Заказная статья

А.А.КНЯЗЕВ,
Лицей прикладных наук, г. Саратов knf@sgu.ru

Диффузия или конвекция?

Довольно часто явления диффузии и конвекции проявляются совместно, но оба рассмотрены в учебниках разве что качественно, поэтому школьники затрудняются с чёткими ответами по существу.

1. Диффузия. Для любителей программирования программа, демонстрирующая тепловое движение одной молекулы из облака газа, может являться одним из первых критериев зрелости. Она довольно проста в математическом плане, да и графическое исполнение непритязательно – в самый раз для небольшой симпатичной работы. На рисунке – фрагменты работы одной из таких программ студента первого курса факультета нелинейных процессов СГУ Сергея Садовникова (2004 г.). Видно, как частица блуждает от столкновения до столкновения и каждый раз произвольно изменяет направление. На первых шагах возникает впечатление, что частица движется в каком-то определённом направлении (фрагмент 1). Скоро становится ясно, что это просто случайные блуждания вокруг исходной точки, установленной в центре поля (фрагмент 2). Со временем захватываемая движением область разрастается в размерах (фрагменты 3 и 4). И так движется каждая частица, сколько бы их ни было. Именно этот сценарий не поддавался описанию более восьмидесяти лет со времени Р.Броуна* (1826). (*Можно сослаться и на Лукреция Кара, где он отмечает пляску пылинок в луче солнца и совершенно верно высказывается о первопричинах явления. Однако подобные обращения к древним грекам или к древним китайцам, которые знали всё, на мой взгляд, банальны – от гипотез до плодотворной теории огромная дистанция.) Только в 1905 г. появилась простая формула, описывающая рост со временем радиуса области, охваченной хаотическим блужданием частицы: (А.Эйнштейн и М.Смолуховский), где D – коэффициент диффузии. Он был введён в 1855 г. в законе диффузии А.Фика, связывающем массу частиц, перемещающихся за промежуток времени через сечение S с перепадом плотности между двумя близкими сечениями, отстоящими друг от друга на х: . Здесь коэффициент диффузии подлежал экспериментальному измерению. Конечно, при описании отличают движение отдельных молекул (атомов) от движения броуновской частицы, которая в сравнении с ними имеет гигантские размеры [1]. Но в конечном счёте формула Эйнштейна–Смолуховского оказалась применимой и к диффузии из-за чрезвычайной простоты своей интерпретации.

Пусть частица делает последовательные шаги r_i одинаковой длины a. Измерим расстояние R между начальной точкой и положением частицы через n шагов. Для среднего квадрата расстояния можно записать:

потому что из-за случайности выбора угла на каждом последующем шаге Иными словами, среднеквадратичное расстояние пропорционально квадратному корню из числа шагов, или, что одно и то же, времени движения:

Если не вдаваться в подробности молекулярно-кинетической теории, коэффициент диффузии для газов определяется довольно простой формулой: Здесь n – концентрация, d² – эффективное сечение взаимодействия молекулы (атома). Пренебрегая нюансами, скажем, что все простые молекулы имеют примерно одинаковый эффективный диаметр d 1–2 , – это характерная особенность микромира, подчиняющегося скорее статистическим законам, чем законам индивидуального поведения, царящим в макромире. В числителе формулы – среднее от модуля скорости хаотического движения молекул С учётом максвелловского распределения молекул по скоростям, её рассчитывают как Если заменить это значение более привычным для школы значением тепловой (среднеквадратичной) скорости то ошибка составит всего около 10% (в сторону увеличения), что при оценках вполне допустимо.

Напомним, что для конкретных вычислений более удобно другое представление этой, последней, формулы, связанное не с массой одиночной молекулы, а с молярной массой: В результате коэффициент диффузии, например, для паров воды в воздухе равен 0,7 ^. 10^–4 м²/с, а для паров спирта в том же воздухе 0,1 ^. 10^–4 м²/с. Строго говоря, следует различать самодиффузию (расплывание в пространстве частиц одного типа) и взаимодиффузию (взаимное распространение частиц одного вещества в другом). Но оценка даёт для обоих коэффициентов значение порядка 10^–4 м²/с.

Это означает, что для распространения запаха, например, спирта (духов, одеколона) на расстояние 4–5 м за счёт только диффузии понадобится время порядка это примерно сутки. Учитывая невероятную чувствительность нашего обоняния, реагирующего на присутствие буквально нескольких молекул, можно уменьшить это время на один-два порядка, но и 1000 с едва укладываются в наш опыт. Кстати, нетрудно прикинуть, что, двигаясь с тепловой скоростью порядка 500 м/с, каждая молекула пробегает за это время около 500 км!

2. Конвекция. Физическая суть явления состоит, как известно, в том, что тёплый воздух имеет меньшую плотность, чем охлаждённый, потому любой местный нагрев вызывает процесс дополнительной циркуляции диффундирующего облака частиц. В комнате, например, более холодными являются наружные стены, углы, окна, вентиляционные решётки и т.п. (см. фото). Скорость конвективного движения можно оценить, решив известную задаче о сигаретном дыме*. (*Сигарета, конечно, вовсе не обязательна, так же ведёт себя дым из печной трубы или из выхлопной трубы автомобиля. Примеры строгого решения задач с использованием дифференциальных уравнений имеются для конкретных симметричных конфигураций в институтских учебниках по теплотехнике.)

• Дым от лежащей сигареты вначале поднимается ровной струйкой, а затем, набрав скорость, начинает клубиться. Оцените значение критической скорости потока, если длина ламинарного следа составляет около 10 см. Примите, что нагретый воздух легче холодного на 20% (см. таблицу зависимости плотности воздуха от температуры). Изменением температуры в процессе движения пренебречь.

Решение

Будем считать, что движение выбранной массы газа происходит с постоянным ускорением а, которое определяется силой Архимеда. Тогда для элементарного объёма газа запишем уравнение движения:

,

где в скобках – разность плотностей горячего и холодного воздуха, V – объём. Отсюда получаем

Теперь оценим значение скорости: 70 см/с. Вот и всё.

3. Так всё же диффузия или конвекция?

Этот пример полезен методикой оценки. В нашем случае перепад плотности меньше, чем в примере с сигаретой. При перепаде температур от 20 °С до 30 °С получаем ускорение a = 0,03g, тогда скорость движения на таком же участке пути оказывается примерно в три раза меньше. По этой новой оценке, чтобы почувствовать запах духов в комнате, нужно около одной минуты – это реально.

Для более точного прогноза скорости конвекции нужны уже многочисленные конкретные данные. Скажем только, что ускорение не может поддерживаться постоянным на большом расстоянии из-за развития неустойчивостей. Поток начинает «клубиться», как дым от сигареты, и далее скорость не растёт. Поскольку скорость конвекции на порядки превышает скорость диффузии, то явление распространения запаха по комнате вполне логично объяснять действием именно конвекции. Диффузия, безусловно, участвует в процессе, но не определяет масштаба скорости. А показать «чистую» диффузию довольно сложно.

В одном из методов предлагают наблюдать за процессом испарения жидкости из частично заполненного капилляра, где конвективные потоки могут быть пренебрежимо малы. Удобно использовать одноразовый шприц, в который вместо иглы вставлен стеклянный капилляр (например, от градусника). Наблюдать за перемещающейся границей раздела жидкости и насыщенного пара удобно в микроскоп с небольшим увеличением. Для демонстрации в аудитории наиболее удобна видеокамера. Измеряя скорость перемещения границы, можно измерить коэффициент диффузии по следующей рабочей формуле: , где h – расстояние от края капилляра, пройденное границей мениска к моменту измерения скорости движения границы _гр.

Приведённую формулу легко получить. Массу жидкости, вылетевшей за малый промежуток времени , можно выразить через скорость перемещения границы жидкости простым соотношением , где – скорость перемещения границы жидкости при испарении. С другой стороны, ту же испарившуюся массу можно оценить по закону Фика: , где _п – плотность паров этой же жидкости.

Приравнивая два выражения для масс, получим уравнение, описывающее элементарное смещение границы жидкости влево (см. рисунок) за счёт диффузионного ухода частиц жидкости вправо:

.

Суммируя за конечное время наблюдения, получаем откуда и следует рабочая формула, приведённая выше. В ней, однако, плотность паров выражена через давление, поскольку иногда в справочниках указывается именно давление насыщенных паров для данной температуры, а не их плотность.

Бабичев А.П. и др. Физические величины: Справочник. Под ред. Григорьева И.С., Мейлихова Е.З. – М.: Энергоатомиздат, 1991.

Жуков А.Г., Горюнов А.Н., Кальфа А.А. Тепловизионные приборы и их применение. – М.: Радио и связь, 1983.

Матвеев А.Н. Молекулярная физика: Уч. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1981.

_______________________________

Работа выполнена по нашему заказу. – Ред.