ПРИЁМЫ И МЕТОДЫ

В.Л.ЭКЕЛЕКЯН,
школа № 765, г. Москва
hekevar@hotmail.com

Относительность движения

Методика решения задач. 10-й кл. Профильный уровень

В работе представлен ряд методических рекомендаций по совокупности двух основных предметов, изучаемых в старших классах общеобразовательной школы: по физике (механика, 9-й класс) и по математике (тригонометрические преобразования, 9-й класс; математический анализ и изучение поведения функций, 10–11-й классы; метод декартовых координат, 10-й класс). Нетрудно добавить к ним и информатику (алгоритмизация конкретных физических и реальных математических задач с применением элементов программирования). Желающие могут обратиться за консультацией по составлению программ непосредственно к автору.

1. Принципы относительности

В 9-м классе тему «Относительность движения» обычно проходят в разделе «Кинематика» после изучения темы «Равномерное прямолинейное движение» и перед темой «Равнопеременное прямолинейное движение». В среднем на неё, как правило, отводится один, редко – два часа. Однако тема эта узловая, т.к. в дальнейшем на её основе рассматриваются случаи больших скоростей, релятивистская механика и теория относительности Эйнштейна, смещающая теорию относительности Галилея. С другой стороны, на приёмных экзаменах в вузы предлагается много задач по кинематике, которые решаются только с применением теории относительности.

Суть вопроса заключается в следующем: пусть материальные точки 1 и 2 движутся прямолинейно со скоростями ₁ и ₂ в неподвижной системе отсчёта K. Интерес представляет изучение движения точки 2 с точки зрения наблюдателя, покоящегося в жёстко связанной с точкой 1 системе отсчёта K_от. В таком случае говорят об относительном движении тела 2 в системе отсчёта K_от и о его относительной скорости ₂₁ в системе отсчёта K_от, которая определяется соотношением [1–3]:

₂₁ = ₂ – ₁          (1)

или, в декартовых координатах:

_x21 = _x2 – _x1;

_y21 = _y2 – _y1;

_z21 = _z2 – _z1.                  (2)

Зависимости координат от времени в системе K_от для равномерного прямолинейного движения запишутся, как обычно:

x = x₀ + _x21t;

y = y₀ + _y21t;

z = z₀ + _z21t,                      (3)

где t – текущее время, x₀, y₀ и z₀ – декартовы координаты начального положения (при t = 0) материальной точки в системе отсчёта K_от.

2. Задача об обгоне (№ 38 (37) [4])

• Легковой автомобиль движется со скоростью 20 м/с за грузовым, скорость которого 16,5 м/с. В момент начала обгона водитель легкового автомобиля увидел встречный международный автобус, движущийся со скоростью 25 м/с. При каком наименьшем расстоянии до автобуса можно начинать обгон, если в начале обгона легковая машина была в 15 м от грузовой, а к концу обгона она должна быть впереди на 20 м?

Решение. Задача решается на основе принципа относительности Галилея. Решим её в два приёма, рассматривая движение легкового автомобиля: 1) в системе отсчёта «грузовик», причём движение автобуса рассматривать не будем совсем; 2) в системе отсчёта «автобус», а движение грузовика рассматривать не будем.

1. Для определённости за положительное направление примем направление движения легкового автомобиля и грузовика. Тогда в системе «грузовик» легковая машина будет двигаться относительно грузовика со скоростью _лг = _л – _г. С этой скоростью ей придётся проехать расстояние s до грузовика и расстояние l (которое из соображений безопасности оговаривается правилами дорожного движения [5]), чтобы оказаться перед грузовиком. На прохождение расстояния s + l потребуется время

.         (4)

2. Рассмотрим движение легкового автомобиля в относительной системе отсчёта «автобус». В ней скорость легковой машины относительно автобуса _ла =|_л – _а| = _л + _а. Пусть первоначальное расстояние между легковым автомобилем и автобусом L. Его автомобиль пройдёт за время:

         (5)

3. Обгон считается безопасным, если легковой автомобиль в конце обгона окажется на 20 м впереди грузовика, не доехав при этом до автобуса:

         (6)

Рассчитаем минимальное расстояние между легковым автомобилем и автобусом, когда ещё можно начать обгон:

Проанализируем формулу (6). Очевидно, что обгон возможен, если легковой автомобиль движется быстрее грузовика: _л > _гр, иначе расстояние l получается отрицательным. Также бессмыслен обгон при равных скоростях: _л = _гр. Итак, поставленная задача решена в рамках теории относительности, законов равномерного прямолинейного движения и, наконец, с рассмотрением принципа независимости движений. Расчёт по формуле (6) можно осуществить на алгоритмическом языке «Бейсик».

3. Задача о преследовании [6, 7]

• Прямолинейные автомобильные дороги пересекаются под углом = 60°. В начальный момент времени автомобиль А находится на расстоянии s = 600 м от перекрёстка и движется с постоянной скоростью ₁ = 90 км/ч, а автомобиль В, двигаясь вдоль второго шоссе со скоростью ₂ = 54 км/ч, находится на перекрёстке. Определите минимальное расстояние L, на которое сблизятся автомобили, и время t, когда это произойдёт.

Решение. Выберем декартову систему координат с началом отсчёта в исходном положении автомобиля – точке А₁ – и осью x, направленной по его движению. В этой системе отсчёта, согласно принципу относительности Галилея, автомобиль А будет покоиться, а автомобиль В – двигаться с относительной скоростью ₂₁, проекции которой равны:

_x21 = –_x1 + _x2 = –₁ – ₂cos; _y21 = _y2 = ₂sin.

Определим направление движения автомобиля В по отношению к автомобилю А, введя угол :

Кратчайшее расстояние между автомобилями в системе отсчёта «А» равно длине перпендикуляра, опущенного из точки А₁ на прямую В₁В₂:

l = s sin =          (7)

где относительная скорость ₂₁ равна:

         (8)

При частных значениях , равных 0°, 90° и 180°, соотношение (7) выглядит соответственно:

L = 0 ( = 0° – лобовое столкновение);

L = ( = 90° – движение под прямым углом);

L = 0 ( = 180° – преследование вдоль прямой), a при любом значении из-за очевидного неравенства имеет место соотношение l s.

Время до минимального сближения совпадает со временем прохождения автомобилем В расстояния
l = Lctg = scos с относительной скоростью ₂₁. Следовательно, требуемое время t равно

        (9)

Теперь можно произвести и численные расчёты (их можно произвести на «Бейсике»):

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. – М.: Наука, 1973.

2. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. – М.: Издательство Московского университета, 1978.

3. Голдстейн Г. Классическая механика. – М.: Гостехиздат, 1975.

4. Рымкевич А.П. Сборник задач по физике: 9–11 кл.: 14-е изд. – М.: Просвещение, 1992.

5. Соловьёв А., Карелин Р. Правила дорожного движения с комментариями в иллюстрациях. – Алма-Ата: Издательство ЦК компартии Казахстана, 1987.

6. Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике. – М.: Наука, 1977.

7. Павленко Ю.Г. Начала физики. – М.: Издательство Московского университета, 1988.