МИФИ-2007: вступительный экзамен по физике

5. Тонкостенная полусфера имеет радиус R. К нижней точке внутренней поверхности полусферы припаян очень тонкий стержень, перпендикулярный поверхности полусферы в точке крепления. Масса стержня в n раз превосходит массу полусферы. При какой длине стержня нарисованное положение тела будет положением устойчивого равновесия? Ответ обосновать.

Решение

Очевидно, положение тела, изображённое на рисунке в условии задачи, является положением равновесия, поскольку в этом положении сила тяжести и сила реакции опоры компенсируют друг друга. Для исследования устойчивости равновесия необходимо отклонить тело от положения равновесия и исследовать возникшие силы. Если при отклонении тела возникнут силы, возвращающие тело в положение равновесия, равновесие является устойчивым, если возникнут силы, выводящие тело из положения равновесия, равновесие является неустойчивым, если силы будут по-прежнему компенсировать друг друга, равновесие является безразличным.

Поэтому для анализа устойчивости равновесия отклоним тело от положения равновесия и исследуем действие на него сил. Поскольку прямая, вдоль которой действует сила реакции опоры, проходит через центр полусферы (т.к. нижняя поверхность тела сферическая), то устойчивость или неустойчивость равновесия рассматриваемого тела определяется точкой приложения силы тяжести всего тела: если сила тяжести приложена левее центра (при отклонении тела вправо), то его равновесие устойчиво, если правее – неустойчиво, к центру – безразлично. А поскольку точкой приложения силы тяжести является центр тяжести тела, то устойчивость тела определяется положением центра тяжести по отношению к центру полусферы.

Для иллюстрации этого утверждения на рисунке показаны силы, действующие на тело при его отклонении от положения равновесия в случае различного положения центра тяжести. На левом рисунке показан случай, когда центр тяжести тела лежит ниже центра полусферы (центр тяжести отмечен жирной точкой). В этом случае сила тяжести создаёт момент относительно точки касания, возвращающий тело в положение равновесия. В случае, когда центр тяжести тела лежит выше центра тела, момент силы тяжести выводит тело из положения равновесия (правый рисунок).

Для нахождения центра тяжести тела удобно использовать следующий приём. Если тело можно мысленно разделить на такие части, положение центров тяжести которых известно, то центр тяжести всего тела можно найти как центр тяжести системы материальных точек, массы которых равны массам этих частей, а сами эти точки расположены в центрах тяжести этих частей. В применении к рассматриваемому телу это означает, что его центр тяжести совпадает с центром тяжести двух материальных точек с массами, равными массам полусферы и стержня, причём точки расположены соответственно в центрах тяжести полусферы и стержня. Поэтому, если центр тяжести полусферы лежит на расстоянии l ниже её центра, то координата центра тяжести тела в системе координат, начало которой расположено в центре полусферы, а ось x направлена вертикально вниз (эта система координат показана на рисунке), определяется соотношением

(1)

где m – масса полусферы, nm – масса стержня.

Найдём теперь положение центра тяжести полусферы. Для этого рассмотрим тонкий «поясок» полусферы высотой h, который видно из её центра под углом к вертикали. Поскольку поясок очень тонкий, то, если вырезать его из полусферы, разрезать и распрямить, получится почти прямоугольник с основанием, равным длине пояска (а эта длина есть 2R sin), и высотой, равной ширине участка поверхности полусферы, попавшей в поясок (а эта ширина есть h/sin, см. рисунок). Таким образом, площадь поверхности пояска S есть

(2)

Поскольку угол не вошёл в формулу (2), из неё следует, что площадь поверхности пояска (а следовательно, и его масса) не зависит от того, где расположен этот поясок – ближе к «вершине» полусферы или к её центру. Это значит, что масса в направлении от центра полусферы к её верхушке распределена равномерно, и, следовательно, центр тяжести полусферы находится на расстоянии R/2 от её центра. Теперь, подставляя в формулу (1) l = R/2, находим координату центра тяжести тела

(3)

Возвращаясь теперь к рассуждениям об устойчивости положения равновесия, с которых началось решение, заключаем, что положение равновесия рассматриваемого тела будет устойчивым, если x > 0, или