Абитуриенту

В УНИВЕРСИТЕТ!

Задачи, предлагавшиеся в разные годы
при поступлении на естественные факультеты МГУ

Задача 70. В цилиндрический стакан, лежащий на боку на горизонтальной плоскости, начинают медленно вдвигать гладкий поршень. Найдите давление воздуха в цилиндре в тот момент, когда цилиндр сдвинется с места. Масса стакана вместе с поршнем m=2 кг, площадь поршня S=6 см², атмосферное давление p₀ = 100 кПа, коэффициент трения между плоскостью и цилиндром m=0,3.

Дано:	СИ
m = 2 кг,
S = 6 см2,	6 • 10–4 м2,
p0 = 100 кПа,	105 Па.
m = 0,3.
p – ?

Анализ условия

Цилиндр вместе с поршнем взаимодействует с Землей, плоскостью и воздухом. Поэтому на них действуют сила тяжести mg, реакция опоры Q, а также силы давления со стороны воздуха. Цилиндр с поршнем действует на плоскость с силой R. На поршень также действует сила, с которой его вдвигают в цилиндр, направленная горизонтально.

 

 Реакция опоры Q направлена под углом к вертикали, т.к. между цилиндром и плоскостью существует трение. Сила трения меняется от нуля, когда поршень только начинают вдвигать в цилиндр, до своей максимальной величины, называемой максимальной силой трения покоя f_max, равной силе трения скольжения.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. Запишем уравнение движения цилиндра для того момента, когда он начинает двигаться:

mg + Q + F + F₁ = 0,

где F – сила давления воздуха в стакане на его дно, F₁ – сила давления атмосферного воздуха.

Спроектируем это векторное равенство на оси координат:

Ox:  –fmax + F – F1 = 0; Oy: –mg + Qn = 0.

(1) (2)

По закону Кулона, f_max = mN, где N – сила нормального давления – составляющая силы R на направление, перпендикулярное плоскости.

По третьему закону Ньютона, Q = –R, тогда для проекций на ось Oy получаем   Q_n = –(–N) = N.

Следовательно, с учетом уравнения (2):   f_max = mN = mQ_n = mmg.

Тогда из уравнения (1) получаем  F = f_max + F₁.

По определению, F = pS; F₁ = p₀S. Тогда

Проверка решения по размерности

С этой точки зрения задача решена верно, тогда

Комментарий редактора

Приводим более короткое и ясное решение.

Анализ условия

Для начала сделаем более четкий рисунок.

 По условию задачи, поршень в цилиндрический стакан вдвигают медленно, поэтому будем считать, что центр масс (ц.м.) системы поршень–стакан движется до начала скольжения стакана с ускорением, близким к нулю.

На систему поршень–стакан действуют следующие внешние силы: сила тяжести mg (m – суммарная масса поршня и стакана), внешняя сила со стороны человека, вдвигающего поршень, F и сила реакции опоры, состоящая из нормальной составляющей N и силы трения F_тр. Равнодействующая сил, действующих на систему со стороны воздуха снаружи стакана, равна нулю.

Рассмотрим теперь поршень. На поршень действуют следующие силы: сила тяжести m₁g (m₁ – масса поршня), сила реакции опоры N ', направленная вертикально вверх, т.к. сила трения между поршнем и стаканом, по условию задачи, отсутствует, сила давления Р₁ = i(p₀S), действующая со стороны воздуха, находящегося снаружи стакана, и сила Р₂ = –i(pS), действующая со стороны воздуха, находящегося в стакане (i – единичный вектор в направлении оси x). Ускорение поршня, учитывая условие «медленности», будем считать равным нулю.

Решение

Запишем 2-й закон Ньютона для системы поршень–стакан до начала скольжения стакана:

Ox:    0 = – Fтр + F; Oу:   0 = N – mg.

(1) (2)

То же для поршня:

Ox:   0 = F + p₀S – pS;       (3)
Ox:   0 = N ' – m₁g.

Из (1) и (3) получаем     

Давление будет нарастать до тех пор, пока F_тр не достигнет своей максимальной величины f _max, приближенно равной силе трения скольжения, т.е. с учетом (2):    f_max = mN = mmg.

Итак, давление в момент проскальзывания:

Задача 71. Два одинаковых шарика массой m = 0,09 кг каждый заряжены одинаковыми электрическими зарядами и подвешены при помощи непроводящих невесомых нитей к потолку один под другим. Какой заряд должен иметь каждый шарик, чтобы обе нити испытывали одинаковое натяжение? Электростатическим взаимодействием шариков с потолком пренебречь. Расстояние между шариками l = 0,3 м, электрическая постоянная e₀ = 8,85 • 10^–12 Ф/м , ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Дано:

m = 0,09 кг,
l = 0,3 м,
e₀ = 8,85 • 10^–12 Ф/м ,
g = 10 м/с²,
T₁ = T₂.
__________
q – ?

Анализ условия

Нижний шарик взаимодействует с Землей, нижней нитью и с другим шариком, поэтому на него действуют сила тяжести mg, сила упругости F_упр1 нити и кулоновская сила F_К1.

Нижняя нить взаимодействует с шариками, которые на нее действуют силами натяжения: нижний – с силой –T₁, верхний – с силой –T.

Верхний шарик взаимодействует с Землей, другим шариком, а также с верхней и нижней нитями. Следовательно, на него действуют: сила тяжести mg, кулоновская сила F_К2 и силы упругости нитей F_упр – со стороны нижней и F_упр2 – со стороны верхней.

На верхнюю нить со стороны верхнего шарика действует сила натяжения T₂.

Под действием этих сил каждое тело из рассматриваемой системы находится в равновесии.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. Запишем условия равновесия для каждого из тел системы шарики-нити:

для нижнего шарика:       mg + F_К1 + F_упр1 = 0;
для нижней нити:      T₁ + T = 0;
для верхнего шарика:       mg + F_К2 + F_упр + F_упр2 = 0.

Спроектируем записанные векторные равенства на ось Oy:

mg + FК1 – Fупр1 = 0, T1 – T = 0, mg – FК2 + Fупр – Fупр2 = 0.

(1) (2) (3)

По третьему закону Ньютона:

F_упр1 = T₁;     F_упр2 = T₂;    F_упр = T₁.

Тогда с учетом условия задачи Т₁ = Т₂ и уравнения (2):

F_упр1 = T₁ = T₂ = F_упр2 = T = F_упр.

Уравнения (1) и (3) примут вид:

Отсюда: T = 2mg и F_К1 = T – mg = 2mg – mg = mg.

По закону Кулона,

Таким образом, заряды шариков могут быть как положительными, так и отрицательными, но обязательно одного знака.

Проверка решения по размерности

С этой точки зрения задача решена верно, тогда:

Комментарий редактора

Приводим более простое решение.

Анализ условия

По условию задачи, нити невесомые, поэтому силы натяжения верхней нити T₁ и нижней нити T₂ на всем протяжении постоянны. Центр масс верхнего шарика будет двигаться под действием сил: притяжения к Земле mg, сил упругости нитей T₁ и T₂ и кулоновской силы F_к. Центр масс нижнего шарика будет двигаться под действием силы взаимодействия с Землей mg, силы упругости нижней нити T₂ и кулоновской силы F_к.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. запишем условия равновесия для каждого из тел системы шарики–нити:

для верхнего шарика:       mg + T₂ = F_к + T₁;      (1)
для нижнего шарика:       mg + F_к = T₂.

По условию задачи, T₁ = T₂. Тогда из (1) mg = F_к.

По закону Кулона, следовательно, 

Л.Е. Свистов, канд. физ.-мат. наук