Абитуриенту

В.М.Буханов, А.В.Грачёв, В.А.Ппогожев,
В.С.Степанова, Н.И.Чистякова, А.А.Якута
yakuta@genphys.phys.msu.su

Физфак МГУ-2004

Вступительные испытания по физике

В 2004 г. на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова проводились два тура физико-математической олимпиады (в марте и мае) и один вступительный экзамен (в начале июля). Олимпиадные задания и экзаменационные билеты по физике содержали два теоретических вопроса, формулировки которых были взяты из программы по физике, опубликованной в справочнике для поступающих в МГУ, и две задачи. Ниже приводятся условия предлагавшихся задач и их решения. В решениях особое внимание уделено обоснованию возможности применения того или иного закона и указаны предположения, в том числе и так называемые стандартные, которые необходимо было сделать в ходе решения.

По всем вопросам приёма обращайтесь по телефону 939-1241 в совет по новому приёму и работе со школьниками физического факультета МГУ.

I. механика

1 На противоположных берегах прямолинейного участка реки на расстоянии L друг от друга находятся пристани А и В. Прямая АВ образует угол с берегом. От пристаней одновременно с одинаковыми по величине скоростями отошли два катера. Катера шли вдоль прямой АВ и встретились через время после отправления. Найдите величину скорости катеров . Скорость течения реки считайте постоянной и равной u.

Решение

В условии задачи не сказано, какая из двух пристаней расположена ниже по течению. Поэтому в данной задаче необходимо рассмотреть два случая. В первом случае будем считать, что пристань В находится ниже по течению, а во втором – выше. Будем искать решение, полагая, как это обычно и делается в подобных задачах, что катера полностью «увлекаются» водой. При выполнении этого предположения на основании принципа независимого сложения движений можно утверждать, что скорость _i движения катера относительно берега должна быть равна векторной сумме скорости течения u и скорости катера относительно воды . Поскольку, по условию задачи, катера должны двигаться вдоль прямой, соединяющей пристани, то направления их скоростей относительно берега должны совпадать с прямой АВ. С учётом сказанного на рис. 1 изображены оба удовлетворяющие условию задачи случая, причём около векторов скоростей катеров указаны их модули.

С учётом показанных на этом рисунке обозначений углов между величинами скоростей катеров относительно берега и воды справедливы соотношения

     (1)

поэтому Следовательно, величины скоростей катеров относительно берега в первом случае равны

    (2)

а во втором

    (3)

Поскольку катера одновременно отплывают от пристаней и до встречи должны переместиться друг относительно друга на расстояние L за время , а величина скорости их сближения равна

то т.к., согласно соотношению (1), Решая предпоследнее уравнение, находим искомую величину скорости движения катеров относительно воды:

2   Маленькая шайба соскальзывает без начальной скорости с высоты Н по гладкой наклонной плоскости и упруго ударяется о горизонтальную площадку. В момент удара с этой площадки вертикально вверх бросают камешек с такой скоростью, чтобы он поднялся на высоту, которая в n раз меньше Н. На каком расстоянии L от линии пересечения площадки с наклонной плоскостью находилась точка броска, если шайба ударилась о камешек до того момента, когда они вторично ударились о площадку? Влиянием воздуха на движение тел пренебречь.

Решение

При решении задачи будем использовать лабораторную систему отсчёта, расположенную относительно наклонной плоскости и горизонтальной площадки так, как показано на рис. 2. Как обычно, будем считать эту лабораторную систему отсчёта инерциальной. Поскольку шайба соскальзывает без начальной скорости по гладкой наклонной плоскости, а влиянием воздуха на движение шайбы и её размерами, по условию задачи, следует пренебречь, то, согласно закону сохранения механической энергии в системе шайба–Земля, величина скорости шайбы перед самым ударом о горизонтальную площадку должна быть равна где – величина ускорения свободного падения. При выводе этого соотношения было учтено, что масса Земли во много раз превышает массу шайбы.

По условию задачи, удар шайбы о горизонтальную площадку является упругим. Поэтому на основании законов сохранения импульса и механической энергии в системе шайба–Земля и с учётом малых размеров шайбы можно утверждать, что после удара горизонтальная составляющая скорости шайбы останется неизменной, а вертикальная, сохранив свою величину, изменит направление на противоположное. Таким образом, в момент броска камешка составляющие скорости шайбы должны быть равны где – угол наклона плоскости к горизонту (см. рис. 2). Следовательно, если начать отсчитывать время t от момента окончания удара шайбы о площадку, то до момента соударения шайбы с камешком, т.е. при закон движения шайбы в выбранной системе отсчёта можно представить в виде:

По условию задачи, камешек был брошен вертикально вверх с такой скоростью, что мог бы подняться на высоту H/n, если бы о него не ударилась шайба. Поэтому, пренебрегая массой камешка по сравнению с массой Земли и учитывая, что камешек до момента удара о него шайбы, по условию задачи, совершает свободное падение, согласно закону сохранения механической энергии в системе камешек–Земля, начальная скорость камешка должна быть равна Следовательно, закон движения камешка при   можно представить в виде:

Учитывая, что в момент удара t = соответствующие координаты шайбы и камешка должны быть равны, получим:

По условию задачи, соударение шайбы с камешком должно было произойти до того момента, когда они вторично ударятся о площадку. Следовательно, момент соударения шайбы с камешком должен удовлетворять неравенству

а потому

 

и искомое расстояние от линии пересечения площадки с наклонной плоскостью до точки, из которой был брошен камешек,

Продолжение в № 6