Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на устных вступительных экзаменах
на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 1999 г.

III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

1 Заряженная частица влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора, напряжение на котором поддерживается постоянным. Начальная скорость частицы параллельна пластинам конденсатора. При вылете из конденсатора скорость частицы составила угол a = 60° с ее начальной скоростью. Под каким углом b к начальной скорости вылетит эта частица из конденсатора, если расстояние между его пластинами увеличить в k = 3 раза? Силу тяжести не учитывать.

Решение

Определим вначале, как зависит угол вылета частицы из конденсатора от ее заряда q, массы m и начальной скорости v0, а также от параметров электрической системы. Обозначим через U напряжение на зажимах источника, L – длину пластин, d₀ – начальное расстояние между ними. В пространстве между пластинами на частицу действует сила F = qE, направленная вдоль линий напряженности электрического поля E в конденсаторе. В результате движение частицы в направлении, параллельном пластинам, будет равномерным со скоростью v₀, а в направлении, перпендикулярном пластинам, – равноускоренным с ускорением

За время пролета частицей конденсатора перпендикулярная пластинам составляющая скорости частицы приобретет значение: 

Следовательно, угол a между начальной скоростью частицы и ее скоростью при вылете из конденсатора определится из соотношения:

При увеличении расстояния между пластинами в k раз угол вылета частицы из конденсатора выразится формулой:

Сравнивая два последние соотношения, получаем ответ:

2 Батарея с ЭДС = 2 В и внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом присоединена к цепи, изображенной на рисунке. Сопротивление каждого из резисторов R = 1 Ом. Найдите напряжение на клеммах батареи. Сопротивлением всех соединительных проводов пренебречь.

 Решение

 Для того чтобы определить напряжение на клеммах батареи, необходимо вычислить сопротивление нагрузки. Нетрудно заметить, что потенциалы точек А и С, а также точек В и D попарно равны. Следовательно, все три резистора нагрузки фактически соединены параллельно. Поэтому сопротивление внешней цепи R_внеш= R/3, сила тока в цепи Отсюда получаем ответ:

3 Во внешней нагрузке, подключенной к батарее, выделяется мощность W₁ = 1 Вт. Чему равен коэффициент полезного действия h этой цепи (т.е. отношение мощности, выделяющейся в нагрузке, к полной мощности, развиваемой батареей), если при подключении той же нагрузки к двум таким батареям, соединенным последовательно, мощность в нагрузке стала равной W₂ = 1,44 Вт?

Решение

В цепи, состоящей из батареи и внешней нагрузки сопротивлением R, мощность, выделяющаяся в нагрузке, равна:

где I – ток в цепи, – ЭДС батареи, r – ее внутреннее сопротивление. При этом полная мощность, развиваемая батареей:

Отсюда следует, что коэффициент полезного действия цепи:

Если подключить эту же нагрузку к двум одинаковым батареям, соединенным последовательно, ЭДС и внутреннее сопротивление в цепи станут равными соответственно
2 и 2r. Следовательно, мощность, выделяющаяся в нагрузке в этом случае, будет равна:

. Составим отношение:

Отсюда получаем ответ:

4 При подключении нагрузки к батарее с внутренним сопротивлением r₁ = 0,1 Ом во внешней цепи выделяется мощность W₁ = 1 Вт. В той же нагрузке, питаемой от батареи внутренним сопротивлением r₂ = 0,2 Ом и c равной ЭДС, выделяется мощность W₂ = 0,64 Вт. Чему равно сопротивление нагрузки R?

Решение

Мощность, выделяющаяся в нагрузке сопротивлением R, подключенной к батарее с ЭДС и внутренним сопротивлением r₁, равна При подключении этой нагрузки к батарее с той же ЭДС, но внутренним сопротивлением r₂, в ней будет выделяться мощность Составим отношение:

Выражая из последнего соотношения R, получаем ответ:

5 При подключении к аккумулятору внутренним сопротивлением r = 0,16 Ом нагревательный элемент потребляет мощность W₁ = 200 Вт. При подключении этого же нагревательного элемента к двум таким аккумуляторам, соединенным последовательно, выделяемая в нем мощность составляет W₂ = 288 Вт. Найдите ЭДС аккумулятора.

Решение

Мощность, выделяемая в нагревательном элементе при подключении его к одному аккумулятору, равна где R – сопротивление нагревателя. При подключении этого же элемента к двум одинаковым аккумуляторам, соединенным последовательно, значения ЭДС и внутреннего сопротивления удваиваются, и в нагревателе выделяется мощность: 

Вводя величину  получим  Отсюда 

Учитывая, что  после несложных преобразований получаем ответ:

6 Электрон влетает в однородное электрическое поле напряженностью E = 6 ·10⁴ В/м перпендикулярно силовым линиям. Определите величину и направление вектора индукции магнитного поля B, которое надо создать в этой области пространства для того, чтобы электрон пролетел ее, не отклоняясь от первоначального направления. Кинетическая энергия электрона E_K=1,6•10^-16 Дж, масса электрона m = 9 · 10^–31 кг. Силой тяжести пренебречь.

 Решение

В данном однородном электрическом поле напряженностью E электрон движется под действием кулоновской силы F_К по параболической траектории (здесь |e| – абсолютная величина заряда электрона).

Для того чтобы электрон двигался прямолинейно, нужно создать такое однородное магнитное поле, в котором действующая на электрон сила Лоренца F_Л в каждой точке его траектории была бы равна кулоновской силе по величине и противоположна ей по направлению, т.е. F_Л = –F_К. Величина силы Лоренца  (здесь v₀ – скорость электрона, – величина составляющей вектора магнитной индукции, перпендикулярной скорости), ее направление определяется правилом левой руки. Очевидно, что сила Лоренца направлена против кулоновской силы в том случае, если магнитная индукция направлена перпендикулярно начальной скорости электрона и напряженности электрического поля. Применяя правило левой руки, с учетом того, что заряд электрона отрицателен, находим, что вектор магнитной индукции должен быть перпендикулярным плоскости рисунка и направлен на нас. Составляя равенство |e| E=|e| v₀E и учитывая, что получаем ответ: