Не всё так просто, как кажется на первый взгляд

3. АВТОКОЛЕБАНИЯ

У меня об этом во-о-от такая книга написана, а вы просите в двух словах.

Известный ответ известного учёного неизвестному журналисту.

• Почему жестяной знак, подвешенный на шлагбауме за верхний край, качается, хотя ветер ровный? Почему звучит струна, когда по ней проводят смычком в одном направлении и с постоянным усилием?

Не самые простые вопросы, их разрешение откладывалось до 20-х гг. XX в., а решали их такие титаны, как О.Рейнольдс, В.Струхаль, А.Бенар, Т.Карман и др.). Это тема целого спецкурса.

Примеров подобного поведения множество. В недавно опубликованной статье [1] «Генератор пузырьков» В.Миряхи (11-й класс) сделаны численные оценки и описана качественная теория процесса, в котором вода, выливаясь под действием постоянной силы тяжести, порождает периодическое движение пузырьков в системе из двух бутылок, соединённых через трубку. Постоянной силой натягиваются гирьки в маятниковых настенных часах, поддерживая колебания однажды запущенного маятника. Так называемый фрикционный маятник Фроуда приводится в колебательное движение равномерно вращающимся валом, на котором и подвешен этот маятник [2]*. В длинном списке перечислений остановим внимание на примерах, хорошо и подробно исследованных в научной литературе времён становления теории колебаний. Это колебания язычка гармони (баяна, аккордеона) под действием постоянной разности давлений [3], колебания струны скрипки, виолончели под действием равномерного движения смычка [4]. Далее следуют эффект галопирования линий электропередачи (колебания проводов под действием постоянно дующего ветра) и флаттер крыла самолёта (все примеры доступно описываются в [4] ). В чём же здесь дело?

Примеры автоколебательных систем: подвешенная пластинка (1), язычок гармони (2), крылья самолёта (3)

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний прежде всего тем, что они возбуждаются в основном постоянно действующим источником, а вынужденные колебания – источником периодического действия. При вынужденных колебаниях на первом плане – механизм резонанса собственной частоты с частотой источника, а также механизм подтягивания этих частот при их близости. В автоколебаниях упомянутого выше гидромеханического типа эти механизмы вторичны. Здесь на первый план выходят нелинейность действующей силы, образование пульсирующих вихрей (дорожка Кармана) и нелинейный механизм затухания. Доля участия каждого из механизмов зависит от конкретной конструкции, от значений параметров системы (геометрия, характерный размер, масса, жёсткость возвращающей силы). Конечно, важно и то, что автоколебания возникают в системе, которая имеет собственную частоту колебаний вокруг некоторого устойчивого положения, т.е. при выведении из этого положения в системе возникают возвращающие силы. Всё это мы обнаруживаем в анализируемом примере с подвешенным «знаком» (листом, диском). Выведя из равновесия этот «знак», мы можем наблюдать его собственные колебания. Эти колебания, конечно, имеют некий собственный механизм затухания, но главный вопрос состоит в том, каким образом они могут возникнуть в такой системе. Очевидно, что именно сила давления ветра отводит данный маятник из положения равновесия. И можно было бы думать, что совместное действие постоянной силы тяжести и силы ветра установит новое положение равновесия – пластинка «зависнет» в этом новом отклонённом положении. И такое непременно случается. Но не только – в действие вступает нелинейность силы сопротивления воздуха, которая зависит не от скорости ветра, но от скорости относительного движения пластинки и ветра . Закон этой силы нелинейный: Здесь C(Re) – коэффициент формы, зависящий от безразмерного числа Рейнольдса по закону, представленному на качественном рисунке внизу, – плотность среды, – относительная скорость потока, L – линейный размер пластинки, – динамическая вязкость среды, S – площадь поперечного сечения пластинки [5].

В результате зависимость силы давления от скорости имеет почти линейный падающий характер при малом значении этой скорости и приобретает более сложный вид при её нарастании (кстати, качественно зависимость похожа на поведение силы трения при движении смычка по струне). Когда движение пластинки только начинается, эта скорость велика и сила давления мала (это подтверждается и законом Бернулли). Затем пластинка разгоняется – относительная скорость уменьшается, сила давления увеличивается, но теперь, при значительном отклонении, становится значительной и возвращающая сила – горизонтальная составляющая силы тяжести пластинки. В результате скорость пластинки начинает падать, и вскоре начинается обратное движение, вниз. При умеренном ветре форма колебаний относительно установившегося положения равновесия простая, близкая к синусоидальной, но при большой скорости ветра колебания становятся сложными и могут даже сорваться вовсе, если значение скорости ветра придётся на излом графика зависимости силы от относительной скорости, – пластинка зависнет без колебаний. Например, именно на такой режим рассчитана пластинка в метеорологическом приборе для измерения силы ветра. А вот листья осины, косо подвешенные на тонком черенке, имеют слабую возвращающую силу и, наоборот, дрожат при любой сколь угодно малой скорости ветра, пока не оторвутся. Характерно, что, с одной стороны, поток приводит в движение подвешенное тело, а с другой, колебания этого тела управляют потоком. Можно отметить, что в любом автогенераторе имеются следующие составные элементы [2]: источник энергии (в нашем случае – поток воздуха), колебательная система (подвешенное тело) и механизм обратной связи – воздействия колебательной системы на источник (нелинейный характер силы).

Вот в самых общих чертах и всё, но даже такая упрощённая картина явления имеет продолжение. Обратим внимание на воздух, который уже обогнул пластину – сверху и снизу. Обе струи смешиваются за пластиной, и давление в этой области определяется скоростью получившегося течения. А поскольку пластина движется, то это давление начинает пульсировать, и частота определяется соотношением Струхаля [6]. Здесь – скорость потока, L – характерный размер тела, а коэффициент пропорциональности определяется формой тела. При этом в воздухе за пластиной тянется дорожка вихрей Кармана. Ясно, что в нашем примере такие пульсации могли бы резонансно поддерживать колебания (и даже самовращение) пластины тем заметнее, чем ближе окажется частота пульсаций к значению собственной частоты колебаний пластины Правда, простая оценка показывает, что в нашем случае этот эффект незначителен – частоты сильно отличаются друг от друга**. А вот действительно важным данный механизм становится, например, при колебании пластины-трости в полости кларнета, органа. Этот же механизм создаёт шум в лесу и раскачивает провода, особенно если их форма стала несимметричной из-за осевшей наледи. При этом сами колебания тела уже почти не играют роли, достаточно просто того, что оно несимметрично обтекается воздухом. Для крыла самолёта с изначально несимметричным профилем колебания срывающегося потока могут стать просто вредными, поскольку крыло начинает раскачиваться в разных направлениях (флаттер).

Вот теперь почти всё. Почти, потому что в стороне остались подробности энергетики автоколебаний. Они могут затухать, поглощая энергию потока, – тогда для поддержания необходим постоянный ветер. Но при определённых условиях (правильная фаза включения механизма обратной связи) поток может усиливать колебания, и они будут некоторое время продолжаться и после прекращения потока. Для более полного описания картины нужно бы перевести сказанное на язык математики, записать уравнения и проанализировать результаты решения в графиках и диаграммах. Однако и без того рассказ о колебаниях дорожного знака на простом шлагбауме затянулся. Мы обрисовали картину явления с достаточной полнотой.

Среди известных Соросовских задач есть и задача на колебания. Приведём её текст без решения. С одной стороны, для решения требуется почти страница, с другой – основные выкладки есть в Соросовском сборнике 4-й олимпиады и в «Соросовском журнале» за 1997 г. Ценность задачи в том, что в ней акцентируется внимание на механизме передачи энергии в колебаниях данного типа, хотя автоколебаний здесь практически нет.

• Куб с ребром 10 см и массой 1 кг подвешен на пружине жёсткостью 400 Н/м. Снизу на куб направляется поток маленьких упругих шариков, скорость которых равна 20 м/с на высоте нижней грани. Найдите период колебаний и оцените время, в течение которого колебания затухнут на 10%. Масса одного шарика 1 г, а их концентрация
  1000 шт/м³.

Литература

1. Физика («ПС»), № 18/05.

2. Магнус Курт. Колебания. – М.: Мир, 1982.

3. Харкевич А.А. Автоколебания. – М.: ГТТЛ, 1954.

4. Ден-Гартог Дж.П. Теория колебаний. – М.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1942.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – М.: Наука, 1986.

6. Гемфрис В. Физика воздуха. – М.–Л.: ОНТИ, 1936.

_________________________

* Я привожу ссылки на довольно старые и очень интересные книги. Наверное, можно найти более современные, но чаще авторы упоминают об известных явлениях вскользь, подчас даже не зная истории вопроса, – для них важнее уровень обобщения для построения всеобъемлющей теории. Я по возможности люблю обращаться к ранним источникам. Здесь эта возможность есть, а внутри этих книг тоже есть ссылки… Рекомендую.

**Для оценки можно принять характерный размер около 0,5 м, скорость ветра 10 м/с.