Основы физико-технического моделирования

Постройка монгольфьера. 10-й класс

– Прекрасно! – сказал Смит. – А каким способом вы предлагаете бежать?

– Да вот воздушный шарик тут без толку болтается, будто нарочно, бездельник, нас поджидает!

Ж.Верн. Таинственный остров

Предлагаемый урок имеет своей основной целью развитие технического творчества учащихся на базе теоретических знаний, полученных при изучении школьного курса. Конструирование действующей модели, сопровождаемое математическим расчётом её параметров, всегда вызывает интерес у школьников. Нужно только побеспокоиться о том, чтобы проект был технически реализуем. С учётом сказанного работа может проводиться по плану типа приведённого в [1].

1. Задание на конструирование (20 мин)

Учитель. Полёт воздушного шара или дирижабля в воздухе напоминает плавание подводной лодки. Если масса всего летательного аппарата, сложенная с массой газа, заполняющего оболочку, меньше массы воздуха в объёме, вытесняемом аппаратом, то шар поднимается вверх; если эти массы равны, шар неподвижно висит в воздухе; если масса аппарата с газом больше массы вытесняемого воздуха, шар опускается. Таким образом, чтобы полёт был возможен, масса самого летательного аппарата без газа должна быть меньше или в крайнем случае равна разности масс лёгкого газа, заполняющего оболочку, и воздуха в том же объёме.

Первые воздушные шары, «монгольфьеры», изобретённые в 1783 г. во Франции братьями Монгольфье, наполнялись горячим воздухом. Газы расширяются при нагревании, поэтому масса нагретого воздуха в шаре меньше массы вытесненного холодного воздуха. Но уменьшение плотности невелико: при нагревании от 0 до 100 °С – всего на 27%. Таким образом, на вес оболочки, корзины, экипажа и полезного груза приходится в монгольфьере всего 27% веса воздуха, вытесняемого оболочкой. Поэтому даже очень большие шары-монгольфьеры имели малую выталкивающую силу [2].

а) Решение количественных задач (вместе с учителем).

• 1 [3, № 506*]. Шар объёмом V = 0,1 м³, сделанный из тонкой бумаги, наполняют горячим воздухом, имеющим температуру T₂ = 340 К. Температура окружающего воздуха T₁ = 290 К. Давление воздуха p внутри шара и атмосферное давление одинаковы и равны 100 кПа. При какой массе m бумажной оболочки шар будет подниматься?

Решение. Согласно сказанному, непременное условие полёта шара m + m₂  m₁, где m₁ – масса окружающего воздуха в объёме шара, m₂ – масса горячего воздуха, заполняющего шар.

Отсюда m  m₁ – m₂.

Считая воздух идеальным газом, запишем:

где М = 0,029 кг/моль – молярная масса воздуха, R = 8,31 Дж/(моль • К) – универсальная газовая постоянная. Тогда

Отсюда

Таким образом, m 0,0177 кг, или m 17,7 г.

• 2 [4, № 2.130]. Объём воздушного шара V = 224 м³, масса оболочки m = 145 кг. Шар наполнен горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении. Какую температуру должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Температура воздуха вне оболочки 0 °С.

Решение. Согласно решению предыдущей задачи,

Отсюда

T₂ = 553 К, или t° = 553 К – 273 К = 280 °С.

• 3 [4, № 2.134]. Сферическая оболочка воздушного шара сделана из материала, поверхностная плотность которого (масса единицы площади)  = 1 кг/м². Шар наполнен гелием при нормальном атмосферном давлении. При каком минимальном радиусе шар поднимет сам себя? Температуры гелия и окружающего воздуха одинаковы и равны 0 °С.

Решение. Согласно решению задачи 1,

где M₁ – молярная масса воздуха, а M₂ – гелия.

Так как а m = 4r², то можно записать: Отсюда

В случае монгольфьера конечная формула выглядит иначе:

Полезно также отметить, что

Из последних трёх формул легко видеть, что при постройке действующей модели монгольфьера какие-либо два параметра из набора (, r, T₂) являются исходными, а третий определяется через них в процессе решения технической задачи, конкретной или обобщённой. Последнее, по-видимому, более целесообразно, т.к. предоставляет учащимся достаточно широкие возможности для самостоятельной творческой деятельности.

б) Постановка обобщённой технической задачи: исследовать лётные характеристики монгольфьера в зависимости от исходных параметров. Провести оптимизацию системы.

2. Разработка эскизного проекта (краткое описание конструкции, изображение наиболее важных узлов и деталей, проведение необходимого минимума математических расчётов). Обсуждение проекта (20 мин)

Прежде всего необходимо сделать выкройку полосы шара [5]: рассчитать шаблон дольки. Определим длину окружности большого круга шара C = 3,14D (D – диаметр шара) и длину шаблона L = 0,5C. Отложим в масштабе длину шаблона на листе, разделим её на число полос шара (например, на 12), проведём соответственно 12 перпендикуляров. Из центра радиусом r = проведём дугу в четверть длины окружности и разделим её с помощью транспортира на 6 равных частей (по 15°). Из полученных на дуге точек 1...6 проведём линии, параллельные оси. Соединим точки пересечения этих линий с перпендикулярами – получилась нижняя половина шаблона. Правый конец выкройки немного расширим – здесь будет отверстие. Аналогично строим верхнюю половину.

Теперь чертим шаблон в натуральную величину, для чего все расстояния измеряем и в масштабе переносим на выкройку. После этого переходим к постройке шара, определив предварительно количество полос по предлагаемой ниже таблице.

3. Изготовление конструкции (долгосрочное, не менее чем на 2 недели, домашнее задание)

Пример. Склеим маленький шар диаметром 1,5 м из двенадцати долек [5]. Для этого делаем шаблон: из плотной (чертёжной) бумаги вырезаем полосу длиной 2400 мм и шириной 400 мм, посередине проводим осевую линию (и т.д., см. выше. – Ред.). Полученные точки соединяем между собой с помощью большого лекала. Работая вдвоём, можно вместо лекала использовать тонкую рейку, изгибая её по шаблону. Вырезаем шаблон по полученному контуру.

Заготовки долек обычно приходится склеивать из отдельных листов бумаги. Если есть бумага разных цветов, то шар можно сделать полосатым или клетчатым. Делаем сначала 12 полос-заготовок: листы бумаги в каждой полосе укладываем «лесенкой», промазываем клеем ПВА все «ступеньки», накладываем намазанные края двух соседних листов и проглаживаем рукой место склейки. Дав подсохнуть клею, накладываем полосы одну на другую так, чтобы места склейки листов бумаги всех полос совпадали друг с другом, сверху накладываем шаблон, крепим всю стопку кнопками по осевой линии к столу или к ровной доске и аккуратно обрезаем ножницами точно по шаблону с одной и с другой стороны.

Чтобы при вырезании листы не расползлись, а заготовки получились одной формы, края стопки сжимаем левой рукой. Лучше вырезать по четыре-шесть полос за один приём. Склеивать полосы можно двумя способами. Первый способ: у всех полос с одной стороны отгибаем кромку шириной не более 10 мм, и неотогнутый край одной прикладываем к отогнутому краю другой. Один ученик мажет клеем неотогнутый край, а другой пригибает к нему отогнутый. Второй способ: намазав край (не шире 10 мм) одной полосы, накладываем на неё край другой. Сначала склеиваем полосы по две, потом по четыре. Если шар склеиваем вторым способом, то, прежде чем сделать последний шов, выворачиваем оболочку, чтобы все швы оказались внутри. Отверстие в верхней части шара заклеиваем бумажным кружком диаметром 100–150 мм.

В нижней части шара образуется отверстие (горловина). В него вклеиваем кольцо из чертёжной бумаги, изготовленное из двух полосок шириной 80–100 мм и длиной 800 мм. Сначала приклеиваем одну полоску на бортик горловины шара изнутри, а затем вторую полоску – снаружи.

Склеенный шар подвешиваем к потолку и просушиваем. Затем через горловину заполняем шар нагретым с помощью электрического фена воздухом (так же наполняем шар и перед запуском). При этом обнаружатся дефекты оболочки – мелкие отверстия, морщины. Отверстия сразу же заклеиваем кусочками бумаги, а морщины разглаживаем.

Можно в горловину шара продеть шпагат и затянуть его после того, как шар наполнят горячим воздухом, чтобы воздух остывал медленнее.

Замечание. Копия этой инструкции (здесь она немного сокращена. – Ред.) ксерокопируется и раздаётся школьникам. Полезно также иметь в кабинете физики стенд с тезисным изложением всей приведённой выше информации. По окончании работы стенд убирают.

4. Испытание конструкции и исследование её параметров (отчёт о выполнении ДЗ)

Шар лучше всего запускать в тихую погоду, т.к. сильный ветер может накренить его и часть нагретого воздуха выйдет раньше времени. Кроме того, сильный ветер может порвать оболочку шара. По этим причинам полётные испытания лучше всего проводить в закрытых помещениях (например, в школьных спортзалах).

Оптимизация конструкции заключается, как правило, в поиске наилучшего соотношения между размерами шара и достижимой в данных конкретных условиях разностью температур с целью получения максимальной грузоподъёмности. По-видимому, возможна оптимизация по стоимости материалов, наилучшей скороподъёмности и т.д. [6, 7]. Математическая дисциплина, изучающая эти вопросы, называется линейным программированием, и ей скорее всего также следует уделить внимание, поскольку совпадение теоретически предсказанных параметров и результатов эксперимента в пределах допустимых погрешностей приносит огромное удовлетворение учащимся.

Литература

1. Методика факультативных занятий по физике: Под ред. О.Ф.Кабарина, В.А.Орлова. – М.: Просвещение, 1988.

2. Элементарный учебник физики. Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. – М.: Шрайк–В.роджер, 1995.

3. Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10–11 кл. – М.: Дрофа, 2002.

4. Баканина Л.П. и др. Сборник задач по физике: Под ред. Козела С.М. – М.: Наука, гл. ред. ФМЛ, 1990.

5. Ермаков А.М. Простейшие авиамодели. – М.: Просвещение, 1989.

6. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука, гл. ред. ФМЛ, 1990.

7. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии: Учебник для 10–11 классов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.