А.А.Склянкин, А.В.Зотеев,
физический факультет МГУ, г. Москва

Хочу учиться на химфаке!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на химическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова в 1999 г.

Продолжение. Начало в  № 34

10 Батарею из параллельно соединенных конденсаторов емкостями С₁ = 1 мкФ и С₂ = 2 мкФ сначала подсоединили к источнику с ЭДС, равной 1 = 6 В (ключ К в положении 1). Затем ключ перевели в положение 2, соединив батарею с конденсатором емкостью С₃ =  3 мкФ. Найдите заряд, который получит конденсатор С₃.

Решение

Батарею можно заменить одним конденсатором электроемкостью С = С₁ + С₂. Если ключ К находится в положении 1, то батарея конденсаторов зарядится до напряжения 1, и суммарный заряд на их обкладках будет равен q = (С₁ + С₂).
После перевода ключа К в положение 2 заряд q, накопленный конденсатором С, распределится между тремя конденсаторами, но так, что напряжения на них будут одинаковы:

.

Совокупность приведенных формул позволяет найти искомый заряд:

Заметим, что в данном конкретном случае задача решается почти устно, если обратить внимание на то, что емкость батареи
C = С₁ + С₂ = 3 мкФ и емкость конденсатора С₃ = 3 мкФ одинаковы. Тогда заряд q = (С₁ + С₂)U = 1,8 Ч 10^-5 Кл, накопленный батареей, при переводе ключа К в положение 2, распределится поровну между батареей и конденсатором С₃:

11 Фоторезистор и резистор постоянным сопротивлением R = 5 кОм соединены последовательно с источником тока. Когда фоторезистор осветили, сила тока в цепи увеличилась в k = 3 раза. Во сколько раз изменилось сопротивление фоторезистора при освещении, если в темноте оно было равно R₀ = 20 кОм? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Решение

Запишем закон Ома для полной цепи: 

Здесь – электродвижущая сила источника (ЭДС), I₀ – сила тока при отсутствии света. При освещении

где I₁ – сила тока при освещении, R₁ – сопротивление фоторезистора при освещении. По условию, I₁ = kI₀. Из этих соотношений находим искомую величину:

Таким образом, сопротивление фоторезистора уменьшилось в 6 раз.

12 Резистор сопротивлением R = 12 Ом подключен к источнику тока. При этом напряжение на зажимах источника составляет U₁ = 6 В. Если параллельно первому резистору подключить второй такой же, то напряжение на зажимах источника станет равным U₂   = 5 В. Определите по этим данным внутреннее сопротивление источника.

Решение

 Пусть – ЭДС источника, r – его внутреннее сопротивление. По закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи:

Напряжение на полюсах источника равно падению напряжения на внешнем резисторе: 

После параллельного подключения еще одного резистора R сопротивление внешней цепи станет равным R/2, а напряжение на источнике станет: 

Если из этих уравнений исключить , то получим:

13  Электродвигатель трамвайного вагона работает при постоянном напряжении U = 600 В, потребляя при этом ток силой
I = 100 А. Сопротивление обмотки двигателя R = 3 Ом. Найдите силу тяги F, развиваемую двигателем при движении вагона с постоянной скоростью v = 36 км/ч.

Решение

Энергия, потребляемая электродвигателем, расходуется на механическую работу по перемещению трамвайного вагона и на выделение тепла при протекании тока в проводах электродвигателя. Следовательно, электродвигателем потребляется мощность Р₁ = Р_мех + Р_эл. Механическая мощность Р_мех, развиваемая силой тяги F при движении тела с постоянной скоростью v, как известно, равна Р_мех = F_v, а мощность тепловых потерь, по закону Джоуля–Ленца, Р_эл = I²R.

Источник тока развивает мощность P₂, равную произведению силы тока в цепи на напряжение, при котором он работает:
P₂ = IU. При этом, по закону сохранения энергии, P₁ = P₂. Совмещая полученные выражения, находим: IU = I₂U + Fv, откуда легко получается искомая величина силы тяги электродвигателя: 

14 Концентрация электронов проводимости в чистом германии при комнатной температуре n =  3 Ч10¹⁹ м^–3. Какова доля ионизированных атомов германия? Считать, что каждый ионизированный атом теряет по одному электрону. Число Авогадро N_А = 6,02 Ч 10₂₃ моль^–1. Плотность германия r = 5400 кг/м³, молярная масса М = 0,073 кг/моль.

Решение

Для ответа необходимо найти отношение концентрации ионизированных атомов к их общему количеству N в единице объема. По предложенному в условии задачи допущению, первая величина равна концентрации электронов проводимости в германии n. Величину N определим, поделив число Авогадро N_A на объем одного моля вещества:

Молярный объем V_m легко выразить из соотношения, соответствующего определению плотности любого вещества: Таким образом, искомая доля ионизированных атомов равна:

15  Протон движется в пространстве с однородным электрическим и магнитным полями. Линии магнитной индукции и линии напряженности этих полей параллельны. В тот момент, когда скорость протона перпендикулярна линиям электрического и магнитного полей, его ускорение, вызванное действием этих полей, равно а = 10¹² м/с². Найдите напряженность электрического поля Е, если скорость протона v = 60 км/с, индукция магнитного поля B = 0,1 Тл. Отношение заряда протона к его массе принять равным q/m = 10⁸ Кл/кг.

Решение

Со стороны электрического поля на заряженную частицу (точечный заряд) действует сила F_эл = qE, по направлению совпадающая с вектором напряженности электрического поля. Со стороны магнитного поля на эту движущуюся заряженную частицу действует сила Лоренца F_маг = qvB, перпендикулярная как скорости частицы, так и направлению вектора магнитной индукции поля.

Поскольку линии магнитной индукции и линии напряженности обоих полей параллельны в рассматриваемый момент времени, результирующая сила направлена по диагонали прямоугольника со сторонами F_эл и F_маг . Абсолютная величина этой силы поэтому равна:

По 2-му закону Ньютона она равна произведению массы частицы на ее ускорение:

Возводя это равенство в квадрат, находим: 

16 Проволочная катушка имеет площадь поперечного сечения S =  5 см² и содержит N = 100 витков. Катушка помещена в однородное магнитное поле, линии индукции которого параллельны ее оси. Концы провода катушки подсоединены к обкладкам конденсатора емкостью С = 4 мкФ. Какой заряд окажется на обкладках этого конденсатора, если магнитное поле будет убывать со скоростью DB/Dt = 20 Тл/с?

Решение

По закону электромагнитной индукции Фарадея, при изменении магнитного потока через любую поверхность, ограниченную проводящим контуром, в нем возникает (индуцируется) электродвижущая сила, равная по модулю скорости изменения этого магнитного потока:

Магнитный поток через каждый виток катушки равен F = BS cos a, где a – угол между вектором B и нормалью к плоскости витка. Так как вектор магнитной индукции поля, по условию задачи, перпендикулярен плоскости всех ее витков, а площадь их не меняется, то можно записать:

где DФ₁ – изменение магнитного потока через один виток катушки. Поскольку в катушке N витков соединены последовательно, общая ЭДС, индуцируемая на концах катушки, окажется равной:

Поскольку к концам провода катушки подключен конденсатор, этой ЭДС и обеспечивается постоянная разность потенциалов U = между его обкладками. В соответствии с определением электроемкости конденсатора Выражая отсюда q и подставляя значение , получим:

17  Через обмотку соленоида течет ток силой I₁ = 5 А. При увеличении этого тока в k = 2 раза за время Dt = 1 с среднее значение электродвижущей силы самоиндукции = 2 В. Найдите энергию магнитного поля в соленоиде при исходной силе тока I₁.

Решение

Энергия магнитного поля, порожденного током I₁ в соленоиде, равна . По закону электромагнитной индукции Фарадея, при увеличении этого тока в k = 2 раза за время Dt = 1 с в катушке возникает электродвижущая сила самоиндукции со средним значением Изменение силы тока, протекающего через соленоид, очевидно, равно DI = I₁(k – 1). Объединяя полученные выражения, приходим к результату:

Окончание следует