Абитуриенту

Вступительные экзамены по физике

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

1 В комнате на столе стоят два одинаковых стакана. Температура в комнате 20 °С. В первый ста-кан быстро наливают воду температурой t = 0 °С, а во второй кладут кусочек льда массой Dm = 10 г и той же температуры и наливают m – Dm = 190 г воды температурой 0 °С. Температура воды в первом стакане через время t₁ = 2 мин увеличилась на Dt = 1 °С. Через какое время после заполнения второй стакан нагреется до той же температуры?

Удельная теплота плавления льда l = 336 Дж/г, теплоемкость воды с = 4,2 Дж/(гЧК). Теплоемкостью стаканов пренебречь.

Решение

Поскольку в стаканы воду наливают быстро, а теплоемкостью стаканов следует пренебречь, можно считать, что теплообмен воды с окружающей средой начинается только после того, как вода оказалась налитой в стаканы. Кроме того, будем считать, что температура содержимого стаканов во всех точках изменяется одинаково, т.е. нагревание воды осуществляется квазиравновесно. Температура плавления льда при нормальном атмосферном давлении равна t = 0 °С, поэтому количества теплоты, необходимые для нагревания воды в стаканах равны Температура содержимого стаканов за интересующие промежутки времени изменяется незначительно по сравнению со средней разностью температур комнаты и воды в стаканах, поэтому скорость теплообмена содержимого стаканов с окружающей средой остается постоянной и одинаковой в обоих случаях. Следовательно, можно утверждать, что   – искомое время нагревания второго стакана. Решая это уравнение совместно с двумя ранее составленными, найдем

2 Абсолютно жесткий сосуд, заполненный гелием при нормальных условиях, движется со скоростью v = 500 м/с. На сколько процентов отличалось бы установившееся после остановки сосуда давление от первоначального, если бы отсутствовал теплообмен гелия с сосудом?

Решение

Будем считать, что в движущемся сосуде гелий находится в состоянии термодинамического равновесия, а скорость сосуда задана относительно некоторого инерциального наблюдателя. Кинетическая энергия гелия относительно указанного наблюдателя, обусловленная упорядоченным движением его атомов, равна где m – масса гелия в сосуде. Согласно нулевому постулату термодинамики после остановки сосуда гелий должен перейти в новое состояние термодинамического равновесия. Сосуд является абсолютно жестким и нет теплообмена гелия с окружающими телами, поэтому, согласно закону сохранения энергии, после установления нового состояния термодинамического равновесия внутренняя энергия гелия должна увеличиться на величину W_к. Будем, как обычно, считать гелий идеальным одноатомным газом. Как известно, внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа определяется лишь кинетической энергией хаотического движения его атомов и равна Число молей гелия, находящегося в сосуде, равно m/m, где m – молярная масса гелия, поэтому результирующая температура гелия должна увеличиться на Давление гелия в сосуде и его температура при заполнении были равны р = 1 атм и Т»273 К. На основании закона Шарля , – изменение давления гелия после остановки сосуда и установления в нем состояния термодинамического равновесия. Отсюда

3  В запаянной с обоих концов U-образной трубке, частично заполненной водой, в одном из колен находится воздух, а из другого колена воздух полностью удален. При температуре t₁ = 27 °C уровень воды в колене, содержащем воздух, ниже запаянного торца трубки на L₁ = 80 см, а разность уровней воды в коленах равна h₁ = 50 см. Найдите изменение разности уровней воды в коленах после нагревания трубки до температуры t₂ = 87 °C, пренебрегая тепловым расширением и объемом испарившейся воды.

Решение

При решении задачи будем полагать, что: 1) трубка покоится относительно лабораторной системы отсчета, являющейся инерциальной; 2) трубка имеет постоянное поперечное сечение; 3) колена трубки располагаются строго вертикально; 4) давление в коленах трубки над поверхностью воды не изменяется по мере удаления от этой поверхности; 5) нагревание трубки осуществляется столь медленно, что в трубке все время имеет место состояние термодинамического равновесия; 6) изменение состояния находящегося в трубке воздуха в рассматриваемом диапазоне температур и давлений с требуемой точностью описывается уравнением Клапейрона–Менделеева.

При соблюдении этих предположений давление на поверхность воды в колене, из которого удален воздух, равно давлению насыщенных паров воды, а в другом колене равно сумме парциальных давлений насыщенных паров воды и воздуха. Поэтому разность уровней воды в коленах трубки должна быть равна парциальному давлению воздуха. Следовательно, если измерять давления в разных частях трубки в единицах длины водяного столба, то парциальное давление воздуха p₁ при начальной температуре должно быть равно h₁.

При нагревании уровень воды в колене, содержащем воздух, должен понижаться, т.к. давление на поверхность воды в этом колене при неизменном ее уровне должно было бы возрастать быстрее, чем в другом колене, еще и за счет роста давления воздуха, а не только за счет роста давления насыщенных паров воды. В дополнение к сделанным предположениям будем считать, что при нагревании до конечной температуры уровень воды в колене, содержащем воздух, остается выше верхней точки среднего сечения трубки, а потому воздух не может проникнуть в другое колено. Тогда на основании объединенного газового закона парциальное давление воздуха при конечной температуре равно

где T_i = t_i + 273 – абсолютная температура содержимого трубки в начальном (i = 1) и конечном (i = 2) состояниях, а L₂ – высота столба воздуха при конечной температуре. При выводе этого соотношения учитывалось сделанное выше предположение о постоянстве поперечного сечения трубки. В соответствии с условием задачи и сделанными предположениями естественно пренебречь сжимаемостью воды, а потому считать ее объем неизменным. Тогда можно утверждать, что искомое изменение разности уровней воды в коленах трубки x = h₂ – h₁ должно быть величиной положительной и удовлетворять условию L₂–L₁ = x/2. Используя два последних соотношения, уравнение (1) можно представить в виде: Из этого уравнения следует, что искомое иазности уровней воды в коленах трубки после ее нагревания при выполнении сделанных выше предположений должно быть равно

 4   Прямоугольный сосуд разделен на две равные части гладким толстым поршнем, ось которого, горизонтальна. Левая часть сосуда длиной L полностью заполнена ртутью. При этом ртуть практически не оказывает давления на верхнюю грань сосуда. В правой части сосуда находится воздух. Пренебрегая тепловым расширением сосуда, поршня и ртути, а также давлением насыщенных паров ртути, найдите перемещение поршня при медленном уменьшении абсолютной температуры сосуда с содержимым в n = 1,5 раза. Считать, что при конечной температуре ртуть остается жидкой.

Решение

Как обычно, при решении данной задачи будем полагать, что сосуд и его содержимое покоятся относительно лабораторной системы отсчета, а эта система является инерциальной. Поскольку поршень толстый, а его ось горизонтальна, то его плоскости, соприкасающиеся с ртутью и воздухом, всегда должны оставаться вертикальными. Наконец, учитывая, что, по условию задачи, поршень является гладким, можно утверждать, что он будет находиться в равновесии при равенстве сил, действующих на него со стороны ртути и воздуха. В исходном состоянии ртуть полностью заполняла левую часть сосуда, но не оказывала давления на его верхнюю грань. По условию задачи, следует пренебречь давлением насыщенных паров ртути. Будем также пренебрегать сжимаемостью ртути и считать плотность воздуха внутри заполненной им части сосуда постоянной при неизменных температуре и объеме. Тогда можно утверждать, что при первоначальной температуре давление воздуха должно было быть равным r₁=pgh/2, где r – плотность ртути, g – ускорение свободного падения, а h – высота поршня. Поскольку при медленном охлаждении давление воздуха при неизменном его количестве должно медленно падать, можно пренебречь ускорением поршня и считать, что уровень ртути в левой части сосуда понижается монотонно. Если высоту столба ртути при конечной температуре обозначить h₂ (рис. 16), то давление воздуха в правой части сосуда при конечной температуре с учетом сделанных предположений должно удовлетворять соотношению r₂=pgh₂²/2.   Поскольку ртуть мы считаем несжимаемой и в соответствии с условием задачи должны пренебречь тепловым расширением сосуда с поршнем, то интересующее нас перемещение поршня х должно удовлетворять соотношению hL=h₂(L+x), т.к. площадь поперечного сечения сосуда неизменна.

Полагая, как обычно, что при реализуемых в ходе охлаждения условиях поведение воздуха описывается уравнениями, справедливыми для идеальных газов, на основании объединенного газового закона получим: p₁V₁=np₂V₂ , или p₁L=np₂(L-x). Для упрощения дальнейших вычислений обозначим x/L=z. Тогда из составленных ранее уравнений следует, что

Последнее соотношение эквивалентно уравнению z²+(2+n)z+1-n=0

Решая это уравнение и выбирая корень, удовлетворяющий допустимым значениям z, найдем интересующее перемещение поршня

5  В цилиндре под поршнем в объеме V₁ = 5 л находится воздух с насыщенными парами воды при температуре t₁ = 17 °C. Объем воздуха медленно уменьшили до величины V₂ = 1 л, одновременно увеличив температуру до t₂ = 100 °C. Найдите относительную влажность воздуха в конечном состоянии. Давление насыщенных паров воды при начальной температуре равно р_н1 = 17 мм рт. ст.

Решение

Поскольку изменение объема и температуры влажного воздуха, по условию задачи, происходит медленно, можно считать, что в цилиндре под поршнем воздушно-паровая смесь все время находится в состоянии термодинамического равновесия. Кроме того, при решении задачи будем, как обычно, предполагать, что к парам воды вплоть до точки насыщения применимы законы идеальных газов. Тогда, учитывая неизменность количества воды в цилиндре под поршнем, можно утверждать, что парциальное давление паров воды в начальном и конечном состояниях должно удовлетворять объединенному газовому закону, если, конечно, найденное в соответствии с указанным уравнением давление не превышает давления насыщенных паров при конечной температуре. Поскольку в исходном состоянии абсолютная температура влажного воздуха равна T₁ =  t₁ + 273, а парциальное давление паров воды p = р_н1, то при конечной абсолютной температуре T₂ = t₂ + 273 парциальное давление паров воды должно стать равным Как известно, температура кипения жидкости в тонком приповерхностном слое равна той, при которой давление насыщенных паров этой жидкости становится равным давлению на поверхность жидкости. Поскольку при нормальном атмосферном давлении р_а=760 мм рт. ст. температура кипения воды равна t₂=100 °C, а вычисленное значение парциального давления паров воды p₂<p_a, то, вспоминая определение относительной влажности, используемое в метеорологии, можно утверждать, что искомая относительная влажность равна

6  В гладком вертикальном цилиндре под поршнем массой M находится сухой воздух при температуре Т₀. Площадь поперечного сечения поршня равна S, атмосферное давление р_а. В цилиндр впрыснули некоторое количество воды, а затем его медленно нагрели до такой температуры Т, при которой испарилась лишь часть воды, а давление ее насыщенных паров стало равным р_н. Во сколько раз при этом изменился объем воздуха под поршнем?

Решение

Будем, как обычно, полагать, что цилиндр покоится относительно лабораторной системы отсчета, которую можно считать инерциальной. По условию задачи, силами трения поршня о стенки цилиндра следует пренебречь. Учитывая, что нагревание цилиндра осуществляется медленно, можно утверждать, что в цилиндре имеет место состояние термодинамического равновесия, поршень при нагревании цилиндра перемещается практически без ускорения, а давление в цилиндре в начальном и конечном состояниях должно превышать атмосферное давление ра на величину Dp = Mg/S, где g – ускорение свободного падения, т.е. давление в цилиндре должно удовлетворять соотношению: p=p_a + Dp. В исходном состоянии под поршнем находился только сухой воздух. В конечном состоянии давление в цилиндре равно сумме парциального давления воздуха и насыщенных паров воды, т.к., по условию задачи, в результате нагревания испарилась лишь часть воды. Поскольку количество молей воздуха остается неизменным, то, полагая, как обычно, что при нагревании содержимого цилиндра от абсолютной температуры Т₀ до температуры Т давление воздуха в цилиндре изменяется в соответствии с уравнением Клапейрона–Менделеева, получим 

где R – универсальная газовая постоянная, V₀ – первоначальный объем воздуха, V – объем воздуха при температуре Т. Решая это уравнение с учетом ранее найденного значения давления в цилиндре, определим искомое изменение объема воздуха под поршнем:

7  В гладком вертикальном цилиндре под поршнем в объеме V = 6 л находятся частично сжатая пружина и насыщенные пары воды. На поршень медленно насыпали столько песка, что объем пара уменьшился в n = 3 раза. Сколько тепла при этом было отведено от цилиндра, если температура в нем оставалась неизменной и равной t = 100 °C? Удельная теплота парообразования воды при температуре t = 100 °C равна r = 2,26 кДж/г.

Решение

При решении данной задачи, как и предыдущей, будем считать лабораторную систему отсчета, относительно которой цилиндр неподвижен, инерциальной. Поскольку объем насыщенного пара уменьшается медленно, можно считать, что в цилиндре все время имеет место состояние термодинамического равновесия. Будем также считать, что деформация пружины при заданном изменении объема происходит абсолютно упруго, а потому изменение ее длины не может сопровождаться выделением тепла. Не может быть и выделения тепла за счет медленного перемещения поршня в гладком цилиндре. Следовательно, для поддержания неизменной температуры из цилиндра нужно отводить лишь то количество теплоты, которое выделяется за счет конденсации водяного пара. В дополнение к сказанному будем, как обычно, считать, что к насыщенному водяному пару применимо уравнение Клапейрона–Менделеева, поэтому отношение давления р_н насыщенного пара к его плотности прямо пропорционально абсолютной температуре Т, т.е. имеет место соотношение р_н/r_н=RT/m,  где R»8,31 Дж/(мольЧК) – универсальная газовая постоянная, а m =18 г/моль – молярная масса воды. Тогда можно утверждать, что масса сконденсировавшегося пара где T»t + 273.

Вспоминая, что удельные теплоты парообразования и конденсации равны, используя приведенное выше выражение, найдем искомое количество теплоты:

8  Найдите удельную теплоемкость идеального одноатомного газа, если нагревание осуществляется так, что среднеквадратичная скорость u теплового движения его атомов массой m увеличивается прямо пропорционально давлению р.

Решение

Как известно, частицы идеального газа не взаимодействуют между собой. Следовательно, внутренняя энергия такого газа определяется лишь кинетической энергией хаотического движения его частиц. При использовании шкалы температур Кельвина внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа равна 3RT/2. С другой стороны, кинетическая энергия одного моля частиц массой m, среднеквадратичная скорость которых равна u, равна mu²N_A/2 , где N_А – число Авогадро. Поэтому, вспоминая, что постоянная Больцмана k = R/N_A, можно утверждать, что абсолютная температура таких частиц T = mu²/(3k). По условию задачи нагревание ведется так, что среднеквадратичная скорость u теплового движения атомов и давление газа р связаны между собой соотношением u =a p, где a – постоянный коэффициент. Поэтому, учитывая, что, согласно уравнению Клапейрона–Менделеева, объем одного моля идеального газа при давлении р и температуре Т равен V = RT/p, можно утверждать, что с ростом температуры объем газа и его давление р будут увеличиваться пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры. Следовательно, при заданном способе нагревания одновременно будет увеличиваться внутренняя энергия газа и газ будет совершать работу. Если, как обычно, считать, что нагревание газа происходит столь медленно, что газ практически все время находится в состоянии термодинамического равновесия, то зависимость давления газа от занимаемого им объема, согласно сказанному, должна иметь вид, показанный на рис. 17.

Поскольку, силы, действующие на стенки сосуда со стороны газа, при квазиравновесном изменении его состояния направлены перпендикулярно стенкам, работа газа при увеличении его объема на величину DV при постоянном давлении р равна DA = pDV. На основании этого можно утверждать, что работа газа при квазиравновесном изменении давления пропорциональна площади pV-диаграммы, ограниченной графиком p(V), перпендикулярами, восставленными к оси V в точках, соответствующих начальному V₁=V(T) и конечному V₂=V(T + DT) объемам газа, и осью V. Используя формулу для вычисления площади трапеции, найдем работу моля газа при его нагревании от температуры Т до температуры T + DT:

т.к. согласно сказанному ранее при температуре Т объем моля газа и его давление должны быть равны На основании этого с учетом первого закона термодинамики можно утверждать, что для увеличения температуры моля газа при заданных условиях на DT градусов необходимо затратить количество теплоты DQ=DW_вн+DА+2RDT. Следовательно, молярная теплоемкость газа c_m=2R, а т.к. масса моля данного газа m=mN_A, то искомая удельная теплоемкость c=cm/m=2k/m.