В.А.Алешкевич, А.В.Грачев, В.А.Погожев,
М.В.Семенов, В.С.Степанова, А.А.Якута

Вступительные экзамены по физике*

III. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

9   На концах тонкого жесткого невесомого горизонтального диэлектрического стержня закреплены два маленьких шарика, каждый из которых имеет массу m и заряд q. Стержень медленно раскручивают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Когда угловая скорость вращения стержня становится равной w, стержень разрывается. При какой угловой скорости разорвался бы стержень, если бы он находился в однородном вертикальном магнитном поле c индукцией B?

Решение

Как обычно, будем считать, что движение стержня с шариками задано относительно инерциальной системы отсчета. Кроме того, будем пренебрегать действием сил сопротивления движению стержня с шариками, силами магнитного взаимодействия шариков друг с другом и силами тяжести. Поскольку шарики заряжены одноименно и, следовательно, действующие между ними силы кулоновского взаимодействия F_К являются силами отталкивания, на любой из шариков со стороны стержня действует сила, которая не только обеспечивает шарику центростремительное ускорение, но и компенсирует действие кулоновской силы отталкивания и силы Лоренца F_Л со стороны внешнего магнитного поля. Если силу натяжения, при которой происходит разрыв стержня, обозначить F_max, длину стержня считать равной 2L, то искомая угловая частота вращения wx, при которой произошел бы разрыв стержня при наличии магнитного поля, должна удовлетворять уравнению

В этом уравнении знак «плюс» соответствует случаю, когда направление вращения и направление внешнего магнитного поля В связаны между собой правилом «правого винта», а знак «минус» – правилом «левого винта». Из сказанного следует, что при двух возможных, по условию задачи, направлениях магнитного поля разрыв стержня должен произойти, когда его угловая скорость достигнет величины

10  По тонкому диэлектрическому кольцу массой m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, равномерно распределен заряд Q. Кольцо находится в однородном вертикальном магнитном поле индукцией В. Найдите угловую скорость, которую приобретет кольцо после выключения магнитного поля.

Решение

Как обычно, будем считать, что стол, на котором лежит кольцо, покоится относительно инерциальной системы отсчета. Кроме того, будем пренебрегать влиянием воздуха на кольцо. Поскольку стол является гладким и горизонтальным, действующая со стороны стола сила реакции имеет лишь вертикальную компоненту, компенсирующую действие силы тяжести на кольцо. При изменении во времени индукции магнитного поля, согласно закону электромагнитной индукции, должно возникать вихревое электрическое поле, линии индукции которого лежат в горизонтальной плоскости. Напряженность этого поля можно найти, воспользовавшись правилом потока Фарадея–Максвелла. Как известно, изменение во времени сцепленного с контуром магнитного потока должно порождать в этом контуре появление сторонних электрических сил, модуль ЭДС которых в системе СИ равен

Учитывая, что кольцо является тонким и находится в однородном магнитном поле, можно утверждать, что площадь контура, ограниченного кольцом, равна S=2pR²а т.к. все точки кольца находятся в идентичных условиях и длина окружности равна 2pR, то напряженность стороннего электрического поля в любой точке кольца должна быть направлена вдоль касательной к его поверхности и по модулю равна

Поскольку кольцо заряжено равномерно, то на любой малый элемент кольца Dl будет действовать сила, направленная перпендикулярно радиусу, соединяющему этот элемент с центром кольца, и равная

Следовательно, согласно второму закону Ньютона, любая точка кольца при изменении индукции магнитного поля со скоростью dB/dt должна двигаться с тангенциальным ускорением

т.е. за малый промежуток времени угловая скорость кольца должна увеличиться на величину

Учитывая, что кольцо первоначально покоилось, суммируя приращения угловых скоростей, найдем искомую максимальную скорость, которую приобретет кольцо при выключении магнитного поля:

11   Плоскую рамку, состоящую из небольшого числа N витков тонкого провода, вращают вокруг горизонтальной оси, лежащей в плоскости рамки, с угловой скоростью w в однородном вертикальном магнитном поле. Концы обмотки замкнуты накоротко, а ее общее сопротивление равно R. Пренебрегая индуктивностью обмотки, найдите индукцию В магнитного поля, если площадь каждого из витков равна S, а для поддержания вращения к рамке необходимо прикладывать момент сил, в среднем равный M_ср.

Решение

Поскольку рамка состоит из небольшого числа витков тонкой проволоки, можно пренебречь потоком магнитного поля, пронизывающим материал ее проводников. Учитывая, что индуктивностью рамки следует пренебречь, т.е. следует пренебречь потоком магнитного поля, созданного током в проводниках рамки, можно утверждать, что при надлежащем выборе начала отсчета времени сцепленный с рамкой поток в момент времени t будет равен , Ф(t)=BNS cos a(t), где a(t) =wt – угол между вектором индукции В внешнего поля и нормалью к плоскости рамки. Изменение сцепленного с рамкой потока, согласно закону электромагнитной индукции, должно привести к возникновению сторонних электрических сил, энергетическая характеристика которых – ЭДС – равна

Поскольку проводники рамки замкнуты накоротко, а ее общее сопротивление равно R, согласно закону Ома, при сделанных предположениях ток в проводниках должен быть равен . При этом в рамке, по закону Джоуля–Ленца, должна выделяться мгновенная тепловая мощность, равная N_Т(t)=RI²(t).

Полагая, что ось рамки неподвижна относительно инерциальной системы отсчета и потенциальная энергия рамки во внешнем поле остается неизменной, на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что для поддержания неизменной скорости вращения рамки потери энергии, обусловленные выделением тепла, должны компенсироваться работой внешних сил. Напомним, что, по определению, момент силы относительно данной оси равен произведению плеча силы h на модуль F этой силы. За достаточно малый промежуток времени Dt модуль силы F(t) можно считать неизменной, а перемещение точки приложения этой силы совпадающим с ее направлением и равным Dr=whDt. Следовательно, работа источника момента силы за достаточно малый промежуток времени должна быть равна DA(t)=F(t)Dr=M(t)wDt. Отсюда и из сказанного ранее следует, что мгновенная мощность внешней силы

Учитывая, что среднее значение квадрата гармонической функции за период равно 0,5, а среднее значение момента сил, действующих на рамку, по условию, равно М_ср, из последнего соотношения находим искомую величину индукции магнитного поля:

12  В схеме, показанной на рис. 6, ключ K из разомкнутого состояния 0 переводят в положение 1, а затем, через достаточно большой промежуток времени, – в положение 2. Первоначально оба конденсатора были разряжены. Пренебрегая сопротивлением элементов схемы, найдите амплитуду тока через катушку индуктивностью L = 30 мГн, если ЭДС батареи емкости конденсаторов С₁=2 мкФ, С₂=1 мкФ.

Решение

Поскольку ключ K находился в положении 1 достаточно долго, можно утверждать, что к моменту его переключения в положение 2 конденсатор С₁ должен был приобрести заряд . Учитывая что заряд конденсатора С₂ к моменту подключения к нему конденсатора С₁ был равен нулю, а индуктивность участка цепи, содержащей конденсаторы и ключ, во много раз меньше заданной индуктивности катушки L, к моменту времени, когда напряжения на конденсаторах станут равными, через катушку протечет бесконечно малый заряд. Поэтому на основании закона сохранения заряда можно утверждать, что напряжение между обкладками конденсаторов к указанному моменту должно стать равным

а электрическая энергия, запасенная в контуре, будет равна

В тот момент, когда напряжение между обкладками конденсаторов станет равным нулю, ток через индуктивность достигнет своего максимума I₀. Учитывая заданные значения индуктивности и емкости элементов контура и полагая линейные размеры элементов контура много меньшими длины волны, соответствующей собственным колебаниям, возникшим после переключения ключа K в положение 2, можно, как это обычно и делается, пренебречь излучением контура. Поскольку сопротивлением элементов контура, по условию задачи, следует пренебречь, то на основании закона сохранения энергии можно утверждать, что искомая амплитуда тока I₀ должна удовлетворять соотношению:

Решая полученное уравнение, найдем интересующую амплитуду тока:

В заключение отметим, что в момент переключения ключа K в положение 2 в цепи, состоящей из конденсаторов схемы, части соединительных проводов и ключа K, из-за ее малой индуктивности возникают столь высокочастотные колебания, что к тому моменту, когда ток через индуктивность контура L становится значимым, излученная энергия должна стать равной

т.к. в противном случае не может быть выполнен закон сохранения заряда.

13  В схеме, приведенной на рис. 7, ключ K₁ первоначально находился в положении 1, а ключ K₂ был замкнут. Затем ключ K₂ разомкнули, а ключ K₁ перевели в положение 2. Пренебрегая сопротивлением всех проводников, найдите максимальную силу тока через катушку индуктивности. Обозначения элементов схемы указаны на рисунке.

Решение

Поскольку ключ K1 длительное время находился в положении 1, соединяя между собой пластины конденсатора С1, заряд этого конденсатора перед изменением положения ключей . В то же время заряд конденсатора С₂, подключенного к батарее через замкнутый ключ K₂, в соответствии с определением емкости конденсатора был равен .

Пренебрегая, как обычно, токами утечки в диэлектриках конденсаторов и между разомкнутыми клеммами ключей, можно утверждать на основании закона сохранения заряда, что в любой момент времени t сумма зарядов на соединенных между собой обкладках конденсаторов С₁ и С₂ должна удовлетворять соотношению q_C1(t)-q_C2(t)=-q_C2 т.к. эти пластины после переключения ключей становятся изолированными от остальных частей схемы. Вместе с тем после переключения ключа К₁ в положение 2 конденсаторы должны начать разряжаться через индуктивность L. Поскольку, по условию задачи, сопротивлением всех проводников схемы следует пренебречь, то, пренебрегая, как обычно, излучением электромагнитной энергии, можно утверждать, что в контуре, образованном последовательно соединенными конденсаторами и катушкой индуктивности, должны возникнуть гармонические колебания. При этом в те моменты времени t, когда ток в контуре становится максимальным напряжение на катушке индуктивности  должно становиться равным нулю. Следовательно, сумма падений напряжений на конденсаторах также должна обращаться в нуль, т.е.  Поэтому можно утверждать, что заряды конденсаторов в указанные моменты времени должны удовлетворять соотношению:

С другой стороны, при сделанных предположениях, на основании закона сохранения энергии и с учетом ранее написанных соотношений получаем:

Подставляя в это соотношение величину заряда, которую имел конденсатор С₂ в момент переключения ключа K₁, найдем искомую максимальную силу тока

Комментарий редактора. Приводим более «физичный» вариант решения.

После переключения ключей мы получаем колебательный контур, образованный катушкой индуктивностью L и эквивалентным конденсатором С_к емкостью Входящий в его состав конденсатор С₁ не заряжен, а конденсатор С₂ заряжен до напряжения где q – заряд. Это напряжение вызывает ток в цепи колебательного контура, в результате чего конденсатор С₁ заряжается, конденсатор С₂ разряжается, а катушка накапливает магнитную энергию, т.е. начинается колебательный процесс в контуре с периодом

Когда ток в катушке индуктивности достигает максимума, напряжение на ней становится равным нулю, следовательно, оно будет равно нулю и на конденсаторе С_к. При этом напряжения на составляющих его конденсаторах С₁ и С₂ равны по величине: (по знаку они противоположны). Учитывая, что в любой момент времени находим Именно такой заряд протекает по контуру каждые четверть периода в процессе перезарядки конденсатора С_к, при этом магнитная энергия, запасаемая в катушке, преобразуется в электрическую энергию, запасаемую в конденсаторе. Следовательно:

Проанализируем полученный результат. Величина  называется волновым сопротивлением и, таким образом, . Из условия С₁ = С₂ = С следует, что . Тогда получаем, что только половина энергии заряженного конденсатора С₂ участвует в колебательном процессе. Если волновое сопротивление контура  , и ток не зависит от величины заряжаемой емкости С₂. В колебательном процессе при участвует очень малая доля накопленной энергии в конденсаторе С₂.

 В.А. Козлов

Продолжение. См. № 48/01

.