Человек на воде

Большинство, очевидно, умеет плавать. Перемещение в воде можно рассматривать как своего рода эксперимент, так что представляет интерес теоретически разобрать три вопроса.

Первый: легко ли держаться на воде? или, конкретнее: какую наименьшую мощность должен развить человек, чтобы не утонуть в спокойной воде?

Сначала возьмём из справочников значения необходимых величин: плотность человека 1030 кг/м³    1050 кг/м³; плотность морской воды при 20 °С 1010 кг/м³  ₀  1050 кг/м³; плотность водопроводной воды при 20 °С ₀ = 998,2 кг/м³. Полагаем, что человек достаточно строен и имеет массу m = 75 кг при росте H = 1,75 м.

Ясно, что расчёт будет носить оценочный характер ввиду наличия ряда факторов, которые невозможно точно учесть: техника, скорость, амплитуда движений пловца, геометрическая форма его тела, объём лёгких и степень заполнения их воздухом, объём части головы, находящейся над водой. Кроме того, более детальные вычисления были бы неимоверно сложны, если вообще возможны.

Итак, пусть человек, лёжа в воде на спине (а так легче всего), немного двигает ногами и руками, не погружаясь на дно. При этом он очень медленно плывёт, допустим, со скоростью 0,1 м/с. Как увидим ниже, энергозатратами на такое «плавание» можно пренебречь по сравнению с работой, совершаемой для удержания на воде. Считаем пловца в первом приближении прямоугольным параллелепипедом высотой H, шириной 2a и толщиной a. Записав объём человека двояко (V =  и V = 2a²H), легко получить, что площадь его большей грани S = .

Если пловец перестанет «шевелиться», он начнёт погружаться в воду. Так как плотность человека лишь немного больше плотности воды, то считаем скорость погружения постоянной, ибо она установится очень быстро. За весьма малое время t пловец опустится на расстояние h = t. Чтобы компенсировать это погружение, он должен за время t на пути h совершить работу A = Vg( – ₀)h против равнодействующей силы тяжести и архимедовой силы Vg( – ₀). Развиваемая при этом мощность

         (1)

В формуле (1) неизвестна только скорость погружения , которую найдём из очевидного условия равномерного погружения: mg = F_А + F_с. Здесь F_А = ₀Vg – архимедова сила, F_с – сила сопротивления воды, которая записывается так:

             (2)

где S – площадь лобового сечения тела, C – безразмерный коэффициент, зависящий от его геометрической формы. Для диска, например, C = 1,1, поэтому разумно положить для человека C = 1.

К формуле (2) легко прийти из соображений размерности. Существует лишь единственная комбинация из величин ₀, S, (от которых заведомо зависит сила сопротивления): ₀S², имеющая размерность силы. Итак, имеем уравнение:

откуда

                     (3)

Из формул (1) и (3) после технических упрощений получаем интересующий нас результат:

             (4)

Мощность в формуле (4) выражена через естественные характеристики человека: массу и рост, а также через его плотность и плотность воды. Она применима только при    ₀, ну а при  < ₀ никаких усилий, чтобы удержаться на воде, затрачивать не придётся. Так, в заливе Кара-Богаз-Гол плотность воды 1200 кг/м³ – захочешь, да не утонешь. Естественно, что при  = ₀ получаем N = 0. В состоянии невесомости N = 0 при любых плотностях  и ₀. Для различных комбинаций и ₀ результаты вычислений сведены в табл. 1.

Интересно, что даст формула (4) для воздуха (₀ = 1,29 кг/м³)? Получается мощность, совершенно недоступная человеку: N = 35 кВт = 47,6 л.с.

Таблица 1. Мощность (Вт), которую нужно развить человеку плотностью , чтобы не утонуть в воде плотностью ₀

Теория согласуется с опытом на качественном уровне, хотя формула (4) и неприменима для воздуха.

Второй вопрос: легко ли плыть, преодолевая сопротивление воды? Другими словами, какую мощность N₁ должен развить человек, чтобы плыть со скоростью ₁?

Ясно, что искомая мощность N₁ = N + F_c1, или, применяя формулу (2), N₁ = N +  ₀S₁. Площадь лобового сечения, перпендикулярного скорости, горизонтально плывущего тела, S₁ = , поэтому N₁ = N + . Понятно, что в данном случае, учитывая оценочный характер расчёта, разумно положить  = 1. Окончательно имеем

N₁ = N + .                      (5)

Легко подсчитать, что N   при ₁ = 0,1 м/с, так что при выводе формулы (4) мы правильно пренебрегли мощностью, которая затрачивается на столь медленное плавание.

На основании формулы (5), в которой считаем N = 13,84 Вт, составлена табл. 2 для заплыва мужчин на 100 м вольным стилем. Из неё видим, как резко увеличивается мощность со скоростью.

Третий вопрос: при какой глубине водоёма человеку безопасно прыгать в воду? Пусть рост человека H, а высота берега l.

Отметим, что высота l даже в спортивных прыжках не превосходит 10 м, так что учитывать сопротивление воздуха нет необходимости. Также пренебрегаем незначительной горизонтальной составляющей скорости прыгуна по сравнению с вертикальной составляющей при вхождении в воду. Ввиду того, что плотность человека незначительно превышает плотность воды, не учитываем уменьшение потенциальной энергии системы вода–человек в процессе погружения человека на дно и считаем, что потенциальная энергия человека mgl полностью расходуется на работу против силы сопротивления воды. При этом скорость человека у дна обратится в нуль или станет безопасно малой. Пусть прыгун входит в воду вертикально, тогда сила сопротивления воды будет наименьшей, а риск удариться о дно – наибольшим.

Таблица 2. Мощность, которую требуется развить спортсмену для того, чтобы плыть с указанной скоростью

Квадрат скорости вхождения в воду растёт прямо пропорционально высоте l, ибо  = 2gl. Точно так же увеличится и мгновенная сила сопротивления воды, тоже пропорциональная квадрату мгновенной скорости тела, на всём его пути в воде. Поэтому в первом приближении считаем, что глубина водоёма h от высоты l не зависит. Разумно предположить, что h прямо пропорциональна росту человека и обратно пропорциональна безразмерному коэффициенту из формулы (2). Ведь чем лучше обтекается тело, тем медленнее гасится его скорость, и у людей с разной фигурой этот коэффициент неодинаков. Таким образом, основываясь на соображениях размерности, получим

зh ~ .

Полагая опять C = 1, получим окончательно h ~ 3,5 м. (В расчётах не учитывается вязкость воды, ибо даже при скорости пловца 0,1 м/с число Рейнольдса

Интересно, что в бассейнах для спортивных соревнований самые глубокие прыжковые ямы – восьмиметровые, а наибольшая глубина в обычном бассейне – 4 м. Это хорошо согласуется с нашей грубой оценкой. Ясно также, что столь глубокие ямы предназначены для прыжков с достаточно большой высоты, т.к. h всё же зависит от l.