Встречи и конкурсы

26-й Московский Ломоносовский турнир

Окончание. См. № 2/05

(Турнир состоялся 28 сентября 2003 г. Печатается в сокращении по сайту http://www.mccme.ru/olympiads/turlom. Материалы Турнира 2002 г. по физике и астрономии см. в № 18, 37/04 – Ред.)

8. (9–11) На небольшой горной речке построили гидроэлектростанцию. После этого экологи обследовали речку в 1 км от электростанции ниже по течению и не заметили никаких изменений (скорость течения и количество воды остались прежними). Откуда берётся энергия для выработки электричества и куда эта энергия девалась раньше, до постройки электростанции?

Ответ. Энергия для выработки электричества, разумеется, берётся из разности потенциальных энергий воды, соответствующей разности уровней воды до и после плотины электростанции. До постройки электростанции эта потенциальная энергия расходовалась в основном на трение воды о дно и берега. Заметим, что гидроэлектростанция использует далеко не всю кинетическую энергию протекающей воды. В самом деле, если мы заберём всю кинетическую энергию, то тем самым снизим скорость воды до нуля, а вода должна ещё как-то (т.е. с какой-то скоростью) утекать с электростанции, а не накапливаться там.

Ориентировочное значение КПД гидроэлектростанции (коэффициент полезного использования вещества, вовлечённого в энергетический процесс) составляет 1,9 x 10^–13 (информация найдена в интернете по адресу http://ecoclub.nsu.ru/altenergy/confer/seminar5.shtm. Возможно, она не совсем точна, но даёт правильное представление о распределении энергии в процессе работы ГЭС). Теперь, зная это обстоятельство, легко понять, что ГЭС влияет на энергетический баланс речки крайне незначительно, и заметить эти изменения из-за их малости очень сложно. Например, прогрев воды в водохранилище на солнце может повлиять на температуру сбрасываемой в речку воды существенно сильнее.

9. (9–11) Тело, не имеющее начальной скорости, начинает двигаться по прямолинейной траектории с переменным ускорением a, которое в каждой точке траектории пропорционально расстоянию x от данной точки до места начала движения: a (x) = Kx. Найдите зависимость скорости тела от пройденного пути x.

Замечание. Условие задачи сформулировано не очень аккуратно. Упомянутое тело в начальный момент времени находится в состоянии равновесия (впрочем, неустойчивого) и само по себе никуда двигаться не начнёт.

Ответ. Придумаем какой-нибудь способ перемещения тела в соответствии с указанными в задаче условиями. Пусть тело имеет массу m > 0. Будем действовать на это тело с переменной силой F. Как известно, F = ma. Следовательно,

a = F/m = Kx F(x) = Kmx.

Работа, совершённая такой силой к моменту, когда тело окажется в точке с координатой x, равна

Эта работа равна кинетической энергии тела в точке х. Приравнивая выражения для работы силы и для кинетической энергии, найдём скорость:

Этот ответ может показаться несколько удивительным: оказывается, если ускорение пропорционально расстоянию, то скорость увеличивается «не слишком быстро» и тоже оказывается пропорциональной расстоянию.

10. (9–11) Имеется схема с тремя выводами, состоящая только из резисторов (и проводов). Выводы пронумерованы: 1, 2, 3. Электрическое сопротивление, измеренное между выводами 1 и 2, равно R₁₂. Аналогично сопротивление между выводами 1 и 3 равно R₁₃, сопротивление между выводами 2 и 3 равно R₂₃. Может ли оказаться, что R₁₃ > R₁₂ + R₂₃?

Ответ. Не может. Создадим какую-нибудь ненулевую разность потенциалов между выводами 1 и 3. В результате в схеме возникнет какое-то распределение потенциалов. Соединим проводом (обозначим этот провод буквой P) вывод 2 и все точки схемы, в которых потенциал такой же, как и на выводе 2. Если какие-то из этих точек оказываются «внутри» резистора, предварительно заменим все такие резисторы на цепочки из двух последовательно соединённых резисторов так, чтобы сумма сопротивлений была равна сопротивлению исходного резистора, а место их последовательного соединения имело нужный потенциал. Соединение эквипотенциальных точек схемы проводом P (а также возможная предшествующая вышеупомянутая замена резисторов) никак не повлияет на сопротивление между точками 1 и 3.

Очевидно, что добавление провода в схему, состоящую только из резисторов, не может увеличить сопротивление между какими-либо точками схемы. В частности, R₁₂ и R₂₃ после выполнения вышеуказанных соединений не могли увеличиться (могли только остаться без изменений или уменьшиться). Обозначим эти новые значения через R'₁₂ и R'₂₃. Также очевидно, что провод P делит схему на два фрагмента, в одном из которых находится точка 1, в другом – точка 3, причём из одного фрагмента в другой, перемещаясь по элементам схемы, нельзя попасть, не побывав на проводах, имеющих непосредственное (минуя резисторы) электрическое соединение с проводом P. Это следует из условий, в соответствии с которыми мы подключали провод: чтобы попасть из точки с начальным значением потенциала в точку с конечным значением потенциала, обязательно придётся побывать в точке с заданным промежуточным значением потенциала, а все точки с одним из таких промежуточных значений мы как раз и соединили проводом P.

В результате схема между выводами 1 и 3 фактически распалась на два последовательно соединённых фрагмента. Сопротивления этих фрагментов R'₁₂ и R'₂₃ не превосходят R₁₂ и R₂₃. Соответственно их сумма R₁₃ = R'₁₂ + R'₂₃ R₁₂ + R₂₃.

11. (9–11) Девушка хочет полюбоваться увеличенным изображением своего лица с помощью плоского зеркала и увеличительного стекла (двояковыпуклой линзы). Где и как нужно расположить линзу? Объясните, почему предложенный вами вариант годится.

Ответ. Например, увеличительное стекло можно поднести вплотную к зеркалу. Разберёмся с тем, что в этом случае получится. Обычно увеличительное стекло устроено так, что его удобно располагать примерно посередине между глазами и рассматриваемым предметом. Конечно, наиболее удобное расположение линзы в каждом случае зависит от многих причин – особенностей зрения, выполняемой работы, освещённости, настроения человека и т.п. Дальше, чтобы не разбирать в решении все эти вопросы, мы просто объясним, почему система из зеркала и расположенной вплотную к нему линзы – это примерно то же самое, что и система из наблюдателя, объекта наблюдения и расположенной примерно посередине между ними лупы.

В самом деле, зеркало можно «заменить» на ещё одну линзу и девушку, расположенных симметрично настоящим линзе и девушке относительно зеркала. Линзы (оказавшиеся в этом случае расположенными вплотную) мы для простоты считаем тонкими (и вообще соответствующими всем приближениям школьной геометрической оптики). То есть нам важна только зависимость оптической толщины линзы от расстояния до оптической оси этой линзы. Поэтому две такие линзы (расположенные вплотную друг к другу) можно заменить одной – той же формы, но изготовленной из материала с вдвое большим показателем преломления. Вот и получилась нужная нам оптическая система: девушка (наблюдатель) – линза – симметричная девушка. Конечно, линзу мы немного «испортили», но это компенсируется изменением расстояния между девушкой и лупой.

Напомним, что фокусное расстояние f тонкой линзы, изготовленной из материала с показателем преломления n и имеющей выпуклые поверхности радиусами кривизны R₁и R₂, определяется по формуле

где n₀ – показатель преломления среды, окружающей линзу, для воздуха почти точно равный 1.

Конечно, вариант расположения линзы вплотную к зеркалу – не единственно возможный. Но в условии задачи требовалось предложить хотя бы один вариант, что мы и сделали. Если всё же расположить линзу не вплотную к зеркалу, то в зависимости от соотношения параметров задачи возможность наблюдать своё увеличенное изображение может появиться, а может и не появиться; если такая возможность есть, то всё равно возникнут две проблемы.

В линзу «поместится» не всё лицо девушки, что хуже соответствует слову «любоваться» из условия задачи. Придётся рассматривать двухлинзовую систему, что несколько сложнее (также придётся выбирать соответствующую для такого рассмотрения модель – скорее всего это будет школьная геометрическая оптика, – а потом разбираться, насколько эта модель и полученные результаты соответствуют описанной в условии задачи ситуации).

12. (10–11) Металлический стержень подвешен горизонтально за два конца: один конец – на пружинке (или резинке), другой – на нитке. Масса стержня равномерно распределена по его длине. Если нитку перерезать, то, казалось бы, нагрузка на резинку должна возрасти и конец стержня, к которому она привязана, должен тут же начать падать вниз. Однако на самом деле он, наоборот, «подпрыгивает». Укажите ошибку в рассуждениях и объясните, что на самом деле происходит.

Ответ. Обозначим массу стержня через m, а длину через l. Так как масса распределена по длине стержня равномерно, момент силы тяжести относительно центра стержня равен нулю. Чтобы стержень не вращался вокруг своего центра, суммарный момент всех остальных сил (а это только силы натяжения пружинки и нитки) относительно центра стержня также должен быть равен нулю, т.е. эти силы натяжения равны (каждая из них, очевидно, равна ).

Выясним, что будет происходить со стержнем сразу после перерезания нитки. Сила натяжения пружинки, очевидно, не изменится (она зависит только от длины пружинки) и останется равной . Сумма сил, действующих на стержень, будет равна

Следовательно, центр (центр масс) стержня будет двигаться вниз с ускорением

Вращательный момент M относительно центра стержня создаётся только силой натяжения пружинки и равен Как известно, момент инерции (относительно центра масс) стержня длиной l с равномерно распределённой по длине массой m равен Угловое ускорение стержня (относительно центра стержня), создаваемое моментом силы натяжения пружинки, будет равно

Линейное ускорение (в системе центра масс стержня) конца стержня (к которому прикреплена пружинка), возникающее за счёт рассматриваемого вращательного движения, равно= (3/2)g. Ускорение конца стержня в системе отсчёта, связанной с Землёй, равно векторной сумме ускорений системы центра масс и ускорения в этой системе: То есть в первый момент после перерезания нитки ускорение конца стержня (к которому прикреплена пружина) направлено вверх, и с учётом того, что начальная скорость равна нулю, этот конец стержня должен двигаться вверх, что и наблюдается экспериментально.

Статистика

Изучение физики в школе начинается только с 7-го или 8-го класса. Однако свойства окружающего нас мира одинаковы для всех, и все мы стал-киваемся с разнообразными физическими явлениями постоянно – как до их изучения в школе, так и после. Поэтому здесь нет чёткого разделения задач по классам; намного интереснее другой вопрос: когда школьники начинают интересоваться физикой настолько, что им становится интересно участвовать в физическом конкурсе, и что у них получается? Статистика по классам, в какой-то мере позволяющая узнать ответы на эти вопросы, получилась такой:

Статистика оценок по задачам (работы по физике, написанные участниками в Москве, по всем классам, всего 2109 работ)

Астрономия и науки о Земле

Отвечайте на любые из предложенных вопросов, которые вам интересны. Достаточно ответить правильно на 4 (больше – можно). При подведении итогов будут учтены количество правильных ответов, их полнота и ваш класс (возраст). В этом году мы дали не подробные ответы, а лишь ключевые смысловые моменты, за упоминание которых участникам начислялись баллы (исключение – вопрос 4 про географические тайны). Вопросы, ответы и комментарии этого конкурса подготовил д.ф.-м.н. А.М.Романов, главный специалист Отделения физических наук РАН (romanov@gpad.ac.ru).

1. Многие думают, что лето наступает тогда, когда Земля подходит ближе к Солнцу, а осень и зима, – когда отодвигается от него. Насколько это верно?

Ключевые моменты. Наклон оси Земли. Зависимость нагрева поверхности от угла падения лучей. Продолжительность светового дня. Сезоны Северного и Южного полушарий. Эллиптичность орбиты, расстояние до Солнца. Перигелий Земли (угловые размеры Солнца). Различие астрономических и погодных сезонов.

2. В космосе летает огромное количество обломков старых спутников и взорвавшихся ракет: около 10 тыс. шт. размером больше 10 см, до 150 тыс. шт. размером около 1 см, несколько миллионов — меньше 1 см. Предложите способы очистки от «космического мусора».

Ключевые моменты. Сбор манипулятором. Световое давление: надувной пузырь. Тормозной двигатель-«прилипала».

3. Какое небесное светило в настоящее время (речь идёт о сентябре 2003 г.) совершает Великое противостояние? «Против» чего оно выступает, в чём состоит его «величие»? Какие вы помните «заслуги» этого светила перед наукой и человечеством? Какой звезде присвоили имя в честь противостояния?

Ключевые моменты. Марс. Противостояния планет. Великие противостояния Марса. Кеплер – эллиптические орбиты Марса и Земли. Загадка «марсиан» и жизни на Марсе. Звезда – Антарес.

4. Какая географическая тайна Земли была раскрыта через почти 6000 лет после её первого осознания?

Ответ. Первое, на что следовало бы обратить внимание, – срок 6000 лет! Это безумно много, может быть, даже слишком много и для варианта, который предполагался в качестве правильного ответа. Длительность голоцена, современного межледникового периода, оценивается в 11 тыс. лет. В период от 13 до 8 тыс. лет назад в некоторых местах Земли произошла т.н. неолитическая революция, благодаря которой людям удалось одомашнить животных; они научились выращивать урожай, обрабатывать металлы и перешли к осёдлому образу жизни. Наиболее благоприятными для первых земледельцев были долины больших рек, где сочетались тёплый климат, обилие влаги и плодородные наносные почвы. Именно великие реки, размывающие основные породы в верховьях, транспортирующие минеральные элементы вдоль русла и формирующие затем из них обширные орошаемые площади в долинах, стали зонами аккумуляции первобытных земледельческих народов. (В современную эпоху аналогичными центрами аккумуляции являются мегаполисы.) Соответственно районы Нила, междуречья Тигра и Евфрата, долины Инда, Ганга, Хуанхэ и Янцзы были центрами развития человеческой цивилизации на протяжении многих тысячелетий. С тех далёких времён человечество разделилось (условно, конечно) на дикие бродячие племена и т.н. культурные народы, периодически (раз в несколько веков или чаще) сменяющие друг друга на одном и том же месте.

Письменных источников или документов тех далеких времён у нас пока нет никаких, нам (пока) не известны какие-либо царства или иные устойчивые государственные образования. Например, даже пирамида Джосера в Египте, считающаяся самым старым сооружением нашей цивилизации, имеет меньший возраст – предположительно около 5000 лет; датировки возраста иных значительных сооружений также предположительны. Интересно отметить, что даже мифические «сотворения мира» произошли в большинстве своём позже рассматриваемого периода времени. Только в византийском летосчислении мир уже был «сотворён» 1 сентября 5508 г. до н. э., да юлианские даты, предложенные Ж.Скалигером в 1583 г., начинаются с 1 января 4713 г. до н.э. В других культурах мир «создан» позже: в иудейской эре – 7 октября 3761 г. до н.э., в индийской эре Калиюга – 18 февраля 3102 г. до н.э., в китайской эре Хуанди – 2637 г. до н.э.

По-видимому, можно назвать очень немного знаний и вещей, которые 6000 лет назад уже были созданы людьми. В области астрономии это были первые примитивные лунные календари, т.е. системы счёта дней по фазам Луны. Интересно, что наиболее древние рисунки фаз выполнялись охотниками на стенах пещер, камнях или костях ещё в эпоху палеолита (10–15 тыс. лет назад). 7–8 тыс. лет назад люди выделили на небе первые созвездия на пути Солнца, из которых позднее сложился зодиак. Задачи земледелия (сроки сева и сбора урожая, периодичность осадков и поливов) привели к созданию годового земледельческого календаря.

Ещё самыми первыми жителями долины Нила был замечен и зафиксирован в системе организации своего труда тот годовой цикл, которому следует эта великая река: в середине июля начинался быстрый подъём уровня воды. Разлив Нила достигал максимума около октября, и только к январю река возвращалась к своей нижней отметке. Во время разлива Нил полностью затоплял свои долину и дельту, сносил границы между участками земли и временные постройки, но зато покрывал всё толстым слоем плодородного ила, на котором затем вырастал замечательный урожай. И эти циклы реки повторялись из года в год, из века в век, в течение тысячелетий.

Естественно, что такое жизнеутверждающее событие не могло пройти мимо внимания околонильских народов и не найти своего отражения в их сознании. Ещё около 4000 г. до н.э. любопытными и наблюдательными людьми было замечено, что время начала разлива Нила удивительным образом совпадает со временем первого появления на небе звезды Сириус перед восходом Солнца. Такое появление (восход светила в лучах утренней зари непосредственно перед рассветом) называется гелиакическим восходом. Поскольку дату начала разлива всегда целесообразно и желательно знать ранее, то естественно, что люди заблаговременно начинали посматривать на небо и спрашивать о том у людей, сведущих в счёте дней и рисунках звёзд; а люди сведущие, в свою очередь, достаточно просто постарались преобразовать свои знания в свою власть. Примерно в это же время (6000 лет назад) создаётся и первый годовой календарь из 360 дней – первый солнечный, а не лунный, хотя и неточный.

Поскольку звезда Сириус, по счастливому стечению обстоятельств, является к тому же и самой яркой звездой всего нашего небосвода, то естественно, что именно её и назвали самой главной богиней – Сотис (Исида). Условная связь между звездой и рекой (или, если угодно, между небом и землёй) оформилась в виде общеизвестной классической фразы: «Сотис великая блистает на небе, и Хапи (Нил) выходит из берегов своих». Эта истина и существует уже 6000 лет.

Однако это не более, чем констатация простого временного совпадения. Собственно же причина регулярных разливов Нила и местонахождение его истока оставались неизвестными. Все другие реки, в том числе крупные, тоже испытывают сезонные изменения своего уровня от половодья до межени, но у всех других рек эта взаимосвязь уровня воды и сезона очевидна: либо таяние снегов, либо сезон дождей. Нил же составляет удивительное исключение из общего правила. Дело в том, что он является единственной столь протяжённой рекой, текущей в меридиональном направлении. К тому времени, когда нильский паводок достигал густонаселённой дельты (в июле!) там стояла самая сильная жара, и никаких дождей давным-давно уже не было. Для примитивного мышления древних народов достаточным объяснением этой загадки было религиозное объяснение: так угодно богам! Бога Нила древние египтяне изображали сидящим в глубине горной пещеры в окружении священных змей и с кувшинами воды в руках: когда бог Хапи находил нужным, он наклонял кувшины и выливал из них очередную порцию воды. Напомним, что для египтян основным направлением в их мире было направление на юг, где выше всего поднимаются боги на звёздном небе, где далеко-далеко находятся высокие горы, откуда и течёт великий Нил.

Попытки отыскания истоков Нила в древние времена привели только к открытию обширной Нубийской пустыни на юге, а также к обнаружению того места, где Нил образуется из двух потоков – Голубого и Белого Нила. Их же истоки вновь терялись далеко на юге, уже в тропической зоне, и по-прежнему оставались неизвестными. И хотя в 600 г. до н.э. мореплаватели фараона Нехо совершили один из величайших (но забытых) подвигов – обошли морем вокруг всего африканского континента за 3 года, его центральные части оставались непознанными. Описание загадки Нила дошли до нас в трудах греческого историка Геродота (ок. 484–ок. 425 гг. до н.э.).

В эпоху Великих географических открытий европейская цивилизация не только повторила (Васко да Гама, 1499 г.), но и превзошла достижения древних, однако европейские колонизаторы оставалась в основном на побережье континента. Исследования же внутренних частей Африки, по существу, начались только в XIX в. На этом поприще наиболее знаменит английский учёный-путешественник Ливингстон, открывший в глубине Африки водопад и огромное озеро, названные в честь королевы Виктории. В этот же период стала понятна и сезонная зависимость нильского паводка, которая отражает периодичность муссонных дождей в экваториальной Африке, столь далёкой и столь непохожей на северное побережье Египта. Открытие же собственно истока Нила совершила экспедиция под руководством Стенли Генри Мертона (Джон Роулендс, 1874–1889 гг.). Истоком Нила является река Кагера, вытекающая из оз. Виктория. Таким образом, от первого осознания до полного раскрытия загадки Нила прошло почти 6000 лет.

Участниками турнира предлагались и другие тайны нашей планеты: ось вращения Земли; полюсы Земли; дно океана; Антарктида; природа вулканов; происхождение жизни и человека; форма и вращение Земли; внутреннее строение Земли; природа земного притяжения; природа затмений; землетрясения; магнитные полюсы; движение континентов и многое другое. Однако все они моложе, чем загадка Нила.

5. Почему климатические зоны на поверхности Земли не перемещаются? Какая связь между значением слова климат и греческим [клима] – склон, горы. Некоторые говорят, что от больших полярных шапок Земля может перевернуться, и север с югом поменяются местами. Возможно ли это?

Ключевые моменты. Климатические зоны – высота солнца. Евдокс – наклон поверхности Земли. Колебания климата. Перемещение материков. Оледенения. Смена магнитных полюсов.

6. Увеличивается или уменьшается температура при подъёме (или, наоборот, при опускании) в атмосфере, в океане, в толще Земли?

Ключевые моменты. Уменьшается в тропосфере. Увеличивается в ионосфере. Термоклин в море. Максимальная плотность воды – при 4 °C. Почвенный слой Земли. Вечная мерзлота. Горячие недра.

7. Почему морская вода солёная? Океан – среда жидкая и постоянно перемешивается. Однородны ли его воды? Могут ли в океане быть потоки пресной воды или, наоборот, очень солёной? Были ли моря и океаны когда-нибудь в прошлом пресными? А в будущем?

Ключевые моменты. Ионный раствор. Ионный состав. Размывание горных пород. Выбросы извержений. Формирование первичных океанов. Пресные потоки. Солёные потоки. Пресный «океан» – Байкал.

8. Как открывали планеты раньше? Как их открывают теперь? Каков наибольший временной перерыв в открытиях новых планет? Сколько времени потребовалось человечеству от первой научной постановки задачи поиска планет около других звёзд до реального открытия первой экзопланеты (вне Солнечной системы)?

Ключевые моменты. Семь планет древности. Телескопические открытия: Галилей (случайно наблюдал Нептун); Гершель (Уран). Открытия по гравитационным возмущениям: Леверье. Малые планеты; транснептуны. Программы планетных исследований; программы поиска малых тел. Джордано Бруно – множественность миров и других планет. Поиски и открытия экзопланет.

9. Какие вы можете назвать затмения, имевшие театральные, литературные или исторические последствия?

Ключевые моменты. Слово о полку Игореве. Янки при дворе короля Артура. Затмение 1919 г. – Эйнштейн. Король Лир. Затмения в летописях. Указ Петра I. «Хи и Хо». Затмение Колумба. Измерение скорости света Рёмером по затмениям спутников Юпитера.

10. В старину люди жили «по солнцу», а потом стали строить себе механические часы и от Солнца отказались. Почему? (У парижских часовщиков был даже свой девиз: «Солнце показывает время обманчиво».) Когда в счёте времени отказались от «услуг» звёзд? Какие небесные объекты можно использовать в качестве эталонных часов? Какие нельзя? Почему? Зачем нам нужно равномерное время? Какие физические процессы реально используются для измерения и хранения времени? (Попробуйте предложить несколько технологий равномерного точного времени.)

Ключевые моменты. Часы дневные, часы ночные. Часы: песочные, водяные, маятник, механические, электронные, огненные. Уравнение времени. «Время по звёздам». Неравномерность вращения Земли. Барицентрическое время. Атомное время. Пульсарная шкала.