С.С.Чесноков, Г.Я.Мякишев, С.Ю.Никитин,
Н.Б.Подымова, М.С.Полякова, В.И.Шмальгаузен,
физический факультет МГУ, г. Москва

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на устных вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 1999 г.

IV. ОПТИКА

1 Световой луч падает на поверхность стеклянного шара. Угол падения a = 45°, показатель преломления стекла n = 1,41. Найдите угол между падающим лучом и лучом, вышедшим из шара.

Решение

Световой луч испытывает преломление дважды: при входе в стеклянный шар и при выходе из него. При этом нормали к преломляющей поверхности в точках падения луча на нее совпадают с радиусами шара, проведенными в эти точки. Из рисунка видно, что искомый угол g=2(a-b), где a – угол падения луча на поверхность шара, совпадающий с углом преломления на выходе луча из шара, b – угол преломления на границе воздух – стекло, совпадающий с углом падения на границу стекло – воздух. По закону преломления:

Следовательно:

2 На поверхность собирающей линзы фокусным расстоянием f падает луч света на расстоянии a от центра линзы под углом a к ее главной оптической оси (ГОО), лежащий в одной плоскости с ГОО. Под каким углом b к главной оптической оси выйдет луч из линзы?

Решение

Ход падающего и преломленного в линзе лучей изображен на рисунке. При построении преломленного луча использован вспомогательный луч OF, параллельный падающему на линзу лучу и проходящий через оптический центр линзы О без преломления. Согласно известному свойству тонкой

собирающей линзы все параллельные лучи, падающие на нее, пересекаются в точке F фокальной плоскости. Из треугольников ABF и OBF имеем:

Следовательно, .

3 На поверхность рассеивающей линзы фокусным расстоянием f падает луч света на расстоянии a от центра линзы под углом a к ее главной оптической оси (ГОО), лежащий в одной плоскости с ГОО. Под каким углом b к главной оптической оси выйдет луч из линзы?

Решение

Ход лучей изображен на рисунке. При построении преломленного в линзе луча использован вспомогательный луч FO, параллельный падающему и проходящий через оптический центр линзы О без преломления. Согласно известному свойству тонкой рассеивающей линзы продолжения всех параллельных лучей, падающих

на нее, пересекаются в точке F фокальной плоскости. С учетом того, что фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно, из треугольников AOF и BCF находим:

Следовательно:

.4 Точечный источник света расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы. По другую сторону линзы находится экран, перпендикулярный ее главной оптической оси. Найдите радиус r светового пятна на экране, если известно, что расстояние от источника до линзы a = 30 см, расстояние от линзы до экрана b = 80 см, фокусное расстояние линзы f = 20 см, а ее радиус R =  3 см.

Решение

Все световые лучи, испущенные источником S и попавшие в линзу, пересекаются на ее главной оптической оси в точке Sў, являющейся изображением источника. Пройдя далее до экрана, они образуют на нем освещенное круглое пятно. Из подобных треугольников AOSў и BDSў имеем:

С другой стороны, по формуле тонкой линзы:

Используя эти соотношения, после несложных преобразований получаем ответ: