Занимательное взвешивание

Ход урока

1. Подготовительная часть (15 мин)

Оборудование: поварёшка, шумовка, вилка, бутылка с пробкой, в которую воткнуты два гвоздя.

Подготовка. Перед началом урока учитель раскладывает вышеперечисленное оборудование на демонстрационном столе. Учащиеся, входя в класс, как правило, сразу же обращают внимание на эти предметы. Учитель предлагает подумать о том, как можно связать увиденные предметы с изученным ранее материалом и, выслушав версии учеников, демонстрирует им конструкцию необычного прибора, сопровождая его сборку рассказом [3, с. 82–84].

Учитель. Рычаги разных видов встречаются в повседневной жизни на каждом шагу: тачку легче везти, если у неё длинные ручки; гвоздь выдернуть легче, если гвоздодёр длинный; гайку завернуть значительно легче ключом с длинной рукояткой. На почте взвешивают посылки тоже на рычажных весах. Хозяйственные, кухонные весы чаще выпускают пружинными, со стрелкой и циферблатом. Но иногда на кухне можно увидеть и рычажные весы.

Каждый из вас тоже может сделать кухонные рычажные весы. Рычагом, да заодно уже и чашкой этих весов, будет служить поварёшка, подвижной гирей – шумовка, точкой опоры для рычага тут будут зубья вилки. Они лежат на шляпках двух гвоздей, воткнутых в пробку. Другой конец вилки вставлен в крючок поварёшки вместе с кусочком пробки, чтобы не выпадал.

На стене проведите горизонтальную линию. Взвешивая груз, передвигайте шумовку до тех пор, пока поварёшка не установится параллельно этой линии.

На коромысло почтовых и медицинских весов нанесены деления. И на ручку поварёшки их тоже нужно будет нанести. Сперва отметьте положение шумовки на поварёшке без груза. Потом положите в черпак поварёшки груз 0,5 кг и передвигайте шумовку, пока снова не установите равновесие. Отметьте и это положение шумовки. Промежуток между двумя отметками разделите по линейке на пять равных частей и проставьте около делений цифры: 0; 0,1 кг; 0,2 кг и так до 0,5 кг. Весы готовы!

2. Основная часть (25 мин)

Оборудование: ученическая измерительная линейка, гиря известной массы из набора разновесов, тела неизвестной массы, нитки, лабораторные динамометры.

Учитель. Знаете ли вы, что весы можно изготовить из самой обыкновенной линейки с делениями, а для взвешивания понадобится всего одна гиря? Если не знаете, то придумайте, как это сделать*. (* Вопрос 19. 50 из [5, c. 209].)

(Учащиеся, используя вышеперечисленное оборудование, приступают к выполнению задания. В процессе работы учитель направляет, координирует и контролирует их деятельность. Собрав нужную конструкцию, учащиеся определяют с её помощью массы различных тел, составляя и заполняя отчётные таблицы типа № 3 [2, с. 161–163] и № 9 [2, с. 169, 170]. Правильность измерений оценивается сравнением полученных результатов с показаниями пружинных весов (безменов) изготовленных на основе школьных лабораторных динамометров.)

Решение [4, c. 224, 19.51, рис. 156]. Если прикрепить гирю к одному концу линейки, а взвешиваемый груз к другому и уравновесить эту систему, правильно подобрав на линейке точку опоры, то отношение х : у расстояний по линейке от опоры до гири и до груза будет равно отношению весов (масс, поскольку P = mg) груза и гири соответственно. Кстати, можно проградуировать линейку, написав возле нескольких возможных положений опоры заранее подсчитанные соответствующие веса груза.

К о м м е н т а р и й. Полезно отметить, что именно такой вариант решения аналогичной задачи приводит Архимед в своём трактате «О равновесии плоских фигур, или О центрах тяжести плоских фигур» [5, c. 23]: «Тяжести, уравновешивающиеся на равных длинах, будут тоже равны… Неравные тяжести будут уравновешиваться на неравных длинах, причём большая тяжесть на меньшей длине». Математически это условие записывается следующим образом: d₁/d₂ = m₁/m₂, или m₁d₁ = m₂d₂ [6, c. 74].

3. Заключительная часть (5 мин)

Учитель делает итоговые замечания по уроку, оценивает деятельность учащихся и даёт домашнее задание – решить как можно больше задач из списка.

1. Одной гирей [4, c. 208, 19. 44]. Нужно взвесить на чашечных весах 13 кг сахарного песка при наличии всего лишь одной килограммовой гири. Конечно, тринадцати взвешиваний для этого вполне достаточно. Нельзя ли, однако, обойтись существенно меньшим их числом?

2.иОптимальный набор гирь [4, c. 208, 19. 45]. Каким наименьшим числом и какими именно гирями нужно запастись, чтобы с их помощью можно было отвесить любую массу, выражающуюся в целом числе килограммов от 1 до 13, при условии, что гири разрешается класть:

а) только на одну чашку весов;

б) на обе чашки весов?

3. На грубых весах [4, c. 208, 19. 46]. Положите 10-копеечную монету на обычные весы со стрелкой (которые имеются практически в любом магазине) и попробуйте таким образом определить вес монеты. Вряд ли вам удастся это сделать, поскольку стрелка весов отклонится слишком незначительно. Как же всё-таки взвесить монету на таких весах?

4. Расставить по порядку [4, c. 208, 19. 47]. Вы хотите расположить несколько данных предметов в порядке возрастания их веса. Для этого вы можете выбирать любые два предмета и сравнивать их друг с другом, нагружая разные чашки весов (без стрелок и гирь). Конечно, можно было бы сравнить каждый предмет с каждым, но при этом, по всей видимости, была бы проделана лишняя работа. Какое наименьшее число сравнений является заведомо достаточным, если количество предметов равно: а) 3; б) 4; в) 5?

5. На неправильных весах [4, c. 208, 19. 50]. Вы хотите взвесить 2 кг сахара на неравноплечих чашечных весах с помощью одной килограммовой гири. Подумайте: больше или меньше 2 кг сахара вы получите, если взвесите 1 кг на одной чашке весов и ещё 1 кг – на другой? Можно ли на таких весах взвесить ровно 2 кг?

6. Наименьшим числом [4, c. 65, 6. 14]. У продавца имеются 100-граммовые гирьки и консервные банки массой по 450 г. Как с их помощью взвесить на чашечных весах 2,5 кг сахарного песка за один раз, используя для взвешивания наименьшее количество гирек и банок в общей сложности?

Ответы и указания к решению [4, c. 223, 224].

1. Достаточно четырёх взвешиваний. Сначала взвешиваем 1 кг песка, затем ещё 2 кг (положив на одну чашку весов уже взвешенный песок и гирю), затем ещё 3 кг (сложив на одной чашке 1 + 2 = 3 кг взвешенного песка) и, наконец, ещё 7 кг (сложив на одной чашке весь песок и гирю). Меньшим числом взвешиваний обойтись нельзя, т.к. за три взвешивания можно набрать максимум 1 + 2 + 4 = 7 кг.

2. Если гири можно класть только на одну чашку весов, то необходимо иметь как минимум четыре гири. Годится, например, набор гирь 1, 2, 4, 8 кг. Если же разрешить класть гири на обе чашки, то необходимо иметь три гири. Так, комбинацией из трёх гирь 1, 3 и 9 кг можно уравновесить любую массу от 1 до 13 кг.

3. Чтобы взвесить мелкий предмет на грубых весах, нужно увеличить массу этого предмета в достаточное число раз. В нашем случае можно взвесить, скажем, 100 монет, затем полученный вес поделить на 100. Полезно знать, однако, что масса 10-копеечной монеты равна 1 г.

4. а) Три предмета можно упорядочить тремя сравнениями: каждый предмет сравнить с каждым.

б) Для четырёх предметов достаточно пяти сравнений: тремя сравнениями упорядочиваются некоторые три предмета, а затем со средним из них сравнивается четвёртый предмет, который в зависимости от результата сравнивается, наконец, с одним из двух оставшихся предметов тройки.

в) Пять предметов можно упорядочить семью сравнениями: сначала упорядочим предметы в некоторых двух парах и сравним два более тяжёлых предмета по одному из каждой пары, в образовавшуюся при этом тройку вставим пятый предмет, а затем и более лёгкий предмет оставшейся пары. На всё это уйдёт не более семи сравнений. Шести сравнений будет, вообще говоря, недостаточно.

5. Когда весы находятся в равновесии, отношение весов (масс) грузов, лежащих на чашках, есть фиксированная (обратная отношению плеч) величина а. Поэтому если взвесить по 1 кг сахара на каждой чашке весов, то на самом деле будет получено а + 1/а кг, что при а 1 будет больше 2 кг. Чтобы взвесить ровно 2 кг сахара, достаточно весы с килограммовой гирей на одной чашке уравновесить любым грузом (например, тем же песком), а затем снять гирю и уравновесить весы с сахаром. Мы получим ровно 1 кг сахара и, аналогично, ещё 1 кг.

6. [4, 6. 14, c. 72]. Так как гирьки и банки можно класть на любую чашку весов, то числа х и у (гирек и банок соответственно) удовлетворяют уравнению 100х + 450у = 2500 в целых числах (отрицательное значение какой-либо неизвестной означает, что соответствующие предметы лежат на одной чашке с сахарным песком). Приведём уравнение к виду 2х + 9у = 50 и заметим, что числа у₀ = 0, х₀ = 25 дают частное решение. Поэтому общее решение имеет вид (см. задачу 6.8 [4, с. 64, 68]) х = 25 + 9k; у = –2k.

Докажем, что наименьшее количество гирек и банок, требуемое для взвешивания, равно 8. Действительно, если гирьки и банки лежат на одной чашке весов, то х 0, у 0 и –3 < –25/9 k 0, причём наименьшая сумма х + у = = 25 + 7k = 11 достигается при k = –2.

Если гирьки лежат на одной чашке весов, а банки и сахар на другой, то х 0, у 0 и k 0, причём наименьшая сумма х + (–у) = 25 + 11k = 25 достигается при k = 0.

Если же банки лежат на одной чашке весов, а гирьки и сахар на другой, то х 0, у 0 и k –25/9 < –2, причём наименьшая сумма (–х) + у = –25 –11k = 8 достигается при k = –3.

Таким образом, продавец должен на одну чашку весов положить 6 банок, а на другую – 2 гирьки и взвешиваемый сахар. Весы уравновесятся, если масса сахара будет 2,5 кг.

(Задача, как правило, вызывает затруднения и требует консультаций учителя математики.)

Литература

1. Сборник нормативных документов. Физика: Сост. Э.Д.Днепров, А.Г.Аркадьев. – М.: Дрофа, 2004.

2. Пёрышкин А.В. Физика-7. – М.: Дрофа, 2002.

3. Мир физики. Занимательные рассказы о законах физики: Сост. Ю.И.Смирнов. – СПб.: ИКФ «МиМ–Экспресс», 1995.

4. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. – М.: Наука, Гл. ред. ФМЛ, 1990.

5. Голин Г.М., Филонович С.Р. Классики физической науки (с древнейших времен до начала ХХ в.): Справ. пособие. – М.: Высшая школа, 1989.

6. Лейзер Д. Создавая картину Вселенной: Пер. с англ.: Под ред. и с предисл. Л.П.Грицука. – М.: Мир, 1988.

__________________________________

Урок проводится в части «Механические явления: условия равновесия тел» [1, с. 15] после изучения темы «Простые механизмы. Рычаг. Равновесие сил на рычаге. Момент силы. Рычаги в технике, быту и природе» [2, с. 136–145].