С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин, И.П.Николаев, Н.Б.Подымова, М.С.Полякова, В.И.Шмальгаузен,физфак МГУ, г. Москва

Хочу учиться на ВМК!

Задачи,предлагавшиеся на устных вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2000 г.

I. Механика

• Два маленьких шарика массами m₁ = 6 г и m₂ = 4 г, несущие заряды q₁ = 10^-6 Кл и q₂ = -5 · 10^-6 Кл  соответственно, удерживаются на расстоянии l = 2 м друг от друга. В некоторый момент оба шарика отпускают, сообщив одновременно второму из них скорость v₀ = 3 м/с, направленную от первого шарика вдоль линии, соединяющей их центры. На какое максимальное расстояние L разойдутся шарики? Силу тяжести не учитывать. Электрическая постоянная

Решение

Движение шариков происходит под действием сил электростатического притяжения, которые являются внутренними силами для рассматриваемой системы. Следовательно, суммарный импульс шариков остается постоянным. Запишем закон сохранения импульса в проекции на координатную ось, положительное направление которой совпадает с направлением начальной скорости второго шарика:

здесь v₁ и v₂ – проекции скоростей шариков на эту же ось в произвольный момент времени. Кулоновские силы относятся к классу потенциальных сил, поэтому в системе сохраняется также полная механическая энергия. Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух зарядов определяется равенством , где r – расстояние между зарядами. Заметим, что для разноименных зарядов потенциальная энергия отрицательна и возрастает при удалении зарядов друг от друга. В соответствии с этим кинетическая энергия шариков будет убывать по мере увеличения расстояния между ними, и закон сохранения энергии запишется в виде:

При удалении шариков на максимальное расстояние их относительная скорость v_отн = v₁ - v₂ обратится в нуль. Это утверждение становится очевидным, если перейти в систему отсчета, связанную с одним из шариков. В этой системе движение второго шарика подобно движению камня, брошенного вертикально вверх от поверхности Земли. Ясно, что момент остановки второго шарика относительно первого (т.е. обращения в нуль относительной скорости) действительно соответствует максимальному удалению шариков друг от друга. Таким образом, когда расстояние между шариками максимально, v₁ = v₂ є v. Используя это равенство, преобразуем исходную систему уравнений к виду:

m₂ v₀ = (m₁ + m₂) v;

Исключая из этой системы v, находим ответ:

Элементарный анализ показывает, что ответ теряет смысл при

Последнему неравенству можно придать более наглядную форму:

где – начальная кинетическая энергия,  – начальная потенциальная энергия системы. Физический смысл этого результата таков: если начальная кинетическая энергия системы равна или превышает взятую с некоторым коэффициентом величину начальной потенциальной энергии притяжения зарядов, то шарики удалятся на бесконечно большое расстояние и никогда не сблизятся. Когда массы шариков соизмеримы, коэффициент отличен от единицы. Это отражает тот факт, что начальная кинетическая энергия системы в процессе взаимодействия шариков перераспределяется между ними. Если неограниченно увеличивать массу m₁ первоначально неподвижного шарика, то множитель   устремится к единице. Бесконечно тяжелый шарик будет оставаться неподвижным, и мы придем к случаю движения тела около неподвижного силового центра. Напомним, что условие того, что тело, притягивающееся к неподвижному силовому центру, не удалится от него на бесконечность, имеет хорошо известный вид: E_0к < | E_0п|.

• На наклонном дне сосуда, наполненного водой, покоится на маленьких подставках алюминиевый кубик с ребром a = 10 см. Определите суммарную силу трения между кубиком и подставками. Угол наклона дна сосуда к горизонту a = 30°, плотности алюминия и воды соответственно r_a =  2,7 • 10³ кг/м³, r _в == 10³ кг/м³. Ускорение свободного падения g = 10 м/c².

Решение

Кубик находится в равновесии под действием трех сил: силы тяжести mg, архимедовой силы F_A и силы реакции со стороны подставок, которую, в свою очередь, удобно разложить на две составляющие: нормальную к наклонному дну составляющую силы реакции N и силу трения о подставки F_тр. Отметим, что наличие подставок, на которых покоится кубик, играет в задаче важную роль, т.к. именно благодаря им вода окружает кубик со всех сторон, и для определения силы, с которой вода действует на него, можно воспользоваться законом Архимеда. Если бы кубик лежал непосредственно на дне сосуда и вода под него не подтекала, то результирующая поверхностных сил давления воды на кубик не выталкивала бы его наверх, а наоборот, еще сильнее прижимала бы ко дну. В нашем случае на кубик действует выталкивающая сила F_A = ra³g, направленная вверх.

Проектируя все силы на координатную ось, параллельную дну сосуда, запишем условие равновесия кубика в виде:

F_тр = (mg – F_A) sina.

Учитывая, что масса кубика m = r_a a³, получаем ответ:

F_тр = (r_a – r_в)a³ g sina = 8,5 (Н).

• В сосуде, вертикальное сечение которого изображено на рисунке, находятся в равновесии два невесомых поршня, соединенные невесомой нерастяжимой нитью. Пространство между поршнями заполнено жидкостью, плотностью r = 10³ кг/м³. Найдите силу натяжения нити Т, если площади поршней S₁ = 0,1 м² и S₂ = 0,05 м², а длина нити l = 0,5 м. Трением поршней о стенки сосуда пренебречь, ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Решение

Поршни находятся в равновесии под действием сил, величины и направления которых указаны на рисунке. Для облегчения анализа рисунка точки приложения некоторых сил условно смещены от их истинного положения. На самом деле точки приложения всех сил расположены на оси симметрии системы.

Будем использовать следующие обозначения: T – величина силы натяжения нити, которая из-за невесомости нити одинакова во всех ее точках, p₀ – атмосферное давление, p – давление жидкости на уровне верхнего поршня. Поршни находятся в равновесии при выполнении условий:

p₀S₁ + T = pS₁ – для верхнего поршня,
(p + r gl)S₂ = p₀S₂+ T – для нижнего.

Из первого уравнения получаем, что T = (p – p₀)S₁.

Отсюда видно, что ответ зависит от разности (p – p₀). Вычитание второго уравнения из первого дает: (p – p₀)(S₁ – S₂) = r glS₂.

Используя это выражение, находим ответ:

• Тело массой М = 10 кг, насаженное на гладкий горизонтальный стержень, связано пружиной с неподвижной стенкой. В это тело попадает и застревает в нем пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью v = 500 м/с, направленной вдоль стержня. Тело вместе с застрявшей в нем пулей начинает колебаться с амплитудой A = 10 см. Найдите период T колебаний тела.

 Решение

Считая, что длительность взаимодействия пули с телом при соударении пренебрежимо мала, можно утверждать, что в момент соударения импульс системы пуля – тело сохраняется. Следовательно,

mv = (M + m)u,

где u – скорость тела и пули сразу после соударения. Приобретя такую скорость, тело с застрявшей в нем пулей начинает совершать гармонические колебания, причем в момент наибольшего отклонения от положения равновесия начальная кинетическая энергия системы полностью переходит в потенциальную энергию сжатой пружины:

Объединяя эти соотношения, преобразуем получившееся выражение к виду:

С другой стороны, нам известна формула для периода свободных колебаний тела массой m на пружине жесткостью k:

Используя эту формулу, окончательно находим