Продолжение. См. № 46/02

Абитуриенту

С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин,
И.П.Николаев, Н.Б.Подымова,
М.С.Полякова, проф. В.И.Шмальгаузен, физфак МГУ, г. Москва

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2002 г.

17 Сосуд, имеющий форму куба со стороной h=1 м, разделен вертикальной перегородкой на две равные части, сообщающиеся между собой у дна сосуда. Левая половина сверху запаяна, а правая открыта. В каждой половине имеется плоский невесомый поршень, а сосуд заполнен частично водой и частично газом (см. рисунок). Вначале правый поршень находится вровень с верхним краем сосуда, а левый – ровно на половине его высоты. Затем на правый поршень кладут груз массой М, в результате чего этот поршень перемещается на расстояние d=25 см. Определите массу груза, если плотность воды r=1000 кг/м³, атмосферное давление p₀=10⁵ Па, а ускорение свободного падения g=10 м/с². Температуру газа считать постоянной.

Решение

Рассмотрим вначале систему в исходном состоянии (без груза). Объем газа в этом случае равен

а давление газа в соответствии с законом Паскаля составляет

 Уравнение начального состояния газа имеет вид: 

Когда на правый поршень кладут груз, объем и давление газа становятся равными соответственно:

Уравнение состояния газа в этом случае имеет вид:

 Приравнивая левые части уравнений состояния, после несложных преобразований получаем ответ:

18 Математический маятник совершает малые колебания. Известно, что через время t=0,314 с после прохождения маятником положения равновесия его отклонение составило некоторую величину a₀, а через время 2t – величину Найдите длину маятника, если 2t меньше полупериода его колебаний. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с².

Решение

Пусть в момент прохождения маятником положения равновесия t = 0. Тогда зависимость угла отклонения маятника от времени имеет вид:

 где A – амплитуда колебаний, w – угловая частота. По условию задачи,

Поскольку из этих равенств следует, что

Учитывая, что угловая частота свободных колебаний математического маятника после несложных преобразований получаем ответ:

19 Брусок массой m=9 г может совершать поступательное движение по прямой между двумя невесомыми пружинами жесткостью k₁ = 0,25 Н/м и k₂ = 0,16 Н/м. В недеформированном состоянии пружин расстояние между их концами L = 20 см. В начальный момент времени пружина k₁ сжата на величину Dl = 1 см, а брусок расположен вплотную к ее концу. Через какое время t после того, как брусок отпустят, он вернется в исходное положение? Размерами бруска пренебречь.

Решение

Искомое время складывается из трех времен: половины периода T₁ колебаний бруска на пружине k₁, времени 2L/v равномерного движения бруска между пружинами и половины периода T₂ колебаний бруска на пружине k2. Для нахождения T₁ и T₂ воспользуемся известной формулой для периода свободных колебаний бруска массой m на пружине жесткостью k_i:

 Скорость равномерного движения бруска можно найти из закона сохранения энергии, справедливого при свободных колебаниях:

Отсюда Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

20 На гладком горизонтальном столе лежит деревянный брусок, прикрепленный пружиной к вертикальной стенке. В брусок попадает пуля массой m=10 г, летящая горизонтально вдоль оси пружины, и застревает в нем. Определите жесткость пружины k, если известно, что время, в течение которого сжималась пружина после попадания пули в брусок, T = 0,1 с, отношение количества теплоты, выделившейся при взаимодействии пули с бруском, к начальной кинетической энергии пули a = 0,9. Трением бруска о стол, а также массой пружины пренебречь.

Решение

Обозначим через M массу бруска. Из закона сохранения импульса и закона изменения механической энергии следуют равенства:

где u – скорость пули и бруска после соударения, Q – количество теплоты, выделившееся при взаимодействии пули с бруском, причем, по условию, Время T, в течение которого сжималась пружина, равно четверти периода колебаний тела массой (M + m) на пружине жесткостью k, т.е.

 Объединяя записанные выражения, после несложных преобразований получаем ответ:

21 Маленький шарик, подвешенный на нити, отклоняют от положения равновесия и отпускают без начальной скорости. Определите, с каким ускорением a₁ начнет двигаться шарик, если известно, что в момент прохождения шариком нижней точки траектории его ускорение a₂=15 м/с². Нить считать невесомой и нерастяжимой, сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с².

Решение

Пусть m – масса шарика, l – длина нити, a – начальный угол отклонения маятника. Поскольку ускорение шарика в начальный момент времени направлено по касательной к траектории, величина ускорения a₁ определяется проекцией силы тяжести mg на это направление, т.е.

 По закону сохранения энергии,

 где v – скорость шарика в нижней точке. Ускорение шарика в этой точке Объединяя записанные выражения, получаем ответ: