Тульский спецвыпуск № 2

Л.И.Ефимова,
МОУ «Лицей № 1», г. Щёкино, Тульская обл.

Решение задач повышенной сложности

Методика. 10–11-й классы. Физматпрофиль

Решение задач составляет неотъемлемую часть полноценного изучения физики, ведь судить о степени понимания физических законов можно только по умению сознательно применять их для анализа конкретных физических явлений, например, для решения задач. Преподавательская деятельность, на мой взгляд, и должна быть посвящена достижению высокой степени понимания физических процессов. Именно этим принципом я руководствуюсь при подборе задач для занятий по спецкурсу в профильных инженерных классах. Приведу примеры.

Задача 1. В длинной трубе между двумя поршнями массой M каждый находится 1 моль идеального одноатомного газа при температуре T₀ (масса газа много меньше массы поршней). В остальном пространстве трубы – вакуум. В начальный момент левый поршень имеет скорость 2, а правый – 6. Определите температуру газа при максимальном сжатии. Система теплоизолирована, теплоёмкостями поршня и сосуда, а также внешним давлением и трением пренебречь.

Анализ. Так как начальная скорость правого поршня больше, чем левого, то газ между поршнями сжимается. При этом скорость правого поршня убывает, а левого – возрастает. Так как система теплоизолирована, то сжатие газа приводит к увеличению его температуры. Отсюда следует, что температура перестаёт расти и достигает максимума в тот момент, когда прекращается сжатие, а это соответствует равенству скоростей поршней.

Решение. Проще всего эта задача решается в инерциальной системе отсчёта, связанной с центром инерции, относительно которой суммарный импульс системы поршни–газ остаётся равным нулю на протяжении всего процесса. Очевидно, что система отсчёта, связанная с центром инерции, должна двигаться влево со скоростью

В этой системе отсчёта полная энергия системы состоит из кинетической энергии поршней и внутренней энергии газа в начальный момент и только внутренней энергии газа в момент максимального сжатия. Кинетическая энергия поршней в начальный момент одинакова, а их суммарная кинетическая энергия равна W_к0 = , т.к. модули скоростей поршней в выбранной системе отсчёта равны каждый 2.

В конце сжатия кинетическая энергия поршней равна нулю: W_к = 0.

Внутренняя энергия газа в начале и в конце процесса соответственно:

Из закона сохранения полной энергии системы следует:  = W_к0 + W_вн0 = W_к + W_вн,

или 4M² +  откуда 

Поскольку  = 1 моль, то T_max = 

Задача 2. Заряженная частица попадает в среду, где на неё действует сила сопротивления, пропорциональная скорости. До полной остановки частица проходит путь s = 10 см. При наличии магнитного поля, перпендикулярного скорости частицы, она при той же начальной скорости останавливается на расстоянии l₁ = 6 см от точки входа в среду. На каком расстоянии l₂ от точки входа в среду остановилась бы частица, если поле было бы в два раза меньше?

Анализ. Изменение импульса частицы при движении в среде связано с импульсом силы сопротивления в отсутствие магнитного поля и с суммарным импульсом силы сопротивления и силы Лоренца при наличии магнитного поля. Рассматривая совместно эти случаи, мы сможем ответить на вопрос задачи.

Решение. На частицу в среде при наличии магнитного поля действуют две взаимно перпендикулярные, пропорциональные скорости частицы, силы:

– сила сопротивления: 

– сила Лоренца:  

Приращение импульса частицы за время (на рисунке показаны длины векторов):

Подобный же треугольник образуют и соответствующие векторы за время движения частицы (здесь l – расстояние от точки входа частицы в среду до остановки, ₀ – начальная скорость частицы).

В отсутствие поля прямоугольный треугольник вырождается в прямую, тогда m₀ = ks.

В магнитном поле индукцией В, используя теорему Пифагора, имеем:

m₀ = ;

в поле с магнитной индукцией

m₀ = .

Поскольку m₀ = ks, можно переписать полученные уравнения:

            (1)

    (2)

Преобразуем выражение (2):

    (3)

Из выражения (1) получаем: 

тогда выражение (3) примет вид:

Задача 3. Для системы, показанной на рисунке, определите циклическую частоту   малых колебаний в плоскости рисунка. Стержень и пружины невесомы, масса грузика m, длина стержня l, жёсткость пружин k₁. На рисунке показано положение равновеси я (пружины недеформированы).

Анализ. На движение комбинированного маятника влияют и сила тяжести, и упругие силы деформированных пружин. Рассмотрев силы, действующие на выведенный из положения равновесия маятник, необходимо записать второй закон Ньютона и получить уравнение гармонических колебаний.

Решение. При смещении груза из положения равновесия вправо на расстояние x на него действуют силы, направленные к положению равновесия, т.е. влево: F₁, обусловленная действием поля тяжести, и F₂ – равнодействующая сил, действующих со стороны деформированных пружин. Если отклонение x мало, то проекции этих сил на ось x:

F_2x = –k_1x – k_2x = –(k₁ + k₂)x.

Запишем второй закон Ньютона:

Учитывая, что можно записать:

Сравнивая полученные выражения с уравнением гармонических колебаний видим, что

Учитывая, что для изолированных нитяного и пружинного маятников соответственно:

получаем результат:   – квадрат частоты собственных колебаний комбинированного маятника равен сумме квадратов составляющих её частот. Окончательный результат:

Литература

Буздин А.И., Зильберман А.Р., Кротов С.С. Раз задача, два задача... – М.: Наука, 1990.
Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах: Учебн. пособие. 4-е изд., стереотипное.//Серия «Учебники для вузов. Специальная литература». – СПб.: Лань, 1999.
Меледин Г.В. Физика в задачах. Экзаменационные задачи с решениями: Учебное пособие. – М.: Наука, 1985.
Сборник задач по физике для 10–11 кл. с углублённым изучением физики: 2-е изд., перераб. и доп.//Сост. Л.П.Баканина, В.Е.Белонучкин, С.М.Козел. Под ред. С.М.Козела. – М.: Просвещение, 1999.

---

Лариса Ивановна Ефимова – выпускница МГПИ им. В.И.Ленина, учитель физики высшей квалификационной категории, педагогический стаж 26 лет, имеет звание «Почётный работник образования», дважды Соросовский учитель. Принимает участие в работе городского методического объединения учителей физики (открытые уроки, выступления, проведение практических занятий по решению задач с учителями города и района). Учащиеся лицея, где преподаёт Лариса Ивановна, занимают призовые места в физических олимпиадах, организуемых ТулГУ на механико-математическом факультете. Выпускники учатся в ТулГУ, ТПГУ, МЭИ, МГТУ им. Н.Э.Баумана. Свободное время Лариса Ивановна посвящает внукам, любит вязать, слушать классическую музыку.