Стоячие волны

9-й класс. Углубленный курс

Приложения теории стоячих волн

Если камертон установить на ящик, закрытый с одного конца, причем длина ящика составит четверть длины волны, излучаемой камертоном, то в воздушном столбе внутри ящика образуется стоячая волна. Поскольку собственная частота этого столба равна частоте камертона, то наступит резонанс, и звук усилится. Понятно, что камертоны разного тона должны иметь резонаторные ящики разных размеров.

Роль резонаторов играют корпуса всех струнных музыкальных инструментов (гитары, скрипки, рояля и т.п.). Почему же резонатор камертона – простой ящик, тогда как корпуса даже балалайки, не говоря о виолончели, скрипки, рояле, имеют сложные формы? Да потому, что резонатор камертона должен усиливать только один, основной тон, а корпуса музыкальных инструментов - множество тонов и гармоник. Отметим, что изменение любой детали в архитектуре, например, скрипки, обязательно приведет к изменению характера ее звучания, ее, как говорят, тембра. Полный и точный расчет оптимальной формы музыкального инструмента пока выходит за пределы возможностей современной науки из-за необычайной сложности. И в настоящее время создание инструмента – это скорее искусство, чем техника, это итог творчества мастера, интуитивно придающего нужный облик своему творению. Поэтому до сих пор остаются непревзойденными шедевры гениальных кремонцев Амати, Гварнери, Страдивари.

Вид резонатора определяет, какие из обертонов будут усилены («подчеркнуты» в звучании), а какие ослаблены или вовсе подавлены. Именно это отличает звук одного музыкального инструмента от другого, даже если они звучат на одной ноте, и такая индивидуальность в окраске звучания инструмента называется тембром (магнитофонная запись тембров разных инструментов). Например, соль диез большой октавы рояля и кларнета имеют одну общую характеристику: частота основного тона n = 104 Гц. А вот обертонов в звуках этих инструментов – разное количество, различно и отношение амплитуд обертонов к амплитуде основного тона (демонстрация через эпипроектор рис. 38 из учебника Г.С.Ландсберга). Вообще, чем больше в звуке обертонов, тем он кажется богаче, благороднее, тем сильнее его график отличается от простой синусоиды. (Гельмгольц говорил, что звук камертона чист и прозрачен, как дистиллированная вода, но так же безвкусен). Правда, есть некоторое ограничение: звук, в состав которого входят континуально все частоты, воспринимается нами как шум. Для уха человека важно соотношение частот. Так, очень приятно для слуха звучит музыкально двухзвучие (интервал), характеризуемый отношением частот   Такой интервал зовут октавой. Неплохо звучат интервалы квинта   кварта   большая терция большая секста   Самым диссонирующим, режущим слух является секунда Из этих примеров видно, что музыкальным будет звук, в составе которого много обертонов, а их частоты составляют простые отношения.

Представление сложного колебания как суммы его основного тона и обертонов (или гармоник) называется его спектральным разложением, а совокупность частот, входящих в него, – его спектром. Заметим, что Фурье показал возможность представить любой периодический процесс как результат сложения конечного числа гармонических процессов с соответственно подобранными частотами, амплитудами и начальными фазами, а непериодический процесс как сумму бесконечного числа гармонических процессов с соответственно подобранными частотами, амплитудами и начальными фазами.

Применяя теорию стоячих волн, объясним принцип действия музыкальных духовых инструментов и голосового аппарата человека.

Любой духовой инструмент состоит из двух элементов: генератора шума (источника звука, излучающего звуки всех частот) и резонатора в виде столба воздуха, находящегося внутри трубы. Генератором шума служит мундштук, трость и т.п., помещенные в закрытом конце трубы. Из всего множества звуков разных частот, издаваемых генератором шума, резонатор усиливает те, которые удовлетворяют условиям возникновения стоячих волн, и подавляет все остальные. Если музыкант желает извлечь звук другого тона (сыграть другую ноту), он изменяет длину резонирующего воздушного столба. Особенно наглядно это видно на тромбоне. На других трубах это менее заметно, здесь изменение длины резонирующего столба достигается нажатием на клавиши-пистоны, которые «включают» или «отключают» отдельные участки трубы (кстати, такой механизм сравнительно молод; до 1826 г. каждая труба могла излучать очень ограниченный набор собственных частот) или создают новые пути выхода воздуха.

(При демонстрации модели тромбона задаем вопрос: почему меняется тон при закрывании выходного отверстия трубы?

Ответ. Когда выходное отверстие трубы открыто, то при звучании основного тона на длине трубы укладывается одна четверть длины волны, а при закрывании трубы стоячая волна устанавливается, если на той же длине укладывается половина длины волны. Следовательно, резонансная длина волны уменьшается вдвое и во столько же раз возрастает частота.)

В голосовом аппарате человека роль генератора шума играют голосовые связки, а роль резонаторов – полости рта, гортани и других «воздухопроводов». Изменяя их форму и размеры, мы в состоянии произносить различные звуки. Интересно, что спектр обертонов (даже при пропевании одной и той же ноты) так же индивидуален для каждого человека, как и отпечатки его пальцев. На основе этого созданы приборы, идентифицирующие личность по голосу. Оказалось также, что если у человека меняется настроение или он лжет, то это сразу сказывается на спектральном составе его голоса. На этом принципе работает один из детекторов лжи, эффективность которого составляет 98% (см., например, «Аргументы и факты» № 47/1996).

Как определить скорость звука в воздухе, применяя знания о стоячих волнах? Предложим два способа:

1. Над открытым сосудом расположим источник звука переменной частоты (питаемый от звукового генератора) и, постепенно увеличивая частоту, добьемся резонанса, что скажет о том, что в столбе воздуха в сосуде возникла стоячая волна основного тона n (частота, наименьшая из всех возможных). Значит, в длине столба L воздуха в сосуде уложилась четверть волны: отсюда l = 4 L и, поскольку скорость волны v = l n, получаем v = 4Ln. Измерив L, произведем вычисления.

2. Направим звуковую волну известной частоты n на плотную стенку и получим стоячую волну. Возьмем микрофон, подключенный к осциллографу, и будем двигать его, меняя расстояние до стенки. При попадании микрофона в узлы (в них максимальна потенциальная энергия) осциллограф зарегистрирует наибольшую амплитуду колебаний давления. Первый узел находится на расстоянии полуволны от стенки, второй – на расстоянии l, третий – на расстоянии 1,5l и т.д. Определив l, рассчитаем скорость звука.

Можно предложить задачи.

1. К какой частоте наиболее чувствительно ухо человека, если длина слухового прохода около 2,7 см?

Решение

В слуховом проходе имеется столб воздуха, закрытый с одного конца. В этом случае стоячая волна в нем возникает при условии, что длина столба L равна одной четверти длины бегущей волны: Отсюда l = 4L. Поскольку частота n = v/l, где v – скорость звуковой волны, то Приняв скорость звука v = 340 м/с и подставляя значения, получаем:

2. Как объяснить такой факт: когда подводники Ж.-И.Кусто вынуждены были применить для дыхания вместо воздуха кислородно-гелиевую смесь, то их голоса изменили свой тон на октаву. Почему это произошло и в какую сторону изменился тон?

Решение

Длина столба воздуха L в элементах голосового аппарата человека одинакова, независимо от того, чем он наполнен (воздухом или кислородно-гелиевой смесью). Скорость звука v в кислородно-гелиевой смеси  вдвое больше, чем в воздухе. Поэтому собственные частоты всех резонаторов (те частоты, при которых образуются стоячие волны) увеличиваются вдвое. Это соответствует повышению тона на октаву.

3. Почему для различения звуков «а» и «о», произносимых на частоте 1 кГц, надо уметь регистрировать частоты не менее 2 кГц?

Решение

Гласные, даже произносимые одним тоном, различаются обертонами. Первый обертон имеет частоту, вдвое большую, чем основной тон, который по условию задачи равен 1 кГц. Поэтому для различения гласных необходимо иметь возможность воспринимать как минимум второй обертон (а лучше – несколько обертонов), т.е. частоту не менее 2 кГц.

Литература

Элементарный учебник физики.//Под ред. Г.С.Ландсберга. - М.: Наука, 1986.
Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. - М.: Наука, 1974.

_______
В первой части урока излагается тема «Стоячие волны» (в основном, по учебнику Г.С.Ландсберга), которую мы за недостатком места опустили.
Авторские компьютерные программы, позволяющие решать приведенные в статье задачи, в частности, делать спектральное разложение негармонического колебания, а также инструкции по работе с ними можно получить бесплатно в сети Интернет по адресу: http://web.ic.tsu.ru/~rain/er/index.html   – Ред.