А.А.Склянкин, А.В.Зотеев,
физический факультет МГУ,
г. Москва

Хочу учиться на химфаке!

Задачи,предлагавшиеся на вступительных экзаменах
на химическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова в 1999 г.

На химическом факультете МГУ экзамен по физике традиционно является устным. Экзаменационные билеты содержат одну задачу и два теоретических вопроса. Естественно, их содержание ежегодно обновляется, но всегда соответствует «Программе вступительных экзаменов по физике РФ».

1 Два шарика одинакового объема – один деревянный, а другой из алюминия – связаны легкой и достаточно длинной нитью. Шарики опускают в водоем, и через некоторое время их погружение происходит с постоянной скоростью. Найдите натяжение нити при этом движении. Массы шариков m₁ = 100 г, m₂ = 300 г. Принять g = 10 м/с².

Решение

На рисунке изображены силы, действующие на каждый из шариков: mg – сила тяжести, F_А – архимедова сила, F_н – сила натяжения нити, F_с – сила сопротивления (трения) со стороны воды. При движении с постоянной скоростью в инерциальной системе отсчета с учетом направления сил:

m₁g + F_н1 – F_A1 – F_c1 = 0,                           (1)

m₂g – F_н2 – F_A2 – F_c2 = 0.                           (2)

Индекс 2 относится, естественно, к алюминиевому шарику. Учитывая условия задачи (одинаковые размеры шариков и невесомость нити), получим:

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), найдем:.

2 Мяч массой m = 0,2 кг отпустили без начальной скорости с высоты Н = 6 м над полом. Найдите количество теплоты, выделившееся при первом ударе мяча об пол, если промежуток времени между первым и вторым ударами об пол составляет D t = 2 с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g= 10 м/с².

Решение

По закону сохранения энергии при ударе выделяется количество теплоты:

Q = mgH – mgh,              (3)

где Н – высота, с которой шарик упал, а h – высота, на которую он поднялся. Рассмотрим движение шарика между первым и вторым ударами об пол. При движении тел под действием только силы тяжести максимальная высота подъема равна где t – время подъема. Учитывая, что время подъема и время падения одинаковы, получим Dt = 2t. Следовательно, После подстановки в (3) получаем:

3 Маятник представляет собой небольшой шарик, подвешенный на легком стержне. Для того чтобы шарик мог описать окружность в вертикальной плоскости, ему нужно сообщить в положении равновесия скорость в горизонтальном направлении не менее v = 3 м/c. Найдите период малых колебаний этого маятника. Принять g = 10 м/c².

Решение

Период малых колебаний математического маятника равен . Длину l маятника (в данном случае это длина стержня) можно найти, пользуясь законом сохранения механической энергии. Для того чтобы шарик мог сделать полный оборот, он должен подняться на высоту 2l. Следовательно, Найдя отсюда длину l и подставив ее значение в формулу для периода, получим: 

4 С наклонной плоскости, образующей угол 45° с горизонтом, с высоты h₁ = 2 м соскальзывает небольшая шайба. В конце спуска, у основания наклонной плоскости, шайба испытывает абсолютно упругое соударение со стенкой, перпендикулярной наклонной плоскости и поднимается вверх по наклонной плоскости на высоту h₂ = 1,2 м. Найдите коэффициент трения между шайбой и наклонной плоскостью.

Решение

По закону сохранения энергии:

Здесь m – масса шайбы, А_тр – работа против сил трения, s – путь, пройденный шайбой вдоль наклонной плоскости:

Сила трения при скольжении вдоль наклонной плоскости есть  . Подставляя все эти выражения в (4), найдем коэффициент трения: 

5 Деревянный шар лежит в сосуде с водой так, что половина его находится в воде и он касается дна. Найдите плотность дерева r, если шар давит на дно сосуда с силой F = 6 Н. Вес шара в воздухе равен р = 16 Н. Плотность воды r_в = 1000 кг/м³.

Решение

На шар действуют три силы: сила тяжести mg, архимедова сила F_А и сила давления со стороны дна F. При равновесии шара в сосуде с водой (плотностью воздуха пренебрегаем):

mg – F – F_А = 0 .                             (5)

По закону Архимеда, F_A = r_вgV/2. При равновесии шара в воздухе (архимедовой силой со стороны воздуха пренебрегаем)
P = mg. Подставив эти два результата в (5), получим:

Сила тяжести mg = r_шVg (V – объем шара, r_ш – его плотность). Выразив V через P = mg, получим откуда:

В результате:  

6 По поверхности озера бегут волны со скоростью u = 2 м/с. Моторная лодка движется навстречу волнам со скоростью относительно берега v = 5 м/с. С какой частотой волны бьются о нос лодки, если поплавок на поверхности воды колеблется с частотой n₀ = 0,5 Гц?

Решение

Расстояние между ближайшими гребнями волн (длина волны)  В системе отсчета, связанной с лодкой, гребни пробегают мимо лодки со скоростью v₁ = v + u. Минимальный промежуток времени между ударами волн о нос лодки (период): 

Тогда частота ударов:

7 В теплоизолированном сосуде находится смесь льда массой m = 2,1 кг и воды. После начала нагревания температура смеси оставалась постоянной в течение времени t₁ = 11 мин, а затем за время t₂ = 4 мин повысилась на DT = 20 К. Определите массу смеси, если считать, что количество теплоты, получаемое системой в единицу времени, постоянно. Удельная теплота плавления льда l = 330 кДж/кг, а удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг Ч К). Теплоемкостью сосуда пренебречь.

Решение

Прежде всего рассчитаем количество теплоты Q₁, необходимое для того, чтобы расплавить m кг льда в сосуде при постоянной температуре (очевидно, при 0 °С, т.к. в сосуде находилась смесь воды и льда):  Q₁=lm. Затем рассчитаем количество теплоты Q₂, которое идет на нагревание всей получившейся воды в сосуде на DT (К): Q₂=cMDT. Теперь учтем, что эта тепловая энергия получена системой за время t₁ и время t₂ от источника с постоянной мощностью теплопередачи Р:

Приравнивая между собой отношения правых частей приведенных выше равенств, получим:

откуда легко выразить искомую величину:

8 Баллон содержит идеальный газ при температуре Т = 300 К и давлении р = 2•10⁵ Па. Найдите изменение давления Dр после того, как из баллона выпустили половину массы газа, а температуру оставшегося газа повысили на DТ = 100 К.

Решение

Прежде всего запишем уравнение исходного состояния рассматриваемого идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона):  После того как из баллона выпустили половину массы газа, а температуру повысили на DТ, новое состояние газа будет описываться уравнением:

где новое значение давления газа, очевидно, можно записать как  р₁=р+Dр. Подставляя его в (6) и поделив друг на друга соответствующие части двух получившихся уравнений состояния, приходим к уравнению, содержащему единственную неизвестную величину Dр: 

Решив его относительно последней, получаем ответ:

9 Два баллона с кислородом соединены трубкой с краном. Массы газа в обоих баллонах одинаковы.При закрытом кране давление в одном баллоне р₁ = 2 Ч 10⁵ Па, а в другом – р₂ = 3 Ч 10⁵ Па. Какое давление установится в баллонах, если кран открыть? Температуру в баллонах считать постоянной и одинаковой, а газ – идеальным.

Решение

Запишем уравнения Менделеева–Клапейрона для газа в первом и во втором баллонах (до их соединения между собой) и для соединенных баллонов (после установления равновесия):

Здесь р₁ и р₂ – давления в баллонах при закрытом кране (см. условие), р – искомое давление, V₁ и V₂ – объемы баллонов, m – масса кислорода в каждом баллоне, µ – молярная масса кислорода, Т – температура газа в баллонах. Из этих уравнений находим р. Наиболее естественный способ – из формул (7) и (8) выразить V₁ и V₂, а потом найти их сумму:

Теперь из уравнения (9) выразим р и с учетом формулы (10) получим: 

Продолжение см. в  № 38