См. также № 9/04

В.Б.ДРОЗДОВ, г. Рязань

Геометрия световых лучей

Что нужно для уверенного решения конкурсных задач по геометрической оптике?

• Во-первых, знание законов геометрической оптики:

– В однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно.

– Угол отражения равен углу падения; падающий луч, луч отражённый и перпендикуляр, восставленный в точке падения, лежат в одной плоскости.

– Произведение абсолютного показателя преломления среды на синус угла между лучом света и нормалью к границе раздела двух сред при переходе света из одной среды в другую постоянно; падающий луч, луч преломлённый и перпендикуляр, восставленный в точке падения, лежат в одной плоскости.

Учитываем также, что световые лучи обратимы: при перемене местами источника и приёмника света траектория распространения света остаётся прежней.

• Во-вторых, необходимо знание основных положений геометрии и формул тригонометрии. Оптика ведь геометрическая! Перечислять их нет смысла. Отметим лишь, что геометрические и тригонометрические «изыски» заведомо не требуются. Однако надо твёрдо помнить, что синус и тангенс угла , значительно меньшего одного радиана, можно и нужно заменять значением самого угла в радианной мере. При этом в первом приближении cos 1. Более точно:

• В-третьих, как и при решении геометрических задач, аккуратный и разборчивый чертёж – наш незаменимый помощник. Он должен быть достаточно крупным, чтобы чётко были видны все элементы. Используем транспортир, циркуль и линейку. От руки можно рисовать лишь весьма простые чертежи.

• В-четвёртых, самое главное – необходим навык решения достаточного числа средних и трудных задач. К чему и приступим.

Задача 1 (МПГУ). Под каким углом должен упасть луч на стекло, чтобы преломлённый луч оказался перпендикулярным отражённому? Показатель преломления стекла n = 1,8.

Решение. Пусть искомый угол равен , тогда, по закону преломления, последовательно имеем:

sin  = n • sin (90° – ) sin  = n cos  tg  = n  = arctg n.

Вычисления дают  = 61°.

Задача 2 (Московский государственный институт электронной техники). Сечение стеклянной призмы имеет форму равностороннего треугольника. Луч падает на одну из граней перпендикулярно к ней. Вычислите угол между этим лучом и лучом, вышедшим из призмы. Показатель преломления стекла n = 1,5.

Решение. Так как луч падает на первую грань призмы по нормали к ней, то в точке D он не преломляется и прямолинейно доходит до точки E. Запишем для этой точки закон преломления: 1,5 sin 60° = sin , откуда , чего не может быть. Следовательно, в точке E будет полное внутреннее отражение, и через вторую грань луч из призмы не выйдет. Геометрически ясно, что, отразившись от второй грани, луч пойдёт по нормали к третьей. А значит, он выйдет из призмы без преломления. Таким образом, искомый угол 2 • 60° = 120°.

Задача 3 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Стеклянный шар (показатель преломления n) освещается узким расходящимся пучком лучей, ось которого проходит через центр шара. Источник света расположен на расстоянии l от поверхности. На таком же расстоянии от поверхности, но по другую сторону от шара, находится изображение источника. Определите радиус шара.

Решение. Изображение источника света находится, очевидно, в точке пересечения любого луча пучка и осевого луча.

Главное – сообразить, что в силу симметрии источника света и его изображения относительно центра шара и обратимости световых лучей, луч внутри шара пойдёт горизонтально. Чтобы не загромождать выкладки, сразу пренебрегаем длиной отрезка BC по сравнению с радиусом шара. По закону преломления света в точке A и из очевидных на рисунке треугольников, имеем систему уравнений:

При замене синуса и тангенса малых углов самими углами система радикально упрощается:

Подставляя из второго и третьего уравнений углы и в первое уравнение, придём к результату: R = l(n – 1).

Задача 4. Сечение стеклянной призмы имеет форму равнобедренного треугольника. Одна из больших граней посеребрена. Луч света падает нормально на другую большую непосеребрённую грань и после двух отражений выходит через основание призмы перпендикулярно ему. Найдите углы призмы.

Решение. На рисунке показан ход луча в призме, неизвестный угол при вершине которой обозначен . Величины остальных углов легко выражаются через . Применим к треугольнику ABC теорему о сумме углов: откуда находим  = 36°. Тогда другие два угла будут по 72°.

Задача 5. Найдите фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала радиусом R для луча, падающего на зеркало параллельно главной оптической оси на расстоянии a от неё.

Решение. Геометрическая конфигурация задачи ясна из рисунке. В равнобедренном треугольнике AOF легко выразить боковую сторону OF через основание OA = R и угол при нём :

Из прямоугольного треугольника OBA находим:

Тогда Искомое фокусное расстояние от точки F до полюса Р:

Видим, что оно зависит от a, т.е. для разных лучей будет разным. Однако для параксиальных лучей Следовательно, лучи, идущие вблизи главной оптической оси параллельно ей, собираются в одну точку – фокус зеркала.

Задача 6. Свая длиной 2 м выступает над поверхностью воды на h = 1 м. Определите длину тени от сваи на дне озера, если угол падения лучей света составляет  = 30°.

Решение.

Из рисунка видно, что длина тени – отрезок AB – равен сумме длин отрезков BC и AC. Очевидно, что BC = h tg , AC = h tg . Тогда AB = h(tg  + tg ).

По закону преломления света, n sin  = sin , где – показатель преломления воды. Из формулы находим откуда

Числовой расчёт даёт AB  1 м.

Задача 7 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Луч света падает на трёхгранную призму под углом .

Призма сделана из стекла с показателем преломления n. Преломляющий угол при вершине призмы . Под каким углом луч выйдет из призмы и каков угол отклонения луча от первоначального направления?

Решение. По закону преломления, sin  = n sin .

По теоремам о сумме углов треугольника ABC и четырёхугольника ADBC, соответственно имеем:

 +  +  = 180°; 90° +  + 90° +  = 360°,

откуда  =  – . Значит,

sin  = n sin ( – ) = n (sin  cos  – sin  cos ).

По закону преломления,

По основному тригонометрическому тождеству,

Чтобы не было претензий на экзамене (по сути, формальных), разумно записать:

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, с ним не смежных, то

Но ранее найдено где – уже определённый нами угол.

Задача 8 (физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, 1994). Шар радиусом R из стекла с показателем преломления n разрезан по диаметру. На диаметральную плоскость одной из половин шара нормально падает параллельный пучок света. На каком расстоянии от центра шара пересекут главную оптическую ось лучи, прошедшие сферическую поверхность на наибольшем удалении от этой оси?

Решение. Ход луча, удовлетворяющего условию задачи, изображён на рисунке.

Отметим, что для него луч, преломлённый в точке A, пойдёт перпендикулярно радиусу OA и пересечёт главную оптическую ось в точке B. По закону преломления, так что лучи, идущие параллельно отмеченному лучу дальше от прямой OB, из полушара не выйдут в силу полного внутреннего отражения. Из треугольника OAB находим:

Задача 9 (ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990). Луч света, лежащий в плоскости рисунка, падает на боковую грань AB призмы, имеющей при вершине угол 90°. В каких пределах лежат возможные значения угла падения , если известно, что луч выходит из боковой грани AC? Показатель преломления призмы n = 1,25.

Решение.

По закону преломления луча на гранях призмы AB и AC, имеем систему уравнений:

Чтобы луч не испытал полное внутреннее отражение на грани AC, необходимо выполнение условия sin  < 1, т.е. n cos  < 1, а с учётом первого уравнения системы и основного тригонометрического тождества получим Последнее неравенство легко преобразуется к Значит, т.к. – острый угол. Числовой результат: 48°40' <  < 90°.