Хочу учиться на химфаке!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах
на химическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова в 2000 г.

1    Два груза одинаковой массой m = 0,5 кг связаны легкой нитью и движутся вертикально вверх под действием силы F, приложенной к одному из грузов. Нить обрывается при величине силы F₁ і 20 Н. При какой силе F2 разорвется нить, если нижний груз закрепить неподвижно?

Решение

На рисунке изображены силы, действующие на грузы при их движении: mg – сила тяжести, F_н – сила натяжения нити, F – внешняя сила, приложенная, по условию, к верхнему грузу. Применим для этих грузов второй закон Ньютона (a - ускорение грузов):ma=F–mg–F_н (для верхнего груза), ma=F_н–mg (для нижнего груза).

Из этих формул находим F_н = F/2. Поскольку обрыв нити происходит при F і F₁, то

В том случае, когда нижний груз закреплен, система неподвижна. Следовательно (для верхнего груза):

0 = F – mg – F_н ^,

откуда F = mg + F_н. С учетом (1) в этом случае обрыв нити произойдет при

2  Ракета, запущенная с поверхности Земли вертикально вверх, взлетает с постоянным ускорением а = 3,3 м/с². С какой скоростью ракета упадет на Землю, если ее двигатель проработает в течение t = 10 с? Принять g = 10 м/с². Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Во время работы двигателя на ракету действуют сила тяжести mg и сила тяги двигателя F. По второму закону Ньютона ma = F – mg, где m – масса ракеты. Отсюда:   F = m(g + a).

За это время ракета, двигаясь равноускоренно, поднимается на высоту При этом двигатель ракеты совершает работу

По закону сохранения и изменения механической энергии кинетическая энергия ракеты в момент падения на поверхность Земли появляется за счет работы двигателя:  где v - скорость ракеты в момент падения на Землю. С учетом предыдущей формулы:  

3  Артиллерийское орудие массой M = 2000 кг установлено на крепостной стене высотой H = 20 м. Начальная скорость отдачи орудия равна v = 2 м/c. На каком расстоянии от стены снаряд падает на землю при горизонтальном выстреле из такого орудия? Масса снаряда m = 10 кг, g = 10 м/с², сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Величину начальной скорости v₀ снаряда, вылетевшего из пушки в горизонтальном направлении, найдем, пользуясь законом сохранения импульса mv₀ – M_v = 0:

После этого можно решить кинематическую задачу о движении тела, брошенного горизонтально с высоты H. Время полета снаряда определяется из соотношения:

Объединяя формулы (2) и (3), получаем 

4  Двое рабочих должны выкопать цилиндрический колодец глубиной Н = 2 м. До какой глубины h следует копать первому рабочему, чтобы работа оказалась распределенной поровну? считайте, что грунт однородный и что рабочие поднимают его до поверхности Земли.

Решение

При рытье колодца глубиной x работа по выемке грунта на поверхность Земли равна изменению потенциальной энергии этого грунта: А = mgx/2. Здесь мы учитываем, что центр тяжести грунта изначально находится на расстоянии x/2 от поверхности Земли. Масса грунта m определяется его объемом и плотностью: m = rSx,  где S – площадь поперечного сечения колодца, r – плотность грунта. Следовательно,

Обратим внимание на то, что величина работы пропорциональна квадрату глубины колодца. Обозначим A_h работу первого рабочего, а A_H – полную работу по выкапыванию колодца глубиной H. По условию Учитывая соотношение (4), получим

5  При выстреле из пушки вылетает снаряд под углом a = 45° к горизонту. При этом пушка за счет отдачи откатывается в горизонтальном направлении с начальной скоростью v = 0,5 м/с. Масса пушки M = 800 кг. Найти изменение импульса системы пушка–снаряд в результате такого выстрела. Трением пренебречь.

Решение

Отметим прежде всего, что импульс системы пушка–снаряд изменяется при выстреле в результате действия на систему внешней силы – силы реакции опоры. Однако сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы, поскольку реакция опоры не имеет проекции на это направление. Запишем соответствующие условия в виде уравнений:

по горизонтали: 0 = mv₀cosa – M_v,
по вертикали: Dp = mv₀sina.

В итоге находим

Dp = MvЧ tga = 400 (кг Ч м/c).

6  Тело массой М = 5 кг, лежащее на гладком горизонтальном столе, прикреплено к стене невесомой пружиной с коэффициентом жесткости k = 2000 Н/м. В это тело попадает и застревает в нем пуля массой m = 10 г, летевшая со скоростью v = 50 м/с, направленной вдоль оси пружины. Найдите максимальную силу, с которой пружина действует на стену в процессе возникших колебаний.

Решение

По закону сохранения импульса для процесса соударения пули с телом

mv=(M+m)v₁,                           (5)

где v₁ - скорость тела (вместе с застрявшей в нем пулей) сразу после соударения. Полагая, что за время соударения тело не успевает заметно сдвинуться с места, можно считать, что v₁ - это скорость, с которой тело (вместе с пулей!) проходит мимо положения равновесия в процессе возникших колебаний. По закону сохранения энергии, примененному для процесса колебаний,

Здесь x_max - амплитуда колебаний. По закону Гука максимальное значение упругой силы, действующей на тело F_max = kx_max. С такой же силой невесомая пружина действует на стену. Из формулы (5) выражаем v₁ и, подставив в (6), находим xmax, а затем F_max:

7  На дне вертикального цилиндрического сосуда радиусом R = 10 см лежит шар радиусом r = 5 см. Плотность материала шара в два раза меньше, чем плотность воды. Какой объем воды следует налить в сосуд, чтобы шар перестал оказывать давление на дно сосуда?

Решение

Когда шар перестает давить на дно сосуда, на него действуют две силы, уравновешивающие друг друга: сила тяжести F и архимедова сила F_A. По закону Архимеда F_A = r₁gV₁, где V₁ – объем погруженной в жидкость части шара, r₁ – плотность воды.
Сила тяжести F = r₂gV₂, где V₂ – объем всего шара, r₂ – его плотность.

Учитывая, что, по условию, F_A = F и r₂/r₁ = 0,5, находим, что V₁ = 0,5V₂. Это означает, что шар погружен в воду наполовину. Другими словами, высота столба жидкости в сосуде h = r. После этого объем воды V, налитой в сосуд, определяется чисто геометрически: из объема цилиндра радиусом R и высоты h вычитается объем полушария радиусом r:

где h = r. Окончательно получим 

8  В цилиндре под тяжелым поршнем массой M = 10 кг и сечением S = 14 см² находится идеальный газ. На сколько процентов изменится высота столба газа в цилиндре, если его поместить в лифт, движущийся вертикально вниз с ускорением a = 4 м/с²? Считать, что поршень перемещается без трения о стенки цилиндра, а температура газа не изменяется. Атмосферное давление равно р₀ = 10⁵ Па, g = 10 м/с².

Решение

Запишем прежде всего условие равновесия поршня в исходном состоянии и уравнение его движения с ускорением a:

Mg + р₀S – р₁S = 0;
Mg + р₀S – р₂S = Ma,

где р₀S, р₁S, р₂S – соответствующие силы давления атмосферы и газа на поршень. Соотношение между этими величинами легко найти, записав закон Бойля–Мариотта для изотермического расширения идеального газа в цилиндре после начала движения:

р₁Sh₁ = р₂Sh₂,

где использованы очевидные выражения для объема через площадь поперечного сечения цилиндра и высоту столба газа в двух случаях (h₁ и h₂). Искомая величина

с учетом (3) может быть записана как . Выразив р₁ и р₂ из (1) и (2), получаем