Абитуриенту

С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин,
И.П.Николаев, Н.Б.Подымова,
М.С.Полякова, проф. В.И.Шмальгаузен,
физфак МГУ, г. Москва

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2002 г.

1 Внутри незаряженного плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально на расстоянии l = 2 см друг от друга, падает положительно заряженная пылинка. Вследствие сопротивления воздуха пылинка движется равномерно, проходя некоторый путь за время t₀ = 10 с. Когда на конденсатор подали напряжение U = 980 В, пылинка начала двигаться равномерно вверх, пройдя тот же путь за время t₁ = 5 с. Определите отношение g заряда пылинки к ее массе. Силу сопротивления воздуха считайте пропорциональной скорости пылинки, ускорение свободного падения принять g = 9,8 м/с².

Решение

Пусть b – коэффициент сопротивления воздуха, m – масса пылинки, d – пройденный пылинкой путь. Тогда при движении пылинки вниз с постоянной скоростью v₀ справедливо уравнение

Движение пылинки вверх с постоянной скоростью v₁ описывается уравнением

где q – заряд пылинки. Выражая из первого уравнения b и подставляя во второе, после несложных преобразований получаем ответ:

2   Электрон влетает со скоростью v = 10⁷ м/с в отверстие в нижней пластине плоского конденсатора. Между пластинами поддерживается разность потенциалов U = 425 В. Определите максимальное удаление h электрона от нижней пластины конденсатора, если угол, который составляет вектор начальной скорости электрона с вектором напряженности электрического поля конденсатора, a = 30°, расстояние между пластинами конденсатора d = 1 см, отношение заряда электрона к его массе g = 1,76 • 10¹¹ Кл/кг. Считайте электрическое поле внутри конденсатора однородным, силу тяжести не учитывать.

Решение

Составляющая скорости электрона v_пз = v sina, параллельная пластинам, будет оставаться постоянной. Составляющая скорости, перпендикулярная пластинам, при максимальном удалении h электрона от нижней пластины обратится в нуль. Поскольку электростатические силы потенциальны, полная механическая энергия электрона при движении внутри конденсатора сохраняется. Обозначив через m массу электрона, а через пeз – величину его заряда, имеем:

Отсюда после несложных преобразований получаем ответ:

3 Электронный пучок проходит между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора и попадает на экран. Начальная скорость электронов направлена горизонтально и равна v = 10⁷ м/с. Пластины конденсатора представляют собой квадраты со стороной a = 10 см, а величина заряда на каждой из них составляет Q = 10^–10 Кл. Расстояние от правого края конденсатора до экрана равно d = 5 см. Определите поперечное смещение d электронов в плоскости экрана, связанное с действием конденсатора. Электрическая постоянная e₀ = 8,9 • 10^–12 Ф/м, отношение величины заряда электрона к его массе g = 1,78 • 10¹¹ Кл/кг. Расстояние между пластинами конденсатора намного меньше их размера. Силу тяжести не учитывать.

Решение

Поскольку в задаче требуется найти смещение электронов, вызванное действием конденсатора, электрическим взаимодействием между электронами можно пренебречь и считать, что на каждый электрон, находящийся внутри конденсатора, действует сила F=пeзE, направленная вертикально вверх (здесь e – заряд электрона,  – напряженность поля внутри конденсатора). Вертикальное смещение электрона при движении внутри конденсатора в течение времени равно

При вылете из конденсатора электрон имеет вертикальную скорость Пролетая вне конденсатора расстояние d за время он приобретает смещение

Поскольку полное смещение электрона ответ имеет вид:

4 Две частицы, одинаковые по массе и заряженные равными по величине разноименными зарядами, движутся по окружности вокруг неподвижного центра масс. Пренебрегая гравитационным взаимодействием между частицами, найдите отношение a величин потенциальной и кинетической энергий частиц. Принять, что энергия взаимодействия частиц при их удалении на бесконечно большое расстояние равна нулю.

Решение

Уравнение движения каждой из частиц под действием сил кулоновского притяжения имеет вид:

где v – скорость каждой из частиц, r – радиус их орбит, q – величина их зарядов. Кинетическая энергия частиц

величина потенциальной энергии их притяжения

Находя отношение между этими величинами, получаем ответ:

5 Электрическая лампа с вольфрамовой нитью рассчитана на напряжение U = 220 В и потребляет в рабочем режиме мощность W = 100 Вт. Сопротивление отключенной от сети лампы при температуре 0 °С равно R₀ = 40 Ом. Найдите температуру t нити лампы в рабочем режиме, если температурный коэффициент сопротивления вольфрама a =  4,1•10^–3 К^–1. Изменением длины нити при нагреве пренебречь.

Решение

Сопротивление лампы в рабочем режиме R связано с сопротивлением холодной лампы R0 соотношением:

Отсюда:

Учитывая, что получаем ответ:

6 Спираль, свернутая из стальной проволоки, подключена к источнику постоянной ЭДС с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением. Во сколько раз a изменится время нагрева определенного количество воды от комнатной температуры до температуры кипения, если заменить эту спираль на стальную спираль той же массы, свернутую из проволоки, имеющей в b = 2 раза меньшую длину? Потерями тепла пренебречь.

Решение

Время нагрева воды t обратно пропорционально мощности, выделяющейся в спирали. Мощность, в свою очередь, обратно пропорциональна сопротивлению спирали R. Следовательно,

Сопротивление спирали равно

где r – удельное сопротивление стали, l – длина проволоки, V – объем проволоки. Следовательно,

Ответ: