Среди стандартного оборудования школьных кабинетов физики есть разборный трансформатор, состоящий из катушек и железного сердечника, – он входит в комплект для демонстрации явления электромагнитной индукции. В этом же наборе есть два кольца – из алюминия и меди. Диаметр их такой, что они как раз надеваются на сердечник трансформатора. Для успешной демонстрации явления электромагнитной индукции достаточно поставить вертикально на стол только короткую часть железного сердечника, на нее надеть катушку с надписью «1200–2400», а обмотку катушки с выводами 0–1200 через ключ подключить к сети 220 В. Если кольца (поодиночке или вместе) расположить на верхнем торце катушки, то при замыкании ключа они подпрыгивают.
Думаю, что все учителя физики показывают этот эксперимент в 11-м классе, но позволю себе обратить внимание на то, что и в какой последовательности демонстрировать.
Для начала СЏ показываю «прыжок» алюминиевого кольца – РѕРЅРѕ взлетает примерно РЅР° 30 СЃРј Рё обычно обратно РЅР° сердечник РЅРµ попадает. Затем показываю опыт СЃ медным кольцом – РѕРЅРѕ подпрыгивает совсем невысоко, РЅР° 5–7 СЃРј, Рё «зависает» РЅР° некотором расстоянии РѕС‚ своего начального положения – РґРѕ тех РїРѕСЂ, РїРѕРєР° катушку РЅРµ отключают РѕС‚ сети. Через несколько секунд даю подержать кольцо РєРѕРјСѓ-РЅРёР±СѓРґСЊ РёР· учеников. РћРЅРѕ разогрелось – это сразу чувствуется. Кстати, если прикоснуться Рє обмотке катушки, то никакого нагрева РЅРµ обнаружится. Рто РіРѕРІРѕСЂРёС‚ Рѕ том, что индуктивное сопротивление катушки РјРЅРѕРіРѕ больше ее омического сопротивления.
После этой «затравки» задаю вопрос: а как поведут себя кольца, если надеть их на сердечник вместе? Что будем наблюдать, если положить медное кольцо сверху? а если алюминиевое? Предлагаю сначала предсказать результат эксперимента. Обычно ученики выдают несколько версий. Самой популярной бывает такая: «Если алюминиевое кольцо будет снизу, то оно поднимется на меньшую высоту, т.к. будет тормозиться медным. Если же алюминиевое кольцо будет сверху, то ничего не изменится по сравнению с тем, когда кольца клали по отдельности».
После голосования учеников Р·Р° предложенные варианты провожу эксперимент. Оказывается, что независимо РѕС‚ того, какое кольцо РІРЅРёР·Сѓ, РѕР±Р° подпрыгивают высоко Рё соскакивают СЃ сердечника. Ртак, интуиция нас обманула, значит, нужно глубже разобраться РІ явлении.
Откуда берется сила, заставляющая кольцо (кольца) двигаться с ускорением вверх или удерживающая кольцо на весу на некоторой высоте? Желательно, чтобы ученики дали ответ самостоятельно.
Обычно РѕРЅРё легко вспоминают, что магнитное поле катушки СЃ сердечником пропорционально току I(t)=I0 cos wt, протекающему РїРѕ обмотке. Рто магнитное поле РІ месте расположения кольца имеет как вертикальную Р’^(t)=Р’^cos wt, так Рё горизонтальную Р’СЉР…(t) = Р’СЉР…coswt составляющие. РњС‹ считаем направление «вверх» положительным. Амплитуда тока РІ катушке РїСЂСЏРјРѕ пропорциональна амплитуде напряжения РІ сети U0 Рё обратно пропорциональна частоте w Рё индуктивности катушки Lкат:
Если материал сердечника имеет большую магнитную восприимчивость m и при протекании тока не происходит его насыщения, то индукцию магнитного поля можно считать пропорциональной m и числу витков катушки N, приходящихся на единицу ее длины l:
Ток в катушке переменный, поэтому магнитный поток через площадку, ограниченную кольцом, изменяется. Следовательно, в кольце возникает ток самоиндукции. Все геометрические размеры и материал кольца нам известны. Ученики вспоминают, что кольцо при пропускании переменного тока через катушку разогревается, и быстро догадываются, что нужно учесть омическое сопротивление R кольца. Однако очень редко сразу вспоминают (в моей практике такого просто ни разу не было), что и кольцо имеет индуктивность.
Предлагаю ученикам написать уравнение для тока в кольце (второе правило Кирхгофа) при условии, что кольцо неподвижно. Кстати, не следует сразу указывать на то, что не учтена индуктивность кольца. Вот что обычно пишут ученики:
В этом уравнении S = pr2 – площадь кольца, r – его радиус, В^coswt – составляющая индукции магнитного поля вдоль оси кольца. Теперь, зная ток, протекающий по кольцу, найдем силу Ампера, действующую на кольцо вдоль его оси:
Очевидно, что среднее значение силы Ампера Р·Р° период равно нулю, – РЅРѕ кольцо-то прыгает! Что-то РЅРµ РІ РїРѕСЂСЏРґРєРµ СЃ уравнением. Где же РјС‹ допустили ошибку? Вспоминаем, что магнитное поле самого кольца тоже создает магнитный поток через это самое кольцо, С‚.Рµ. кольцо имеет индуктивность L. Рсправленное уравнение для тока через кольцо будет теперь выглядеть так:
Рто уравнение позволяет найти переменный ток РІ цепи, состоящей РёР· последовательно включенных омического сопротивления R Рё индуктивности L, которая подключена Рє источнику переменного напряжения U (t) = SBСЉР…wsinwt. Решить это уравнение можно, например, методом векторных диаграмм. Фаза тока РІ цепи отличается РѕС‚ фазы напряжения источника:
Мгновенное значение силы, действующей на кольцо со стороны магнитного поля:
Вот теперь видно, что средняя за период сила, действующая на кольцо со стороны магнитного поля, не равна нулю:
Отметим, что средняя сила направлена в положительном направлении (вверх). Ее значение пропорционально произведению амплитудных значений компонент индукции магнитного поля B^ЧBъЅ. Будем считать, что материал сердечника катушки имеет большую магнитную проницаемость m, но не достигает насыщения. Тогда это произведение компонент, в свою очередь, пропорционально величине:
Здесь U – напряжение сети, l – длина сердечника, N – число витков катушки, pr2 – площадь сечения сердечника. Поскольку формула для средней силы запишется так:
В приведенных формулах омическое сопротивление кольца R и его индуктивность L сами зависят от радиуса кольца r и от других его геометрических размеров (высоты и толщины), а также от материала кольца. При заданных размерах сердечника и кольца, а также при фиксированной частоте колебаний тока средняя сила будет увеличиваться при увеличении напряжения на катушке и уменьшении числа витков катушки:
Предсказываемую зависимость от числа витков и напряжения можно проверить, взяв другую катушку из набора и подавая на нее напряжение от регулируемого источника – лабораторного автотрансформатора (ЛАТР).
Полученная формула для средней силы позволяет проанализировать результаты экспериментов, РІ которых кольца подпрыгивали вверх РїСЂРё включении катушки РІ сеть. Рдля алюминиевого кольца, Рё для медного существует определенная высота над катушкой, РЅР° которой средняя сила, действующая РЅР° кольцо СЃРѕ стороны магнитного поля, уравновешивается силой тяжести. Рто связано СЃ тем, что РїРѕ мере перемещения кольца вверх уменьшаются Рё вертикальная, Рё горизонтальная составляющие индукции магнитного поля РІ месте расположения кольца. Ркспериментально можно установить, что соответствующая высота для алюминиевого кольца больше высоты для медного кольца. Действительно, плотность меди (8960 РєРі/Рј3) РІ 3,3 раза больше плотности алюминия (2690 РєРі/Рј3), Р° удельные сопротивления этих металлов отличаются всего РІ 1,6 раза.
Напомним, что выражения для средней силы, действующей на кольцо со стороны магнитного поля, были получены для покоящегося кольца. При механическом движении колец в магнитном поле магнитный поток изменяется. Для точного описания движения кольца это изменение, конечно, необходимо учитывать.
Однако легко показать, что скорость изменения магнитного потока, связанная СЃ механическим движением кольца, РІ данном эксперименте (РїСЂРё частоте переменного тока 50 Гц Рё высотах подпрыгивания кольца около 0,3 Рј) меньше скорости изменения потока, связанной СЃ переменным характером тока РІ катушке. Например, алюминиевое кольцо разгоняется РЅР° участке длиной примерно 10 СЃРј, Р° взлетает вверх еще примерно РЅР° 20 СЃРј. Время движения СЃ ускорением, направленным вверх, равно примерно 0,1 СЃ. Р—Р° это время магнитное поле успевает десять раз сменить направление. Рто означает, что движение катушки можно рассматривать как медленное – квазистатическое. Участок пути, РЅР° котором алюминиевая катушка движется СЃ ускорением вверх, длиннее соответствующего участка для медного кольца. Да Рё само ускорение больше. Р’РѕС‚ почему алюминиевое кольцо прыгает выше, чем медное.
Теперь самый интересный РІРѕРїСЂРѕСЃ: Р° почему же положенные РЅР° катушку вместе медное Рё алюминиевое кольца прыгают высоко? Кольцо находится РІ суммарном магнитном поле, созданным током РІ катушке Рё током, протекающим РїРѕ второму кольцу. Верхнее кольцо РїСЂРё протекании РїРѕ нему тока уменьшает вертикальную компоненту индукции магнитного поля Рё одновременно увеличивает горизонтальную компоненту индукции для нижнего кольца. Произведение компонент индукции магнитного поля РїСЂРё этом увеличивается, Р° значит, увеличивается средняя сила, действующая РЅР° нижнее кольцо. Р’РѕС‚ почему медное кольцо подскакивает выше, РєРѕРіРґР° над РЅРёРј находится алюминиевое кольцо. Рто же рассуждение объясняет, откуда берется дополнительная сила, позволяющая находящемуся СЃРЅРёР·Сѓ алюминиевому кольцу РЅРµ только взлететь, РЅРѕ Рё подтолкнуть лежащее сверху медное кольцо РЅР° большую высоту.
Рксперимент показывает, что после подключения катушки Рє сети РѕР±Р° кольца летят вместе. РќР° начальном этапе полета РѕРЅРё просто соприкасаются РґСЂСѓРі СЃ РґСЂСѓРіРѕРј. Рто тоже легко объяснить. Рндукционный ток РІ кольцах хоть Рё уменьшает внешнее магнитное поле, РЅРѕ РЅРµ РґРѕ нуля. Рто означает, что индукционные токи РІ РѕР±РѕРёС… кольцах имеют одинаковое направление. Рђ как известно, РїСЂРѕРІРѕРґР° СЃ токами РѕРґРЅРѕРіРѕ направления притягиваются РґСЂСѓРі Рє РґСЂСѓРіСѓ.
Р’ заключение можно поставить перед СЃРѕР±РѕР№ задачу: подобрать такие условия, РїСЂРё которых кольцо взлетит как можно выше. Ркспериментаторы! Дело Р·Р° вами, найдите оптимальные размеры Рё форму катушки, сердечника Рё кольца, чтобы кольцо – РЅР° радость учителям Рё ученикам – взлетало РІ классе РїРѕРґ самый потолок!