Абитуриенту

А.А.ШИРОКОВ, Н.Н.ГОМУЛИНА, В.П.НЕДОШИВИН,
г. Москва

В УНИВЕРСИТЕТ!

Задачи, предлагавшиеся в разные годы при поступлении на естественные факультеты МГУ

Задача 72. Два одинаковых вольтметра, соединенных последовательно, при подключении к источнику тока показывают напряжение U1 = 4,5 В каждый. Если к тому же источнику подключить один вольтметр, он показывает напряжение U = 8 В. Чему равна ЭДС источника?

Дано:

R₁ = R₂ = R,
U₁ = 4,5 В,
U = 8 В.
_________
1 – ?

Анализ условия

[Эквивалентная схема вольтметра представляет собой «идеальный» амперметр (внутреннее сопротивление которого равно нулю) и включенный последовательно резистор сопротивлением R. Показание вольтметра: U = IR. – Ред.]

Решение

В первом случае два вольтметра включены последовательно, поэтому их общее сопротивление R₀ = R₁ + R₂ = 2R.

По закону Ома для замкнутой цепи:

Во втором случае

По закону Ома для участка цепи:

Отсюда 

U₁(2R + r) = U(R + r) Ю 2RU₁ + rU₁ = RU + rU Ю

Следовательно,

Проверка решения по размерности

С этой точки зрения задача решена верно, тогда

Задача 73. Световод представляет собой сплошной цилиндр из прозрачного материала, показатель преломления которого относительно воздуха n = 1,28. Луч света падает из воздуха в центр входного торца световода под углом b. Определите максимальное значение угла b0, при котором луч идет внутри световода, не выходя из него.

Дано:

n = 1,28.
_______
b₀ – ?

Анализ условия

Материал, из которого сделан световод, является оптически более плотной средой, чем воздух, поэтому на границе раздела световод–воздух может наблюдаться явление полного внутреннего отражения. Для этого необходимо, чтобы луч света падал на внутреннюю поверхность световода под углом, большим предельного угла a_пр. Тогда луч полностью отражается и распространяется внутри световода.

Решение

При падении луча под предельным углом угол преломления равен 90°, т.е. закон преломления записывается в следующем виде:

поскольку в условии задачи дан показатель преломления материала световода относительно воздуха. Тогда 

Падающий луч испытывает преломление на торце световода:

Из треугольника, образованного лучом, осью симметрии световода и перпендикуляром, восстановленным в точку падения луча, получим .
Тогда:

 

Из основного тригонометрического тождества:  cos² a_пр = 1 – sin² a_пр.

Следовательно,

 

Чем больше угол падения луча b на торец световода, тем больше угол преломления g и тем меньше угол падения луча на боковую поверхность световода. Для того, чтобы луч не выходил за пределы световода, нужно, чтобы он падал на эту поверхность под углом бо1льшим либо равным предельному. Поэтому:

.