Архив
Задачи ТЮФА
Из архива С. Варламова
Электромагнитная пушка
Среди стандартного оборудования школьных кабинетов физики есть разборный трансформатор, состоящий из катушек и железного сердечника, – он входит в комплект для демонстрации явления электромагнитной индукции. В этом же наборе есть два кольца – из алюминия и меди. Диаметр их такой, что они как раз надеваются на сердечник трансформатора. Для успешной демонстрации явления электромагнитной индукции достаточно поставить вертикально на стол только короткую часть железного сердечника, на нее надеть катушку с надписью «1200–2400», а обмотку катушки с выводами 0–1200 через ключ подключить к сети 220 В. Если кольца (поодиночке или вместе) расположить на верхнем торце катушки, то при замыкании ключа они подпрыгивают.
Думаю, что все учителя физики показывают этот эксперимент в 11-м классе, но позволю себе обратить внимание на то, что и в какой последовательности демонстрировать.
Для начала я показываю «прыжок» алюминиевого кольца – оно взлетает примерно на 30 см и обычно обратно на сердечник не попадает. Затем показываю опыт с медным кольцом – оно подпрыгивает совсем невысоко, на 5–7 см, и «зависает» на некотором расстоянии от своего начального положения – до тех пор, пока катушку не отключают от сети. Через несколько секунд даю подержать кольцо кому-нибудь из учеников. Оно разогрелось – это сразу чувствуется. Кстати, если прикоснуться к обмотке катушки, то никакого нагрева не обнаружится. Это говорит о том, что индуктивное сопротивление катушки много больше ее омического сопротивления.
После этой «затравки» задаю вопрос: а как поведут себя кольца, если надеть их на сердечник вместе? Что будем наблюдать, если положить медное кольцо сверху? а если алюминиевое? Предлагаю сначала предсказать результат эксперимента. Обычно ученики выдают несколько версий. Самой популярной бывает такая: «Если алюминиевое кольцо будет снизу, то оно поднимется на меньшую высоту, т.к. будет тормозиться медным. Если же алюминиевое кольцо будет сверху, то ничего не изменится по сравнению с тем, когда кольца клали по отдельности».
После голосования учеников за предложенные варианты провожу эксперимент. Оказывается, что независимо от того, какое кольцо внизу, оба подпрыгивают высоко и соскакивают с сердечника. Итак, интуиция нас обманула, значит, нужно глубже разобраться в явлении.
Откуда берется сила, заставляющая кольцо (кольца) двигаться с ускорением вверх или удерживающая кольцо на весу на некоторой высоте? Желательно, чтобы ученики дали ответ самостоятельно.
Обычно они легко вспоминают, что магнитное поле катушки с сердечником пропорционально току I(t)=I0 cos wt, протекающему по обмотке. Это магнитное поле в месте расположения кольца имеет как вертикальную В^(t)=В^cos wt, так и горизонтальную ВъЅ(t) = ВъЅcoswt составляющие. Мы считаем направление «вверх» положительным. Амплитуда тока в катушке прямо пропорциональна амплитуде напряжения в сети U0 и обратно пропорциональна частоте w и индуктивности катушки Lкат:
Если материал сердечника имеет большую магнитную восприимчивость m и при протекании тока не происходит его насыщения, то индукцию магнитного поля можно считать пропорциональной m и числу витков катушки N, приходящихся на единицу ее длины l:
Ток в катушке переменный, поэтому магнитный поток через площадку, ограниченную кольцом, изменяется. Следовательно, в кольце возникает ток самоиндукции. Все геометрические размеры и материал кольца нам известны. Ученики вспоминают, что кольцо при пропускании переменного тока через катушку разогревается, и быстро догадываются, что нужно учесть омическое сопротивление R кольца. Однако очень редко сразу вспоминают (в моей практике такого просто ни разу не было), что и кольцо имеет индуктивность.
Предлагаю ученикам написать уравнение для тока в кольце (второе правило Кирхгофа) при условии, что кольцо неподвижно. Кстати, не следует сразу указывать на то, что не учтена индуктивность кольца. Вот что обычно пишут ученики:
В этом уравнении S = pr2 – площадь кольца, r – его радиус, В^coswt – составляющая индукции магнитного поля вдоль оси кольца. Теперь, зная ток, протекающий по кольцу, найдем силу Ампера, действующую на кольцо вдоль его оси:
Очевидно, что среднее значение силы Ампера за период равно нулю, – но кольцо-то прыгает! Что-то не в порядке с уравнением. Где же мы допустили ошибку? Вспоминаем, что магнитное поле самого кольца тоже создает магнитный поток через это самое кольцо, т.е. кольцо имеет индуктивность L. Исправленное уравнение для тока через кольцо будет теперь выглядеть так:
Это уравнение позволяет найти переменный ток в цепи, состоящей из последовательно включенных омического сопротивления R и индуктивности L, которая подключена к источнику переменного напряжения U (t) = SBъЅwsinwt. Решить это уравнение можно, например, методом векторных диаграмм. Фаза тока в цепи отличается от фазы напряжения источника:
Мгновенное значение силы, действующей на кольцо со стороны магнитного поля:
Вот теперь видно, что средняя за период сила, действующая на кольцо со стороны магнитного поля, не равна нулю:
Отметим, что средняя сила направлена в положительном направлении (вверх). Ее значение пропорционально произведению амплитудных значений компонент индукции магнитного поля B^ЧBъЅ. Будем считать, что материал сердечника катушки имеет большую магнитную проницаемость m, но не достигает насыщения. Тогда это произведение компонент, в свою очередь, пропорционально величине:
Здесь U – напряжение сети, l – длина сердечника,
N – число витков катушки, pr2
– площадь сечения сердечника. Поскольку 
формула для
средней силы запишется так:
В приведенных формулах омическое сопротивление кольца R и его индуктивность L сами зависят от радиуса кольца r и от других его геометрических размеров (высоты и толщины), а также от материала кольца. При заданных размерах сердечника и кольца, а также при фиксированной частоте колебаний тока средняя сила будет увеличиваться при увеличении напряжения на катушке и уменьшении числа витков катушки:
Предсказываемую зависимость от числа витков и напряжения можно проверить, взяв другую катушку из набора и подавая на нее напряжение от регулируемого источника – лабораторного автотрансформатора (ЛАТР).
Полученная формула для средней силы позволяет проанализировать результаты экспериментов, в которых кольца подпрыгивали вверх при включении катушки в сеть. И для алюминиевого кольца, и для медного существует определенная высота над катушкой, на которой средняя сила, действующая на кольцо со стороны магнитного поля, уравновешивается силой тяжести. Это связано с тем, что по мере перемещения кольца вверх уменьшаются и вертикальная, и горизонтальная составляющие индукции магнитного поля в месте расположения кольца. Экспериментально можно установить, что соответствующая высота для алюминиевого кольца больше высоты для медного кольца. Действительно, плотность меди (8960 кг/м3) в 3,3 раза больше плотности алюминия (2690 кг/м3), а удельные сопротивления этих металлов отличаются всего в 1,6 раза.
Напомним, что выражения для средней силы, действующей на кольцо со стороны магнитного поля, были получены для покоящегося кольца. При механическом движении колец в магнитном поле магнитный поток изменяется. Для точного описания движения кольца это изменение, конечно, необходимо учитывать.
Однако легко показать, что скорость изменения магнитного потока, связанная с механическим движением кольца, в данном эксперименте (при частоте переменного тока 50 Гц и высотах подпрыгивания кольца около 0,3 м) меньше скорости изменения потока, связанной с переменным характером тока в катушке. Например, алюминиевое кольцо разгоняется на участке длиной примерно 10 см, а взлетает вверх еще примерно на 20 см. Время движения с ускорением, направленным вверх, равно примерно 0,1 с. За это время магнитное поле успевает десять раз сменить направление. Это означает, что движение катушки можно рассматривать как медленное – квазистатическое. Участок пути, на котором алюминиевая катушка движется с ускорением вверх, длиннее соответствующего участка для медного кольца. Да и само ускорение больше. Вот почему алюминиевое кольцо прыгает выше, чем медное.
Теперь самый интересный вопрос: а почему же положенные на катушку вместе медное и алюминиевое кольца прыгают высоко? Кольцо находится в суммарном магнитном поле, созданным током в катушке и током, протекающим по второму кольцу. Верхнее кольцо при протекании по нему тока уменьшает вертикальную компоненту индукции магнитного поля и одновременно увеличивает горизонтальную компоненту индукции для нижнего кольца. Произведение компонент индукции магнитного поля при этом увеличивается, а значит, увеличивается средняя сила, действующая на нижнее кольцо. Вот почему медное кольцо подскакивает выше, когда над ним находится алюминиевое кольцо. Это же рассуждение объясняет, откуда берется дополнительная сила, позволяющая находящемуся снизу алюминиевому кольцу не только взлететь, но и подтолкнуть лежащее сверху медное кольцо на большую высоту.
Эксперимент показывает, что после подключения катушки к сети оба кольца летят вместе. На начальном этапе полета они просто соприкасаются друг с другом. Это тоже легко объяснить. Индукционный ток в кольцах хоть и уменьшает внешнее магнитное поле, но не до нуля. Это означает, что индукционные токи в обоих кольцах имеют одинаковое направление. А как известно, провода с токами одного направления притягиваются друг к другу.
В заключение можно поставить перед собой задачу: подобрать такие условия, при которых кольцо взлетит как можно выше. Экспериментаторы! Дело за вами, найдите оптимальные размеры и форму катушки, сердечника и кольца, чтобы кольцо – на радость учителям и ученикам – взлетало в классе под самый потолок!
С. Варламов,
СУНЦ МГУ, МИОО, г. Москва
.