формула Таким образом, на систему из двух обручей будет действовать суммарный возвращающий момент сил, равный R • 2kR + 2R • 2kR = 6kR2 и пропорциональный угловому смещению обручей от положения, в котором обе нити были не растянуты.

По аналогии с гармоническими колебаниями в системе, состоящей из груза массой m, подвешенного на пружине жёсткостью k, для которой модуль возвращающей силы F пропорционален смещению x груза от положения равновесия (F = kx), можно утверждать, что в нашей системе вращательное движение обручей при натянутых нитях будет также происходить по гармоническому закону формула Круговая частота колебаний омега для груза на пружине, равная формула может быть найдена, например, как квадратный корень из отношения коэффициента при x2 в выражении для потенциальной энергий Wпот = kx2/2 к коэффициенту при квадрате скорости форм. в выражении для кинетической энергий форм. (точкой над переменной принято обозначать её производную по времени). Пользуясь данной аналогией, можно найти частоту омега в нашем случае таким же образом. Для этого запишем выражения для потенциальной и кинетической энергии нашей системы с учётом того, что линейная скорость внутреннего обруча формула а внешнего – формула :

формула

Отсюда получаем, что формула а время t1, за которое система перейдёт из положения с углом отклонения альфа0 к положению с альфа = 0, когда нити не растянуты, равно 1/4 периода соответствующих гармонических колебаний:

формула

Далее система будет вращаться по инерции с угловой скоростью форм. которую она приобретёт к моменту t1, до тех пор, пока нити снова не натянутся. Поскольку запасённая в упругих нитях потенциальная энергия к моменту времени t1 перейдёт в кинетическую энергию обручей: формула то формула

Когда нити вновь (и одновременно!) натянутся, система, вращаясь с постоянной угловой скоростью форм.  повернётся на угол формула за время

формула

В дальнейшем за время, равное t1, кинетическая энергия вращательного движения обручей снова превратится в потенциальную энергию растянутых нитей, и потом весь процесс будет повторяться. Таким образом, период колебаний нашей системы будет равен

формула

Заметим, что период таких колебаний, как видно из ответа, зависит от величины угла поворота обручей 0 из начального положения.

Продолжение в № 9