Станкиновские олимпиады

10-й класс

 1. Расстояние между двумя станциями поезд прошел со средней скоростью v_ср = 60 км/ч за время t = 25 мин. Разгон и торможение вместе длились t₀ = 5 мин, а остальное время поезд двигался равномерно. Определите скорость поезда при равномерном движении, если его начальная и конечная скорости равны нулю.

Решение. Задачу просто решить, если построить график зависимости скорости поезда от времени. Тогда путь равен площади трапеции:

2. На наклонной плоскости находится тело массой m = 10 кг, на которое действует горизонтально направленная сила F = 100 Н. Определите ускорение тела и силу, с которой оно давит на плоскость. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол a = 30°. Коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью m = 0,2.

 

Ответ.

 

N = mg cos a – F sin a » 34,9 Н.

3. В цилиндре под поршнем находится воздух под давлением p₁ = 0,2 МПа и температуре t₁ = 27 °С. Какой массы груз нужно положить на поршень после нагревания воздуха в цилиндре до температуры t₂ = 50 °С, чтобы объем воздуха в нем был равен первоначальному? Площадь поршня S = 30 см².

Решение. Так как V₁ = V₂, то, по закону Шарля:

4. Два моля идеального одноатомного газа нагревают так, что его температура меняется пропорционально квадрату давления T = bp². Найдите работу, совершенную газом при нагревании его на DT = 10 К.

Решение. Найдем зависимость p(V) c помощью уравнения Менделеева–Клапейрона:

Построим график зависимости p(V) и отметим на нем значения давления и объема, соответствующие начальной и конечной температурам. Работа, совершенная газом, определится площадью трапеции, ограниченной прямой ординатами p₁ и p₂, а также осью V:

 

5. В однородном электростатическом поле, направленном вертикально вниз, равномерно вращается заряженный шарик массой m и зарядом q > 0, подвешенный на нити длиной l. Угол отклонения нити от вертикали при вращении шарика в горизонтальной плоскости равен a. Найдите кинетическую энергию этого шарика.

Ответ.

11-й класс

1. При какой угловой скорости вращения w планеты вокруг оси, проходящей через ее центр масс, линия отвеса на любой широте параллельна оси вращения? Масса планеты M, радиус планеты R, гравитационная постоянная G. Плотность планеты считается постоянной.

Решение. Уравнение движения тела массой m на подвесе на широте q есть уравнение движения тела по окружности радиусом R cos q с угловой скоростью w под действием равнодействующей силы тяжести F_т и силы натяжения нити подвеса T.
Тогда:

[Отметим, что если точка подвеса находится точно в плоскости экватора, приведенное рассмотрение неприменимо. – Ред.]

2. При температуре t₁ = 15 °С в стальном баллоне объемом 10 л давление водорода 1,3 • 10⁷ Па. Через некоторое время часть газа вытекла, и при температуре t₂ = 20 °C давление составило 1,2 • 10⁷ Па. Определите массу вытекшего из баллона водорода.

Ответ. 

3. От источника тока необходимо передавать потребителю, работающему при напряжении U₀ = 10 В, мощность N₀ = 5 Вт. Каким должно быть сопротивление подводящих проводов, чтобы потери мощности в них составили 5 % от мощности потребителя? Какое напряжение будет на зажимах источника?

Решение.

4. В схеме, изображенной на рисунке, индуктивности катушек равны L₁ и L₂, а конденсатор C заряжен до напряжения U₀. Определите максимальные токи I₁ и I₂, протекающие через катушки 1 и 2 соответственно после замыкания ключа К. Сопротивлением катушек и проводов можно пренебречь.

Решение. Согласно закону сохранения энергии:

 

Катушки и конденсатор соединены параллельно, поэтому:

При максимальных токах E_1 инд = E_2 инд = U = 0, отсюда:

5. Предмет длиной a расположен вдоль главной оптической оси собирающей линзы, между центром линзы и ее фокусом, на расстоянии b от фокуса линзы. Во сколько раз k отличается длина изображения предмета от его длины a, если линза имеет фокусное расстояние F?

Решение. Изображение мнимое: