М.А.БРАЖНИКОВ, г. МоскваНа паровике или на электричке?
Понятие средней скорости вводится в курсе школьной физики как вспомогательное, позволяющее перейти затем к понятию мгновенной скорости – векторной физической величине, – которой по справедливости уделяется большое внимание. Ученик на экзамене часто не может ответить на вопрос, зачем нужно знать среднюю скорость движения. Фактически знание средней скорости важно не менее, чем знание мгновенной скорости или максимально возможной. Предлагаемый ниже пример – небольшое нетрадиционное домашнее задание – как представляется, поможет ученикам лучше ориентироваться в этом вопросе, позволит внести разнообразие в их представления о графиках движения, а также совершить экскурс в историю. Железная дорога – наиболее понятный, житейский, пример системы отсчёта. Ведь система отсчёта – это: тело отсчёта (вокзал с часами на башне) плюс система координат (километровые столбы вдоль железной дороги) плюс часы, которые есть не только на вокзале, но и на каждой станции. Линия железной дороги представляет собой траекторию движения поездов. Когда мы отправляемся за город на электричке, то кажется, что поезд движется бесконечно медленно. В чём причина? Может быть, наши электропоезда слишком тихоходны и не могут развивать большие скорости? Попробуем разобраться. Железнодорожное движение стало развиваться в нашей стране со второй половины XIX в. (хотя первый пробный поезд прошёл между Павловском и Царским Селом ещё при Пушкине – 6 ноября 1836 г. [1]). В 1862 г. было открыто движение на участке от Москвы до Коломны (удивительно, но с тех пор на этой железной дороге левостороннее движение), возникли и первые пригородные станции: Перово, Люберцы, Быково. Между станциями курсировали паровозы [2]. Движение поезда между станциями удобно изображать с помощью графика, отмечая на нём время прибытия поезда на станцию и время его отправления, рис. 1. Расстояния между станциями округлены с точностью до километра [5].
Задание 1 – «Дачный поезд». Определите по графикам на рис. 1: a) время отправления составов и время прибытия на станции Москва и Быково; б) время нахождения поездов в пути; в) пройденное расстояние; г) средние скорости движения от Москвы до Быкова. Скорость курьерского поезда должна получиться примерно в 1,5 раза больше скорости паровика и больше скорости электрички! Но самое удивительное, что это меньше скорости, развиваемой на велогонках. Дело не в технике. Наверное, вам будет интересно узнать, что перед революцией на Казанском направлении Московской железной дороги курсировали паровозы серии «Ку», которые могли развивать скорость до 100–120 км/ч [1, 2] (что больше средней скорости паровика в 3–4 раза!), и при такой скорости двигать состав массой несколько сотен тонн. Однако даже в настоящее время электричка не движется с такой средней скоростью. Задание 2 – «Из Петербурга в Москву». 6 декабря 1913 г. на участке Москва–Петербург длиной 650 км был установлен рекорд: поезд из девяти вагонов, ведомый паровозом серии «С», находился в пути 7 ч 59 мин, из них в движении 7 ч 30 мин (паровозы менялись в Бологом и Твери) [1, 2]. a) Какова средняя скорость движения поезда? б) Во сколько раз средняя скорость меньше максимальной, равной 125 км/ч? Почему рекорды скорости всё время ставят между Петербургом и Москвой – и до революции, и сейчас? Одна из причин – малая кривизна пути: дорога между столицами1 практически прямая, а пригородный путь других железных дорог извилист, особенно в городской черте. И только за городом железная дорога становится попрямее (для данного участка – за Перово (рис. 2).
Движение по железной дороге не является прямолинейным – эта одна из причин, почему поезд не на всех участках может развивать максимальную скорость. Кстати, средняя скорость движения между станциями не является векторной величиной, путь, пройденный поездом, не равен модулю перемещения. Векторы перемещения из Москвы до Электрозаводской и до Сортировочной, из Сортировочной до Фрезера не совпадают с траекторией движения, а значит, вектор средней скорости не равен по модулю средней скорости движения по железной дороге. Если внимательно посмотреть на графики движения, то станет понятно, что основная потеря времени – на остановках. Электричка в отличие от паровоза благодаря автоматическому открыванию дверей, меньше стоит на станции. Минимальное время остановки паровика – 1 мин, на крупных станциях пассажирский поезд стоял до 3 мин, а электричка успевает открыть и закрыть двери за несколько десятков секунд. Более совершенный электродвигатель позволяет быстрее набирать и сбрасывать скорость (ускорение, с которым трогается поезд, составляет до 0,2 м/с2 у паровоза и до 1 м/с2 у электрички). Частые остановки не позволяют «разогнаться» составу. Как правило, чем длиннее перегон, тем больше средняя скорость. Со временем на железной дороге число платформ увеличивалось, уже к 1917 г. к указанным станциям 60-х гг. XIХ в. на Казанском направлении прибавились остановки в Вешняках, Удельной и т.п. Появлялись новые платформы и в советское время, исчезла лишь небольшая остановка Сокольники, поэтому средняя скорость пригородной электрички не превышает скорость дореволюционного курьерского поезда. Задание 3 – «От станции к станции» (рис. 1) a) По графику «Паровикъ» найдите участки движения с максимальной и минимальной средней скоростью между станциями, вычислите её. На сколько полученные значения отличаются от средней скорости на участке Москва–Быково? Совпадает ли среднее арифметическое максимальной и минимальной скоростей со средней? б) По графику «Электричка» определите средние скорости движения на участках между станциями Москва–Электрозаводская и Малаховка–Удельная. Почему при практически одинаковой длине перегона скорости различаются? (Для ответа используйте рис. 2.) в) Каково среднее центростремительное ускорение на участке от Москвы до станции Электрозаводская, если радиус кривизны пути около 250 м? г) Какое время потребуется паровозу серии «Ку», чтобы развить скорость 60 км/ч? 115 км/ч (максимально разрешенную к эксплуатации на Московско-Казанской железной дороге до революции) при ускорении 0,1 м/с2? Мог ли такую скорость развить паровик между пригородными станциями? д) Что означают точки пересечения графиков «Паровикъ» и «Курьерскiй», «Паровикъ» и «Электричка» (если бы они двигались в одну эпоху)? На рис. 1 пунктиром показаны графики движения паровика и электрички, если бы они двигались без остановки каждый со своей средней скоростью. Средние скорости движения паровика между станциями сильно различаются между собой. Кроме того, время стоянки соизмеримо со временем движения, поэтому график средней скорости не позволяет определить местоположение состава. Напротив, график средней скорости, приведённый для электрички, даёт возможность оценить местоположение состава с точностью до 1 км (если проставить неокруглённые значения расстояний до станций, например, до Быкова от вокзала 33,4 км) на всём пути2 . Однако и в том, и в другом случае средняя скорость позволяет оценить время прохождения значительной части пути. Так, дачник, «взяв паровик» (так тогда говорили) и подъехав к станции Косино, знал, что он проехал половину дороги до Быкова, затратил на это чуть более получаса и справедливо полагал, что ему ещё ехать осталось столько же по времени и по расстоянию. Ошибка в 3–4 мин соизмерима со временем остановки и чуть больше 4% от общего времени движения – это разумная точность инженерного расчёта. На практике средняя скорость определяет «пропускную» способность дороги, всё равно какой – железной или автомобильной. Чем больше скорость, тем больше машин или поездов в час могут проехать по ней. Величина средней скорости зависит в значительной мере от организации движения. Так, скорый поезд, двигаясь между Петербургом и Псковом, ведомый тепловозом Т60, проходил в 1988 г. этот участок за 4 ч 18 мин, а в 1911 г. состав «во главе» с паровозом серии «С» – за 3 ч 50 мин [2]. Но, как бы ни был хорош и удивителен паровоз, он уступил место другим средствам передвижения, хотя в некоторых случаях ушёл непобеждённым! И только в редкие праздничные дни «Его Величество Паровозъ», начавший движение по дорогам России почти 170 лет назад, можно увидеть во всей красе и мощи.
Рассмотренный пример движения пригородных поездов является частным случаем более общей транспортной задачи. В жизни мы часто встречаемся с ситуациями, когда движение машин, поездов, трамваев и т.п. совершается по строго определённым маршрутам. При этом оно является одномерным, но не прямолинейным. На авто- и железных дорогах положение движущегося объекта задаётся с помощью системы координат – километровых столбов, «отсчитывающих» расстояние от города, вокзала, пересечения дорог, узловой станции и т.п., и часов, с помощью которых определяется время. Часто часы всех железнодорожных станций выверены с часами вокзала, откуда отправляются поезда. Движение по дорогам не является равномерным. Меняется направление движения. Величина скорости то возрастает (при отправлении от станции, на больших перегонах, прямолинейных участках пути), то падает (при подходе к станции, подъёме дороги, на поворотах). В ряде случаев время остановки сравнимо со временем движения от станции к станции. Движение в целом – по всей трассе, на всём пути – не может характеризоваться ни максимальной скоростью, ни минимальной, ни их средним арифметическим. Оно характеризуется средней скоростью движения, которая определяется как весь пройденный путь, делённый на всё время пути. На практике, говоря о средней скорости движения, имеют ввиду не векторную величину, а алгебраическую – среднюю путевую скорость. Знание средней скорости позволяет определить при известном расстоянии время прибытия в конечный пункт назначения, а в ряде случаев, когда характер движения меняется несильно, оценить примерно, за какое время, например, будет пройдена половина, треть или две трети пути. Средняя скорость определяет пропускную способность транспортной магистрали. Дополнительное задание «Графики движения» а) По данным таблицы3 для участка Москва–Раменское постройте графики движения поездов (пропуски в графах таблицы означают, что поезд идёт без остановки)4. б) После какой остановки преимущества электрички над паровиком становятся явными (имейте в виду, что реальная точность прибытия и отправления 1–2 мин)? в) Считая, что «Паровикъ» и «Электричка» вышли в один день, укажите, между какими станциями они должны следовать по разным путям, считая, что безопасный интервал движения между поездами не должен быть менее 4–5 мин. г) Для «Паровика» и «Электрички» вычислите средние скорости движения на участке Москва–Быково. Почему они возросли по сравнению со скоростями на графике рис. 1? д) Для «Паровика» и «Электрички» вычислите средние скорости движения на участке Люберцы–Быково. Сравните полученные значения со скоростью курьерского поезда. е) Сравните средние скорости движения «Электрички» и «Спутника» на всём маршруте и на участке Люберцы–Раменское. Сравните полученные значения со средней скоростью движения паровоза между Петербургом и Москвой в 1913 г. ж) Сформулируйте для себя, в чём вы видите прогресс железнодорожного транспорта (в скорости, комфортности, экономичности)? Рекомендации к построению графиков (рис. 3)
Процесс получения и обработки экспериментальных данных, как правило, включает в себя несколько этапов: измерение, составление таблицы, построение графика, вывод зависимости (функции). Конечно, самому измерению предшествует планирование эксперимента и создание измерительной установки, а зависимость между измеряемыми величинами не всегда может быть выражена простой функцией. Но остановимся на представлении результатов в виде таблицы и в виде графика. Одно обладает большей точностью, другое – большей наглядностью. Первое правило: строя график по табличным значениям, сохраняйте разумную точность. Чтобы выполнить это правило, необходимо уметь выбрать масштаб, согласовав его с пределами, в которых изменяется измеряемая величина, и с точностью измерений. Но предварительно необходимо чётко уяснить, какую зависимость мы хотим изобразить. Рассмотрим на конкретном примере дополнительного задания «Графики и движение». Наш график будет изображать расстояния вдоль железной дороги, проходимые поездом, от времени: по оси ординат будем откладывать расстояние, по оси абсцисс – время. График будет называться «График движения поезда», название необходимо написать под графиком или вверху поля графика. Самих графиков движения будет три: для паровоза, для электрички и скоростного поезда. Движение рассматривается между одними и теми же остановками, значит, изменение ординаты (расстояние) одинаковое – 45,3 км. Поезда отправляются практически одновременно, а время нахождения в пути у них разное – паровоз движется до станции назначения 1,5 ч. Значит, абсцисса меняется в переделах 1,5 ч. График лучше выполнять на листе формата А4 масштабно-координатной бумаги («миллиметровке»). Но подойдёт и двойной лист в клеточку. Второе правило: по возможности располагайте графики на одном листе. Выберем масштаб 1 см – 5 мин для оси абсцисс и 1 см – 2,5 км для оси ординат. При таком масштабе по оси времени поле графика составит не менее 18 см, а по оси расстояний – чуть более 18 см. Тем самым приблизительно удовлетворяется требование: линия графика должна идти через всё поле, составляя с осями угол, близкий к 45°. Рассмотрим, насколько выбранный масштаб позволяет сохранить представленную в таблице информацию. На линованной бумаге точки без помощи миллиметровой линейки могут быть расставлены с точностью не более чем четверть клеточки, что соответствует времени около 1 мин, а расстоянию – около 300 м. При увеличении масштаба в два раза, мы бы вышли за пределы формата А4. Длина современной платформы составляет 150–200 м (а иногда и больше), погрешность расстояний, указанных в таблице, того же порядка. Расписание электропоездов указывает время прибытия с точностью до минуты, а время стоянки в секундах – условная средняя величина, которая выдерживается приблизительно, поскольку зависит от того, успели ли пассажиры на платформе сесть в поезд. Выбранный масштаб позволяет без заметной потери информации изобразить графики движения поездов. По осям указывается начало отсчёта (за начало отсчёта не обязательно выбирать ноль! В данном случае по оси абсцисс удобно выбрать время 12 ч 40 мин), масштаб и единицы. Для большей наглядности следует указать остановки. Сами графики необходимо подписать, если линий на самом рисунке немного, то удобнее делать это словами, если их больше 3–5, то лучше сделать обозначения цифрами, затем расшифровать их в подписях к графику. Кроме наглядности, какую новую информацию дал график по сравнению с таблицей?
Литература1. Раков В.А. Локомотивы отечественных железных дорог 1845–1955: Изд. 2-е. – М.: Транспорт, 1995. 2. Никольский А. Паровозы серии «С». – М.: Виктория, 1997. 3. Цингер А. Начальная физика. – М.–Л.: Госиздат, 1928. 4. Расписание движения пригородных поездов. Казанский вокзал. – М.: Транспорт, 1990. 5. Атлас железных дорог СССР. – М.: Транспорт, 1973. 6. Резников Л.И. Графические упражнения и задачи по физике. – М.–Л.: АПН РСФСР, 1948. _______________________ 1Конечно, в действительности кривизна пути не определяет столь небольшую скорость движения на начальном участке Москва–Электрозаводская, как получается по расчётам. Малая скорость движения связана с тем, что на протяжении более километра поезд перестраивается с одного пути на другой: 16 платформ вокзала «втекают» в 4 железнодорожных пути. 2Для желающих получить более реальное представление о скоростях движения пригородных электричек ниже приведено дополнительно задание, где расстояния указаны с точностью 150–200 м (это длина современной платформы), а в качестве примера дано расписание движения самой «быстрой» электрички на участке Москва–Раменское [4] и самого быстрого паровика [6]. 3Составлена по данным [4–6]. 4См. ниже рекомендации к построению графиков. 5Движение скоростного поезда «Спутник» от Москвы до Раменского организовано летом 2005 г. |
