ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ XI МЗФО (2005/06)

7-й класс

1. Мокрый снег «скрепляют» силы поверхностного натяжения воды.

2. Флажок повиснет, т.к. воздушный шар летит со скоростью, равной скорости ветра. (Скорее, чуть меньшей – из-за сопротивления воздуха, поэтому флажок вытянется по ветру. См. фото парусных яхт и рисунки старинных парусных кораблей, идущих курсом фордевинд, т.е. строго по ветру. – Ред.)

3.

4. Пусть расстояние между двумя автобусами, движущимися в одном направлении, l, а скорость автобуса . Тогда время ожидания автобуса на остановке При движении навстречу время между двумя встречами автобусов, движущихся в разных направлениях, Значит, t₁ = 2t₂  = 2 • 10 мин = 20 мин.

5. Изменение плотности Заметим, что объём спирта уменьшается, поэтому V < 0.

8-й класс

1. Ни давление, ни сила давления на сваи не изменятся. Чтобы убедиться в этом, представьте, что объём погружённой части баржи заменили водой.

2. Пусть масса толстого конца M, тонкого m. Пусть расстояние от центра тяжести толстого конца до петли равно L, а тонкого l. Тогда из условия равновесия имеем ML = ml, отсюда

Так как, по условию, l > L, то M > m, т.е. масса толстого конца больше.

3. F = _кa³g + p_aa²+ _вg(h – а)a² 165 кН.

4. Вес вытесненной телом воды P_в = P – P₁ = 1,0 H.

Значит, _вVg = 1,0 H, отсюда легко найти объём тела: V = ... = 1,0 • 10^–4 м³.

Р_A = Р – _AVg, отсюда _A = 0,8 • 10³ кг/м³.

Р_B = Р – _BVg, отсюда _B = 0,7 • 10³ кг/м³.

5. Условие равновесия в воздухе:

_гV₁gl₁ = _гV₂gl₂ V₁l₁ = V₂l₂ ;

Условие равновесия в воде:

(_гV₁g – _вV₁g) l₁ = (_гV₂g – _вV₂g) l₂ V₁l₁(г – _в) = V₂l₂(_г – _в).

Ясно, что если выполняется условие равновесия в воздухе, то выполняется и условие равновесия в воде. Поэтому равновесие не нарушится.

9-й класс

1. Тела чёрного цвета лучше поглощают тепловое излучение.

2. Условия равновесия:

(1) _вSh₁ = m;

(2) _вSh₂ = m + _жSd₂;

(3) _вS(d₁ + d₃) = m + _жSd₃.

Искомая величина d = d₃ – d₂.

(2) _вh₂= _вh₁ + _жd₂
(3) _в(d₁ + d₃) = _вh₁ + _жd₃

3. За время испаряется m = S воды. Энергия на испарение забирается у оставшейся в чашке воды: Lm = cmt, отсюда LS = cmt. Искомая скорость u = t/ = LS/cm 0,48 °C/c.

4. Жилец верхнего этажа должен находиться в том же положении, что и искусственный спутник Земли на геостационарной орбите. Для него справедливо уравнение 2-го закона Ньютона:

где m – масса жильца,   – угловая скорость вращения Земли, R = 6400 км – радиус Земли, h – искомая высота, М – масса Земли, G = 6,67 • 10^–11 Н • м²/кг². С учётом того, что g = GM/R², получим:

5. Кубик может подпрыгнуть, если сила F, действующая на него со стороны пули, окажется больше силы тяжести Mg 1 Н. Найдём эту силу. На пулю со стороны кубика действует сила, равная по модулю F, но направленная противоположно, и сила тяжести mg. Скорость пули при пролёте сквозь кубик меняется незначительно – всего на 5% от её скорости при входе в кубик. Поэтому можно считать, что сила F не зависит от скорости пули и постоянна.

Импульс пули при пролёте сквозь кубик меняется благодаря действию на неё двух сил – силы тяжести и силы со стороны кубика, равной по модулю F. Если время пролёта пули сквозь кубик обозначить , то m(₁ – ₂) = (F + mg).

Время найти нетрудно. Средняя скорость полёта пули в кубике _ср = (₁ + ₂)/2 (т.к. силы, действующие на кубик, постоянны, то постоянно и ускорение пули, а значит, скорость пули линейно меняется со временем). Размер кубика а. Это расстояние пуля пролетает за

Подставив это значение в первую формулу, найдём F =

Сила F больше силы тяжести, которая действует на кубик. Следовательно, кубик подскочит.

10-й класс

1. Согласно закону сохранения импульса:

Искомая величина:

2. Потенциальная энергия каждой капли массой m идёт на увеличение её внутренней энергии, поэтому mgh = cm( - t₀) = t₀ + gh/c.

3. Пусть S = l² – площадь верхней грани бруска, m – его масса, х – глубина погружения бруска в воду. Тогда из условий равенства силы тяжести и силы Архимеда имеем:

Решая данную систему уравнений относительно m, получим

4. Пар, образовавшийся из воды, вытесняет со «своего места» воздух. Если давление пара p, а объём V, то совершаемая им работа по вытеснению воздуха A = pV. С другой стороны, Искомая величина

5. Так как автомобиль движется с постоянной скоростью, то составляющая силы тяжести, касательная к окружности, должна быть равна по абсолютной величине силе трения покоя шин о дорогу: mgsin = F_тр. Но F_тр kN, где N – нормальная составляющая силы реакции дороги. Следовательно, mgsin kN.

Так как автомобиль движется по окружности, то он имеет центростремительное ускорение a = ²/R, которое ему сообщает равнодействующая силы N и радиальной составляющей силы тяжести, т.е.

mg cos – N = m²/R.

Найдём отсюда силу N, подставим её значение в написанное выше неравенство и получим

При = ₀ = l/(2R) значение sina максимально, а cos – минимально. Поэтому максимальная скорость, с которой может двигаться автомобиль

__________________

Тексты условий задач см. в № 20/05.