Абитуриенту

В УНИВЕРСИТЕТ!

Задачи, предлагавшиеся в разные годы при поступлении на естественные факультеты МГУ

Продолжение. См. №  38/01

Задача 67. Кислород массой m = 3,2 кг находится в вертикальном цилиндре под поршнем при температуре t₁ = 22 °С. После сообщения кислороду количества теплоты Q = 9 • 10³ Дж его температура стала t₂ = 27 °С. Определите, какое количество теплоты пошло на увеличение внутренней энергии кислорода. Молярная масса кислорода M = 32 • 10^–3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 • 10³ Дж/(моль • К). Трение между стенками цилиндра и поршнем отсутствует. Изменением плотности кислорода в сосуде по высоте пренебречь.

Дано:

m = 3,2 кг,
t₁ = 22 °С,
T₁ = 295 К,
Q = 9 • 10³ Дж,
t₂ = 27 °С,
T₂ = 300 К,
M = 32 • 10^–3 кг/моль,
m = 0,
R = 8,31 Дж/(моль • К),
r = const.
_________
DU – ?

На поршень действуют сила тяжести Mg, сила давления F₁ со стороны газа в цилиндре и сила давления F₂ со стороны атмосферного воздуха. При достаточно медленном нагревании газа можно считать, что поршень поднимается равномерно. Тогда сила F₁ по величине равна сумме силы тяжести и силы давления атмосферного воздуха. В этом случае она постоянна, следовательно, и давление кислорода в цилиндре при этом процессе не меняется. Процесс перехода кислорода из начального в конечное состояние – изобарический.

Решение

По первому началу термодинамики, 

Q = DU + A,         (1)

где DU – изменение внутренней энергии газа, A – работа, совершаемая газом.

При изобарическом процессе

A = pDV = p(V₂ – V₁) = pV₂ – pV₁.                         (2)

Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева для двух состояний кислорода:

Вычтем из второго уравнения первое и получим:

Тогда уравнение (2) примет вид:

и из уравнения (1) получаем:

Проверка решения по размерности

 

С этой точки зрения задача решена верно, тогда

Задача 68. Амперметр, включенный в участок цепи, изображенный на рисунке, показывает силу тока I₁ = 0,5 А. Найдите силу тока через резистор R₄. Сопротивления резисторов: R₁ = R₄ = 2 Ом; R₂ = 4 Ом, R₃ = R₅ = 1 Ом. Сопротивлением амперметра пренебречь.

Дано:

I₁ = 0,5 А,
R₁ = R4 = 2 Ом,
R₂ = 4 Ом,
R₃ = R₅ = 1 Ом.
__________
I₄ – ?

Анализ условия

Резисторы R₁ и R₂, а также ветвь цепи, содержащая резисторы R₃, R₄ и R₅, соединены параллельно. Резистор R₃ включен последовательно с соединенными между собой параллельно резисторами R₄ и R₅.

Решение

Найдем разность потенциалов U_AB по закону Ома для участка цепи:

U_AB = I₁R₁.

Под таким же напряжением находится и нижняя ветвь цепи. Тогда протекающий по ней ток  , где R_3,4,5 – общее сопротивление нижней ветви цепи:

Тогда

Этот ток создаст на параллельно соединенных резисторах R₄ и R₅ напряжение

Тогда ток, протекающий по резистору R₄, по закону Ома, равен

Проверка решения по размерности

С этой точки зрения задача решена верно, тогда

Задача 69. Невесомый стержень вращается вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню. По разные стороны, на расстоянии l₁ = 1 м и l₂ = 2 м от нее, на стержне закреплены грузы массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг соответственно. Стержень, первоначально расположенный горизонтально, отпускают без толчка. Найдите скорости грузов в тот момент, когда стержень проходит вертикальное положение. Трение отсутствует. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Дано:

l₁ = 1 м,
l₂ = 2 м,
m₁ = 1 кг,
m₂ = 2 кг,
g = 10 м/с².
_________
v₁ – ?
v₂ – ?

Грузы взаимодействуют с Землей и стержнем, а стержень – с осью, поэтому на них действуют внешние силы: силы тяжести m₁g и m₂g, а на стержень – еще сила реакции Q опоры. Силы упругости, действующие на грузы со стороны стержня, и силы натяжения, действующие на стержень со стороны грузов, – внутренние силы системы тел: грузы–стержень.

Под действием этих сил система тел приходит во вращательное движение: груз m₁ движется – вверх, а груз m₂ – вниз. При предположении, что стержень абсолютно жесткий, угловые скорости тел равны.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. По закону сохранения механической энергии:

Связь между линейной и угловой скоростями выражается соотношением v = wR, где R – радиус вращения. Тогда для первого груза а для второго отсюда

Подставим полученное соотношение в (1):

Тогда