(1)Краткая теория. Взаимодействие молекул идеального газа друг с другом происходит путём абсолютно упругих соударений. Суммарный объём молекул пренебрежимо мал по сравнению с объёмом, занимаемым газом. Идеальный газ подчиняется уравнению Клапейрона–Менделеева:
(1)
где p, V, T –
соответственно давление, объём и абсолютная
температура газа, m и M – масса и
молярная масса газа, 
– универсальная (т.е. одинаковая для
разных газов) газовая постоянная. Величина 
называется
количеством вещества и выражается в молях. Эта
величина, как и масса, аддитивна, т.е. суммируется.
Поэтому уравнение (1) для смеси n газов примет
вид
Молярная масса конкретного газа
определяется по формуле 
, где Mr – определяемая по
таблице Менделеева относительная молекулярная
масса.
Закон сохранения и превращения
энергии с учётом тепловых явлений – первое
начало (закон) термодинамики: количество теплоты,
подведённое к телу, равно изменению внутренней
энергии тела плюс работе, совершаемой телом над
внешними телами, т.е. 
Задача 1. Два сосуда, содержащие один и тот же газ, соединены трубкой с краном. Объёмы сосудов равны V1 и V2, а давления в них p1 и p2. Каким будет давление газа после открытия крана соединительной трубки? Температура газа в обоих сосудах одинакова и не изменяется после открытия крана.
Решение. Запишем уравнение (1) для газа в обоих сосудах до открытия крана, а затем уравнение состояния газа в едином сосуде после его открытия. Эти уравнения образуют систему:
где m1 и m2 – массы
газа в первом и втором сосудах соответственно.
Сложив почленно первые два уравнения и сравнив
получившееся уравнение с третьим, получим p(V1
+ V2) = p1V1 + p2V2,
откуда искомое давление 
Задача показывает, что нет ничего страшного в том, что в системе уравнений неизвестных (p, m1, m2, M, T) больше, чем уравнений. Ведь от нас не требуется найти все неизвестные. Поэтому в такой ситуации не следует искать «недостающие» уравнения – их не существует.
Задача 2. Газ, масса которого равна m1, а молярная масса M1, смешали с газом, масса которого равна m2, а молярная масса M2. Найдите среднюю молярную массу смеси.
Решение. Так как количество
вещества смеси газов 
то искомая средняя молярная масса смеси 
Отметим, что
полученная формула легко обобщается на случай
смеси n газов:
Задача 3. Трубка длиной l, открытая с обоих концов, наполовину погружена в ртуть. Трубку сверху закрывают пальцем и вынимают из ртути. Чему равна длина столбика ртути, оставшегося в трубке? Атмосферное давление уравновешивается столбом ртути высотой H.
Решение. Пусть длина столбика ртути, оставшегося в трубке, равна x. Поскольку он находится в равновесии, то сумма действующих на столбик сил равна нулю: F1 + F2 + mg = 0. Здесь mg – сила тяжести, F1 и F2 – силы давления атмосферного и разреженного воздуха над ртутью соответственно.
Из векторного равенства вытекает
скалярное: F1 = F2 + mg.
Так как F1 = p1S, F2 = p2S,
где S –
площадь сечения трубки, 
– плотность ртути, то имеем: 
По условию, 
тогда 
В
последнем уравнении два неизвестных: x и p2.
Значит, нужно ещё одно уравнение. Его нам даст
закон Бойля–Мариотта, записанный для воздуха в
верхней половине трубки: 
Исключая p2 из системы
уравнений
приходим к квадратному уравнению:
2x2 – 2(H + l)x + Hl = 0
с двумя положительными корнями:
Какой из них выбрать? Очевидно, что 
Поэтому 
Задача 4 (мехмат МГУ, 1988). На рисунке показан цикл, совершаемый над идеальным газом, причём участок 1–2 изображает изохорный процесс, 2–3 – изобарный. Температуры газа в точках 1 и 3 равны соответственно T1 = 300 К и T3 = 400 К. Найдите температуру T2 газа в точке 2. Масса газа постоянна.
Решение. Сначала запишем уравнение для трёх вершин треугольника:
Пользуясь рисунком, меняем индексы у величин p3 и V2:
Далее исключаем неизвестную величину 
, которую не
требуется определять:
Осталось воспользоваться несколько
скрытым условием задачи: точки 0, 1, 3
лежат на одной прямой, следовательно, 
Но p3 = p2,
следовательно, левые части уравнений в последней
системе равны. Тогда равны и правые части: 
откуда 
T2 = 346 К.
Задача 5 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Посередине лежащего на боку заполненного газом запаянного цилиндрического сосуда длиной L = 1 м находится тонкий поршень массой m = 0,1 кг и площадью S = 10 см2. Если сосуд поставить на основание, то поршень перемещается на расстояние l = 1 см. Каково было начальное давление p газа в сосуде? Трение между стенками сосуда и поршнем отсутствует.
Решение. Рассмотрим сосуд в горизонтальном и вертикальном положениях. Запишем по закону Бойля–Мариотта два уравнения, дополнив их условием механического равновесия поршня:
Выразим из первого уравнения p1, из второго – p2 и подставим эти величины в третье уравнение. В результате найдём из линейного уравнения искомое неизвестное:
p = 2,5•104 Па.
Задача 6. Зимой в комнате был включён электронагреватель мощностью 1 кВт, который работал 1 ч. Найдите изменение внутренней энергии воздуха в комнате.
Решение. Окружающий нас воздух
представляет собой смесь двухатомных газов, если
правомерно пренебречь ничтожной примесью
инертных газов. Тогда внутренняя энергия воздуха
С учётом формулы (1) 
Объём комнаты V = const. А
что будет с давлением? Отметим, что реальное
жилище – не наглухо изолированный от внешнего
мира бункер. Как только включили нагреватель,
давление слегка повысится по сравнению с
атмосферным. Воздух через мельчайшие щёлочки
начнёт выходить из комнаты. Давления внутри и вне
тут же сравняются. Так что и p = const. Но
тогда и U = const, следовательно, изменение
внутренней энергии 
А нагреватель включили не для
увеличения внутренней энергии воздуха, а чтобы в
комнате повысилась температура!
Задача 7 (физфак МГУ, 1977). Идеальный газ медленно переводят из состояния с объёмом V1 = 32 л и давлением p1 = 4,1•105 Па в состояние с объёмом V2 = 9 л и давлением p2 = 15,5•105 Па так, что давление во время сжатия изменяется в зависимости от объёма по линейному закону p = aV + b, где a и b – постоянные величины. При каком объёме температура газа в этом процессе будет наибольшей?
Решение. Имеем систему уравнений:
из которой последовательно исключаем b и a:
откуда 
Из последнего уравнения и уравнения (1)
легко вывести: 
Зависимость температуры от объёма представляет
собой квадратичную функцию с отрицательным
коэффициентом (при заданных значениях p1,
V1, p2, V2) при
старшем члене. Значит, наибольшее значение
температуры достигается при
Задача 8. Некоторую массу m идеального газа с молярной массой M нагревают под поршнем так, что его температура, изменяясь пропорционально квадрату давления, возрастает от первоначального значения T1 до T2. Определите работу, совершённую газом.
Решение. Из системы уравнений
где 
выражаем давление:
где k = const. Видим, что давление прямо пропорционально объёму, т.е. непостоянно. В таком случае работа определяется с помощью интеграла:
Однако для линейных функций удобнее строить их графики в системе координат (p, V) и находить работу как площадь трапеции под графиком. По формуле площади трапеции (обычной, а не криволинейной):
По формуле (1): 
Кроме того, p1V2 – p2V1 = kV1V2 – kV2V1 = 0.
Следовательно, 
Задача 9 (МФТИ, 1976). В цилиндре
под лёгким поршнем находится m = 14 г
азота при T = 300 К. Какое количество
теплоты необходимо ему сообщить при
изотермическом увеличении объёма на = 4%?
Решение. По первому началу
термодинамики, 
Но в изотермическом процессе для идеального газа
U = const, откуда 
Значит, Q = A.
При T = const вычислить работу
без интеграла, вообще говоря, нельзя. Однако,
учитывая, что 
в
первом приближении заменяем криволинейную
трапецию обычной.
Имеем: 
Так как 
Из уравнения pV = p0V0 выражаем p:
Следовательно,
Q = 48,8 Дж.
Интересно сравнить приведённое решение с точным решением, полученным с применением интеграла:
Разлагая натуральный логарифм в ряд: 
– и ограничиваясь
тремя первыми членами, получим
Таким образом, относительная
погрешность составляет всего 
3
Окончание следует