Ломоносовский турнир – традиционный ежегодный турнир по разным предметам для всех желающих школьников. Традиционно он проводится в последнее воскресенье перед первой субботой октября (в 2004 г. – в воскресенье 26 сентября). Он не похож на соревнование или олимпиаду, жюри не определяет самых лучших участников. Грамотами «за успешное выступление на конкурсе по... (предмету)» награждаются все школьники, написавшие хорошие работы (они традиционно отмечаются буквой «V»). Например, на почтовых открытках, которые посылаются почти всем участникам с результатами по каждому заданию каждого конкурса, в котором этот школьник участвовал, ставится эта буква (ведь предметов может быть много, до девяти: математические игры, математика, физика, химия, история, биология, лингвистика, астрономия и науки о Земле, литература, – а места на открытке мало).
(Турнир состоялся 28 сентября 2003 г. Печатается в сокращении по сайту http://www.mccme.ru/olympiads/turlom. Материалы турнира 2002 г. по физике и астрономии см. в № 18, 37/04. – Ред.)
Весь турнир обычно длится 5 ч. Сколько предметов выбрать, сколько времени потратить на каждый из них и в какой последовательности – каждый участник решает сам (конкурсы проходят в разных аудиториях и всегда можно перейти из одной аудитории в другую).
Ещё одна традиция турнира – буква «e». Она ставится вместо «v» за «промежуточные» результаты по предметам, когда в работе достигнуты определённые успехи, но грамоту за это участник не получил. Если у одного участника окажется две (или больше) букв «e», его работа на разных конкурсах будет отмечена грамотой «за успешное выступление по многоборью». Но ещё раз отметим, что на турнире главное – не борьба, а то, что участники турнира узнают и чему научатся на самом турнире (решая предложенные задания самостоятельно), на кружках и в школах, куда их пригласят (всем школьникам, пришедшим на турнир в Москве, выдаётся листок с расписанием олимпиад и кружков на учебный год).
Сборник с задачами олимпиады получился достаточно объёмным и разнородным (что неудивительно – хочется, чтобы все читатели, независимо от класса и интересов, смогли здесь прочитать что-нибудь интересное, познавательное и понятное). По традиции, его дарят всем участникам ближайшего московского математического праздника для 6–7-х классов (который в 2005 г. состоится 15 февраля), а также победителям следующего Ломоносовского турнира. Участникам олимпиад (а также их родителям) адресована представленная в оргкомитет информация о московских школах и классах с углублённым изучением предметов.
Из материалов конкурса по физике вы узнаете много интересного. Например, как собрать удобную схему для включения и выключения лампочки из двух разных мест. Оказывается, кроме двух переключателей и проводов (и конечно, самой лампочки и источника электрического тока), для этого больше ничего не нужно (задача 4).
Задача 7 посвящена замечательному эксперименту Феддерсена по исследованию электрических искр. Конечно, современные экспериментаторы всё сделали бы совсем по-другому (может быть, поэтому эксперимент и его автор в наше время не очень известны). Но в середине XIX в. Вильгельм Феддерсен, очень грамотно применив известные факты и использовав технические возможности своего времени, скорее всего даже не подозревая, позволил своим последователям сделать десятки новых открытий и создать много полезных технологий (среди которых исторически первой, но далеко не единственной, стала радиосвязь).
Наиболее интересный вопрос конкурса по астрономии и наукам о Земле — о загадке разливов великой реки Нил. Возникшая благодаря такому поведению реки цивилизация несколько тысячелетий пыталась эту загадку разгадать, заодно создав существенную часть современной астрономии. Загадка была разгадана только в 1889 г., после чего от неё достаточно быстро остались одни воспоминания: старая Асуанская плотина (тогда самая большая в мире) была построена в 1912 г., а затем ещё одна – в 1971 г. Теперь Нил спокойно течёт по своей долине, больше не тая никаких загадок, неожиданностей и неприятностей.
Статистические и прочие формальные сведения о конкурсах по разным предметам скорее всего окажутся не очень интересны школьникам. Эта информация адресована тем, кто захочет самостоятельно организовать или провести турнир (не обязательно точно такой же), ведь в любом деле полезно заранее приблизительно понять, что, как и где может получиться, с какими проблемами можно столкнуться и с какими уже столкнулись предшественники. Для тех же целей приводится краткая статистика по турниру целиком. Количество участников: Москва – 5028, Харьков – около 1900, Оренбург – 1330, Самара – 1118, Санкт-Петербург – 137, Курск – 15, Переславль-Залесский – 10 (всего примерно 9540). 21 433 работы по разным предметам (из всех городов, кроме Харькова) были проверены московским жюри турнира; организаторы турнира в Харькове (ФМЛ № 27) проверили работы и подвели итоги турнира на месте.
За прошедшие 26 лет своей истории турнир стал уже настолько большим, что мы не можем персонально поблагодарить всех, кто помог его организовать и провести – учителей, студентов, родителей, учёных, администраторов, технических работников и многих других, – всех, кто хорошо, добросовестно и зачастую добровольно и бесплатно выполнил свою работу. Поэтому мелким шрифтом перечислим только организации, которые непосредственно провели мероприятие у себя, – это московские школы, гимназии и лицеи (№ 91, 444, 520, 853, 905, 1018, 1299, 1567, 1580, 1678, 2007), МГУ, МАИ, МГТУ СТАНКИН, МГИЭМ, Переславский государственный университет, ФМЛ № 27 г. Харькова, школа № 6 г. Курска, классическая гимназия № 610 г. Санкт-Петербурга, СГУ (г. Самара), Оренбургский ГПУ. Оказали существенную помощь и поддержку непосредственным организаторам Ломоносовского турнира Московская городская дума, Департамент образования г. Москвы, РАН, МИОО, Оргкомитет международного математического турнира городов, Московский центр непрерывного математического образования, Независимый московский университет, РГГУ, МГТУ, компьютерный супермаркет «НИКС».
Отдельно хотелось бы поблагодарить московских (и не только) школьников – участников традиционной зимней школы, проходившей с 3 по 9 января 2004 г. в подмосковном наукограде Пущине. Ребята проделали большую работу по редактированию текста настоящей книжки, как всегда замечая многие ошибки, опечатки и несуразности, «незаметные» для взрослых.
В заключение хочу отметить огромную работу большого коллектива организаторов турнира – учителей, студентов, профессиональных учёных, – которые смогли объединить свои усилия, преодолевая трудности, связанные с различием традиций в различных науках. Всех перечислить невозможно. Особо хочу отметить огромную, фантастическую по объёму и затраченной энергии организационную работу Алексея Кирилловича Кулыгина. Он и составил отчёт, который вы держите в руках.
Моя же роль как председателя ограничилась помощью в некоторых конкретных делах.
В скобках после номера задачи указаны классы, которым эта задача рекомендуется. Ученикам 7-го класса и младше достаточно решить одну «свою» задачу, ученикам 8-го класса и старше – две «свои» задачи. Но можно решать и остальные.
1.
(6–7) Строитель поднимает груз с помощью верёвки и
двух одинаковых блоков. Какой блок (1 или 2)
при этом крутится быстрее? (Блок — это колёсико с
канавкой для верёвки.)
Ответ. Ко времени, когда строитель поднимет груз до самого верха, через блок 2 перемотается участок верёвки, показанный на рисунке точками, за это же время через блок 1 перемотается только часть этого участка (та, что показана линией со штрихами). Поэтому блок 2 должен крутиться быстрее.
2. (6–8) Стенки промышленных дымовых труб обычно специально делают так, чтобы они плохо проводили тепло. Зачем? Всё равно всё тепло вместе с дымом «вылетит в трубу»!
Ответ. Дым
обычно бывает достаточно горячим (температура
явно больше 100 °C, может оказаться и больше 300
°C). Понятно, что без хорошей теплоизоляции в
зимнее время часть поверхности трубы будет иметь
положительную температуру. В местах с нулевой
температурой (которые в таких случаях интенсивно
перемещаются по поверхности в зависимости от
температуры на улице, скорости ветра,
температуры дыма в трубе, интенсивности его
выброса и множества других причин) будут расти
сосульки. На поверхности с положительной
температурой, разумеется, налипает снег. От
сосулек и наледей никакой пользы нет, зато они
создают дополнительную нагрузку на несущие
конструкции трубы, при падении могут повредить
оборудование и нанести травмы обслуживающему
персоналу, делают практически невозможным
восхождение на трубу в случае необходимости
ремонта.
Вторая причина – создание «тяги». (Технологические процессы, в которых удаление продуктов горения осуществляется не за счёт тяги, а за счёт избыточного (по сравнению с атмосферным) давления продуктов сгорания, тоже существуют, но они существенно более сложные, опасные, и, как правило, менее экономичные.) Давление в трубе не может сильно отличаться от атмосферного (труба сообщается с атмосферой). Поэтому, чем выше температура в трубе, тем меньше там концентрация молекул газов (p = nkT) и соответственно меньше плотность. Если плотность газов в трубе оказывается меньше плотности атмосферы, содержимое трубы начинает «всплывать» («взлетать»).
Теперь разберём всё более подробно. Формула p = nkT, разумеется, верна. Точнее, она описывает модель идеального газа. Однако в трубе значительно большие проблемы создаёт не отклонение свойств газообразной составляющей дыма от свойств идеального газа, а наличие твёрдых частиц (сажа, копоть и т.п.), – их плотность (сколько бы их ни нагревать) всё равно не станет меньше плотности атмосферы. Для удаления таких частиц из трубы в потоке газообразной составляющей дыма плотность этой газообразной составляющей нужно уменьшить не до величины, определяемой формулой p = nkT, а с большим запасом, чтобы возникла хорошая «тяга».
Отметим, что для большинства промышленных процессов важна не только их принципиальная осуществимость, но также стабильность и предсказуемость. Поэтому просто понижения средней плотности дыма по сравнению с плотностью атмосферы всё равно недостаточно. Если дым будет выходить из трубы не очень устойчиво, то и дело по случайным причинам «проваливаясь» обратно, это, как минимум, нежелательно, а если серьёзнее – может привести к авариям. В качестве таких внешних случайных причин можно назвать почти любое изменение погоды (кроме изменения температуры и скорости ветра, которые мы уже называли, это, например, дождь, – на нагревание и испарение дождевой воды на внешней поверхности трубы потребуется много энергии, что приведёт к охлаждению дыма).
Наконец, если в сильный мороз температура дыма в какой-то части трубы (или рядом с концом трубы) окажется ниже 100 °C, это приведёт к образованию капелек воды, что тоже нежелательно (у капелек больше плотность, чем у водяных паров, они будут оседать как на внутренних, так и на внешних стенках, способствуя соответственно отложению сажи и росту сосулек), а также к плохо прогнозируемым эффектам, связанным с выделением тепла при конденсации воды (образовании капелек) и затратами тепловой энергии на их испарение.
Также регулярные изменения температуры (а, как мы убедились выше, поддерживать постоянной температуру трубы и вообще большого сооружения, находящегося на открытом воздухе, практически нереально) будут приводить к постоянным растяжениям-сжатиям элементов конструкции трубы и их износу. Ещё сильнее этот эффект будет проявляться под действием воды (дождя), регулярно попадающей в трещины и затем испаряющейся (и тем более расширяющей трещины при замерзании в зимнее время).
У труб, стенки которых обладают хорошей теплопроводностью, преимуществ вроде бы нет (разве только экономические, связанные с затратами на теплоизолирующие материалы и конструкции, – эти затраты должны разумно сопоставляться с последующими неприятностями за время службы трубы).
3. (6–11) На столе стоят две большие пластиковые бутылки с газированной водой: одна – самая обычная (купили в магазине и больше с ней ничего не делали), другая бутылка хранилась в холодильнике, и часть воды в ней превратилась в лёд. Когда открыли первую бутылку, ничего необычного не случилось, а при открывании второй бутылки все, кто был рядом, оказались облитыми мощной струёй газированной воды. Объясните, почему лёд так «вредно» действует на бутылку.
Ответ. Газированная вода – это вода, в которой растворён углекислый газ. В растворённом виде он практически не занимает «лишнего» места (плотности обычной и газированной воды отличаются друг от друга очень мало). Закрытая бутылка с газировкой находится в состоянии равновесия – давление там такое, что мешает образовываться пузырькам (случайно образовавшиеся пузырьки растворяются снова). После открывания бутылки (в результате чего давление снижается) образовавшиеся пузырьки так и остаются пузырьками, занимая вместе с водой дополнительное место. После образования пузырёк, если ему ничто не мешает, всплывает и лопается на поверхности воды (после чего, естественно, уже не занимает места внутри воды). При комнатной температуре пузырьки образуются и растут не очень быстро; объёма уже образовавшихся, но ещё не всплывших пузырьков обычно бывает недостаточно для того, чтобы вода (вместе с этими пузырьками) перестала помещаться в бутылке и вылилась через край. (Это может случиться, если перед открыванием бутылки газированная вода была нагрета; с повышением температуры растворимость углекислого газа снижается – пузырьки образуются интенсивнее и растут быстрее.)
Лёд, находящийся в бутылке, мешает пузырькам всплывать. Обычно вода замерзает неравномерно и лёд оказывается рыхлым, в этих рыхлостях пузырьки и застревают. Даже если льда в бутылке совсем немного, он, естественно, плавает сверху и всё равно мешает пузырькам попасть на поверхность. В результате суммарный объём пузырьков и жидкости превышает объём бутылки – и вода выливается через край.
Рассчитаем, сколько же углекислого газа содержится в газировке и сколько места он занимает. В газированной воде растворено примерно 0,5–0,7% (по массе) углекислого газа (эти данные можно прочитать на этикетках бутылок с газированной водой, найти в интернете в описаниях автоматов, продающих газированную воду, и т.д.). Определим плотность углекислого газа при нормальных условиях. 1 моль углекислого (и любого другого) газа при нормальных условиях с интересующей нас точностью занимает 22,4 л. Молярная масса углекислого газа = 44 г/моль. В стандартной бутылке масса газированной воды составляет 2 кг, масса углекислого газа – 0,7% от этой величины, т.е. 0,007 · 2 кг = 0,014 кг = 14г. Объём, занимаемый таким количеством углекислого газа:
V = (22,4 л/моль) · (14 г)/(44
г/моль) 
7,13 л, т.е. примерно в 3,5 раза
больше объёма двухлитровой бутылки.
4. (7–10) Вдоль длинной улицы стоят столбы с фонарями. На первом и последнем столбах – выключатели. Каждый вечер сторож фонари включает, каждое утро – выключает, причём и то и другое может сделать любым выключателем (например, тем, который ближе). Нарисуйте, как должны быть устроены выключатели и как их нужно подключить.
Ответ. Например, вот так:
Или вот так:
Второе решение – более красивое, однако менее подходящее именно для фонарей (придётся тянуть вдоль всей линии два провода, соединяющих выключатели). Но в других ситуациях (например, чтобы люстра включалась и выключалась как изнутри, так и снаружи комнаты) такая схема может оказаться более подходящей.
5. (9–10) Почему на улице в прохладную туманную погоду легче простудиться, чем при такой же температуре воздуха, когда тумана нет?
Ответ. Туман представляет собой взвесь в воздухе очень маленьких капелек воды. Туман – система очень неустойчивая, при незначительном изме-нении влажности или температуры (например, при восходе Солнца) капельки быстро испаряются. То же самое происходит и в лёгких человека. Энергии на испарение организмом расходуется много (удельная теплота парообразования воды большая), намного больше, чем при вдыхании (и последующем нагревании в лёгких) холодного воздуха без капель воды; заметного же для человека изменения температуры (и субъективного ощущения холода) не возникает, что не даёт возможности вовремя среагировать на ситуацию.
6. (10–11) Во многих старых электроприборах самого разного назначения используется такая деталь: тонкая стеклянная трубочка (внутренний диаметр примерно 1/4 мм), почти полностью заполненная ртутью (небольшой участок трубочки вместо ртути заполнен водным раствором йодида ртути НgI2). Вдоль трубочки – шкала с делениями. Во время работы прибора через трубочку пропускается постоянный электрический ток. Что при этом будет происходить в трубочке? Как вы думаете, для чего такая деталь нужна?
Примечание. В процессе окончательного редактирования текста заданий по физике в условие этой задачи вкралась ошибка. А именно, сначала в формуле HgI2 была допущена опечатка (формула «превратилась» в AgI2). Затем другой сотрудник жюри, не заметив подвоха и решив, что не все школьники хорошо знают химию, добавил «пояснение»: «йодида серебра». На самом деле вещества AgI2 при нормальных условиях (соответствующих ситуации задачи) не бывает, формула йодида серебра – AgI. Заполнить участок трубочки «водным раствором йодида серебра» в любом случае не получится, так как AgI не растворяется в воде.
Эта ошибка оказалась очень «живучей», жюри заметило её только через неделю после турнира, на разборе задач. Приносим всем участникам турнира извинения за свою оплошность (впрочем, несколько школьников всё же заметили «нестыковки», в основном про растворимость, – не зря же таблица растворимости выдавалась на конкурсе по химии; некоторые участники турнира даже угадали правильное условие). История с этой задачей – наглядный пример «синтеза» химических веществ в результате редактирования текста. Некоторые такие «вещества» оказываются очень «устойчивыми» и существуют годы и даже десятки лет... При проверке этой задачи все неоднозначные ситуации, связанные с этой ошибкой, трактовались в пользу участников.
Ответ. Это индикатор времени работы прибора. В процессе электролиза ртуть растворяется с одной стороны и выделяется из раствора с другой стороны, в результате капля раствора перемещается по трубке. Характерная скорость – 0,1 мм/год. Такой индикатор обладает достаточно хорошей точностью – перемещение капли определяется практически только прошедшим зарядом и почти не зависит от других причин.
7. (8–11) Немецкий физик Вильгельм Феддерсен в 1857 г. построил прибор для изучения электрических разрядов (искр) в воздухе. В одном из опытов Феддерсена, например, оказалось, что время свечения искры было 0,000 025 с, и эта искра состояла из нескольких последовательных вспышек продолжительностью примерно 0,000 005 с. Как Феддерсену удавалось измерить такие короткие промежутки времени (никаких точных часов в середине XIX в., разумеется, не было)? Предложите любой способ определения продолжительности свечения искры с использованием техники, доступной, по вашему мнению, экспериментаторам того времени.
Ответ. Феддерсен использовал быстро вращающееся (со скоростью примерно 100 об/с) зеркало, отбрасывающее отражение искры на фотопластинку. (Вспомните опыты Фуко и Майкельсона по измерению скорости света.) В каждый момент времени свет, испускае-мый искрой, направлялся зеркалом на определённый, соответствующий именно этому моменту времени, участок фотопластинки. Если в какой-то момент времени было свечение, то соответствующий участок фотопластинки оказывался засвеченным. Если же свет на участок фотопластинки не попал, это значит, что в данный момент был перерыв между вспышками. Такой метод наблюдения (фиксирование информации о состоянии объекта в разные моменты времени в разных местах, соответствующих этим моментам времени) называется развёрткой по времени. Единственное изображение, получающееся в результате описанного эксперимента, которое нам удалось найти, было взято в интернете по адресу http://radiomuseum.ur.ru/index1.html. К сожалению, оно не очень хорошего полиграфического качества. Также, к сожалению, эта картинка не сопровождалась указанием на первоисточник, поэтому мы не можем утверждать, что это именно результат экспериментов Феддерсена, поставленных в 1857 г., а не более поздняя реконструкция этих экспериментов.
Каждая горизонтальная полоса соответствует какому-то одному эксперименту. Белые пятна соответствуют отдельным вспышкам, чёрные – промежуткам между ними. Зная, с какой скоростью «зайчик» от искры, отбрасываемый вращающимся зеркалом на фотопластинку, по этой фотопластинке перемещается (эта скорость определяется взаимным расположением искры, зеркала и фотопластинки, а также скоростью вращения зеркала), и длину светлого пятна, можно поделить эту длину на эту скорость и узнать время свечения.
На фотографии, как можно понять, в каждый момент времени было зафиксировано не просто наличие или отсутствие свечения, но и информация о том, в каком именно месте искрового промежутка наблюдалось свечение. Видно, что искра «целиком» (вся серия вспышек) ни в каком из экспериментов, представленных на публикуемых фотографиях, полностью на фотопластинку не поместилась. В некоторых случаях (например, самая нижняя полоса) наблюдаются попеременно чередующиеся пятна одинаковой формы, но по-разному ориентированные относительно направления верх–низ. Скорее всего в этих экспериментах наблюдался искровой разряд колебательного характера (после каждой вспышки направление электрического тока в искровом разряде менялось на противоположное). В результате таких колебаний излучаются радиоволны.
Описываемые эксперименты (сделанные на пределе технических возможностей того времени, да и сейчас они не кажутся слишком простыми) как раз и дали возможность догадаться о наличии этих коле-баний, радиоволн, начать их изучение и практическое использование (которое началось с изобретения радиотелеграфа, а затем – голосовой радиосвязи, радиолокации и телевидения). Об этом мы вам рекомендуем прочитать в книге М.П.Бронштейна «Изобретатели радиотелеграфа» (или хотя бы в отрывке из неё в журнале «Квант» № 2/1987, электронную версию см. http://kvant.mccme.ru).
И ещё одно замечание. Описанные эксперименты относятся к совершенно другой научной эпохе, совсем не похожей на ту, в которой мы живём. Культура экспериментальных измерений в те времена тоже была совершенно иной. Поэтому к полученным тогда численным значениям результатов экспериментальных измерений нужно относится с большой осторожностью. В частности, использованные в условии задачи времена длительности искры (0,000 025 с) и составляющих её вспышек (0,000 005 с) были взяты из вышеупомянутой книги. Скорее всего автор достаточно аккуратно отнёсся к публикуемым значениям, но доверять им можно только с вышеупомянутыми оговорками.