МЕТОДИЧЕСКИЕ
СТРАНИЦЫ

Проф. Н.Н.ТУЛЬКИБАЕВА,
г. Челябинск

К методам решения задач

Первой решается задача, условием которой заданы все процессы, происходящие с телами в результате теплообмена.

• Неперегретый водяной пар массой 200 г впустили в калориметр (алюминиевый) массой 100 г, где находился лёд при температуре –8 °С. Температура в калориметре установилась 24 °С. Какое количество льда было взято?

Анализ и процесс решения задачи

1. В теплообмене участвуют три тела: пар, лёд и калориметр.

2. Уравнение теплового баланса в общем виде:

Q_пол = Q_отд.      (1)

3. Теплообмен осуществляется в результате отдачи тепла паром и получения тепла льдом и калориметром. Отсюда запись уравнения теплового баланса для данной задачи:

Q_л + Q_ал = Q_п.      (2)

4. С каждым из тел происходят определённые процессы:

– лёд нагревается до 0 °С, плавится, и полученная ледяная вода нагревается до 24 °С:

– калориметр нагревается от –8 °С до 24 °С:

– неперегретый пар конденсируется (100 °С), и образовавшаяся вода остывает до 24 °С:

5. Графическая интерпретация выделенных процессов, в результате которых пар отдаёт тепло, а лёд и калориметр получают.

6. Тепловые процессы, происходящие с каждым телом, изображаются ломаной линией. Каждый её отрезок представляет определённый процесс:

– калориметр (алюминиевый) нагревается: Q_{ал (н)};

– неперегретый пар конденсируется, сконденсированная вода охлаждается: Q_пк + Q_{(п-в)охл};

– лёд нагревается, плавится, ледяная вода нагревается: Q_лн + Q_{л пл} + Q_(л-в)н;

8. Отрезки ломаных линий относительно оси температуры расположены перпендикулярно (t = const) или под углом (t const). Все тепловые процессы классифицируем относительно изменения температуры на процессы двух типов:

– происходящие при постоянной температуре: плавление (отвердевание) и испарение (конденсация);

– происходящие при изменении температуры: нагревание и охлаждение.

Первые процессы аналитически описываются общей формулой Q = km, где k – это или r. Вторые процессы – формулой Q = cmt.

9. Уравнение теплового баланса из описания всех процессов для тел, участвующих в теплообмене:

Q_пк + Q_(п-в)ох = Q_алн + Q_лн+ Q_лпл + Q_(л-в)н;      (3)

     (4)

10. Решение уравнения (4) относительно m_л:

11. Проверка правильности решения в общем виде по размерности:

12. Выполнение расчётов:

В калориметре находилось 1,16 кг льда.

Работа с задачей, для решения которой сразу применить уравнение теплового баланса нельзя. Прежде должно быть проверено условие применимости уравнения теплового баланса, т.е. выяснено, заданы ли все процессы, происходящие с телами. Уравнение теплового баланса есть частный случай закона сохранения энергии для тепловых процессов. Его можно применять при решении задач, если точно определены все процессы изменения агрегатных состояний тел, участвующих в тепловых обменах. Одной из первых поэтому должна быть задача, решение которой без проверки данного условия невозможно. В ходе проверки необходимо точно определить все процессы изменения агрегатных состояний тел и только тогда применить уравнение теплового баланса. Основными методами решения может быть перебор всех возможных ситуаций и сужение области поиска нужной ситуации. Рассмотрим данный подход (а он единственно возможный) на примере решения конкретной задачи.

• 0,6 кг льда при температуре –40 °С погрузили в воду при температуре 10 °С. Масса воды 0,4 кг. Определите установившуюся температуру.

Комментарии к решению. В тепловом обмене участвуют два тела: лёд и вода. В процессе теплообмена могут измениться агрегатные состояния и льда, и воды. При этом лёд может растаять, а вода замёрзнуть. Абсолютное большинство старшеклассников начинают сразу с записи уравнения теплового состояния, не учитывая изменения агрегатных состояний тел. Более того, оказывается неусвоенным само условие применимости уравнения теплового баланса.

Анализ направленности возможных процессов при теплообмене данных тел необходимо начать с выделения всех возможных конечных ситуаций (рис. 2).

– 1-я ситуация: установится положительная температура (t > 0 °С);

– 2-я ситуация: установится отрицательная температура (t < 0 °С);

– 3-я ситуация: установится нулевая температура, при этом вода охладится до 0 °С, и лёд нагреется до 0 °С (t = 0 °С);

– 4-я ситуация: установится нулевая температура, при этом вода охладится до 0 °С и вся превратится в лёд, а лёд нагреется до 0 °С (t = 0 °С);

– 5-я ситуация: установится нулевая температура, при этом вода охладится до 0 °С, лёд нагреется до 0 °С и весь расплавится (t = 0 °С);

– 6-я ситуация: установится нулевая температура, при этом вода охладится до 0 °С и частично превратится в лёд, а лёд нагреется до 0 °С (t = 0 °С);

– 7-я ситуация: установится нулевая температура, при этом вода охладится до 0 °С, лёд нагреется до 0 °С и частично расплавится (t = 0 °С).

Для наглядности выделенных ситуаций воспользуемся графической интерпретацией процессов. Теперь выделены все возможные ситуации, в каждой заданы процессы изменения агрегатных состояний тел. Для решения задачи можно применить метод перебора ситуаций, и для каждого конкретного случая записать уравнение теплового баланса. Но для оптимизации решения можно сузить область поиска. Для этого необходимо проанализировать все семь выделенных ситуаций и классифицировать их. Очевидно, эти ситуации можно разделить на три типа: t > 0 (1-я ситуация), t < 0 (2-я ситуация) и t = 0 (3–7-я ситуации).

Далее надо оценить реальность ситуаций. Для этого сравним количество теплоты, выделяемое водой при охлаждении до 0 °С, и количество теплоты, поглощаемое льдом при нагревании до 0 °С:

лёд поглощает энергию 50 400 Дж:

вода отдаёт 16 800 Дж:

Первый вывод: положительной температуры не может быть.

Оценим второй тип ситуации, когда t < 0 °С и необходима дальнейшая отдача тепла водой. Это может быть при замерзании воды. Пусть вся вода застынет. При этом выделится 132 000 Дж:

Так как 16 800 Дж + 132 000 Дж > 50 400 Дж, то вся вода не превратится в лёд.

Второй вывод: отрицательной температуры не может быть.

Третий вывод: установится температура 0 °С, при этом часть воды превратится в лёд (6-я ситуация).

Решение задачи можно продолжить и определить количество застывшей воды: 33 600 Дж = 50 400 Дж  – 16 800 Дж должно быть выделено за счёт отвердевания воды при 0 °С. Поэтому можем записать:

33 600 Дж 3,3 10⁵ Дж/кг 0,1 кг.

Итак, при установившейся температуре 0 °С в лёд превратится 0,1 кг воды. Смесь будет состоять из 0,7 кг льда (0,6 кг + 0,1кг) и 0,3 кг воды (0,4 кг – 0,1 кг). Но интерес представляет решение на основе уравнения теплового баланса после выбора соответствующей (6-й) ситуации. Запишем уравнение:

и решим его относительно m_в-л: