Вступительные экзамены по физике
Механика
12
В цилиндрическом сосуде внутренним радиусом R,
частично заполненном водой, плавает, выступая из
воды на высоту h, однородное деревянное кольцо
плотностью rд (рис. 13). Радиус отверстия в кольце
равен r. В отверстие медленно налили столько
масла плотностью rм, что его верхний уровень
достиг верха кольца. В результате уровень воды
вне кольца поднялся на некоторую высоту х.
Найдите х.
Решение
При решении задачи будем,
поскольку иное не оговорено в условии, полагать
сосуд с плавающим в нем кольцом и водой
покоящимися относительно лабораторной системы
отсчета, которую, в свою очередь, будем считать
инерциальной. Поскольку, по условию задачи,
кольцо является однородным, все нижние точки
кольца должны располагаться на одной
горизонтальной плоскости, а давление воды в
любой нижней точке кольца должно быть равно 
где Н – высота кольца, ра –
атмосферное давление.
С другой стороны, это давление
должно быть равно давлению, обусловленному
действием сил тяжести и воздуха на кольцо, т.е.
должно выполняться соотношение 
Следовательно, можно утверждать, что
По условию задачи, в отверстие в кольце налили столько масла, что его уровень достиг верха кольца. Такая ситуация возможна лишь в том случае, если плотность масла не превышает плотности дерева, поскольку давление во всех точках горизонтальной плоскости, совпадающей с нижними точками кольца, согласно закону сообщающихся сосудов, должно быть неизменным. Учитывая, что масло заливали медленно, можно утверждать, что даже если масло имеет максимально допустимую плотность, равную плотности дерева, нижний уровень масла не может опуститься ниже указанной плоскости. Если же плотность масла меньше плотности дерева, то из отверстия в кольце масло вытеснит лишь часть воды. Толщина h1 слоя воды, оставшейся внутри кольца, при rм < rд должна удовлетворять уравнению
При заливании масла глубина погружения кольца в воду изменяться не может, поскольку масло не может вытекать из кольца, а потому должно оставаться справедливым соотношение (1). Из сказанного ясно, что одновременно с увеличением объема залитого в кольцо масла, уровень воды в сосуде и кольцо будут подниматься. Поскольку в условии задачи высота сосуда не указана, ее следует считать столь большой, что вода не переливается через края сосуда. Поэтому, пренебрегая, как это обычно и делается в подобных задачах, сжимаемостью воды и масла, можно утверждать, что искомая высота х подъема воды должна удовлетворять уравнению
Решая совместно уравнения (1) – (3), определим искомую высоту подъема воды:
13
Лежащий в сосуде шар из материала плотностью r1 имеет
герметичную сферическую полость, радиус которой
вдвое меньше радиуса R шара. Центр полости
находится на расстоянии R/2 от центра шара (рис. 14).
К точкам на поверхности шара, находящимся на
концах диаметра, проходящего через центры шара и
полости, приклеены две одинаковые невесомые
нерастяжимые нити, длина каждой из которых
больше R. Расстояние между точками крепления
других концов нитей к горизонтальному дну сосуда
равно 2R. В сосуд наливают жидкость плотностью r до тех пор,
пока шар не окажется полностью погруженным в
жидкость. При этом обе нити оказываются
натянутыми. При каких значениях отношения r/r1 возможна
такая ситуация?
Решение
Как и в предыдущей задаче,
будем считать сосуд с его содержимым покоящимися
относительно лабораторной системы отсчета, а ее,
в свою очередь, будем считать инерциальной. На
рис. 15 показаны силы, действующие на шар: силы
натяжения нитей Т1 и Т2, сила Архимеда
F1, действующая на шар со стороны жидкости,
сила тяжести F3, которая должна была бы
действовать на шар, если бы он не имел полости, и
сила F2, противоположная силе тяжести,
которая должна была бы действовать на вещество
шара, изъятое из него. При выборе направлений сил
Т1 и Т2 было учтено, что, по условию
задачи, обе нити натянуты. Следовательно,
указанные силы должны быть направлены
вертикально вниз, 
поскольку
шар покоится относительно инерциальной системы
отсчета, действующие на шар сила тяжести и сила
Архимеда направлены по вертикали, расстояние
между точками крепления нитей ко дну сосуда
равно диаметру шара, а нить может оказывать
силовое действие только тогда, когда она
испытывает действие сил, стремящихся увеличить
длину нити.
Поскольку шар покоится относительно инерциальной системы отсчета, то, во-первых, ускорение его центра масс должно быть равно нулю, а во-вторых, должно быть равно нулю и его угловое ускорение.
Первое условие означает, что сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю. Если записать это условие в проекции на ось Оx, направление которой совпадает с направлением ускорения свободного падения g, то оно будет иметь вид:
где символами Тi и Fi обозначены модули соответствующих сил.
Второе условие сводится к требованию, чтобы была равна нулю сумма моментов всех действующих на шар сил относительно любой оси. Поскольку все силы, действующие на шар, лежат в вертикальной плоскости, в которой лежат точки крепления нитей к шару, то с учетом выполнения соотношения (1) второе требование эквивалентно требованию равенства нулю суммы моментов всех действующих на шар сил относительно любой горизонтальной оси, перпендикулярной ранее указанной вертикальной плоскости. Выберем из всех подобных возможных осей ту, которая проходит через точку крепления первой нити к шару. Тогда, вспоминая, что момент силы относительно оси равен произведению плеча силы относительно этой оси на величину силы, и считая моменты сил, стремящихся вызвать вращение шара по часовой стрелке, положительными, получим:
Поскольку объем шара радиусом
r равен , 
модули сил F1,
F2 и F3 должны удовлетворять
соотношениям:
Из этих соотношений
и уравнений (1) и (2) следует, что 
На основании последних соотношений можно утверждать, что обе нити будут натянуты, если отношение плотности жидкости к плотности материала шара будет больше 15/16, т.к. отношение модулей не равных нулю векторов должно быть положительной величиной.
14 На прикрепленную нижним концом к столу стоящую вертикально невесомую пружину положили легкую чашку, а в нее насыпали песок. Масса чашки с песком равна М. После удара чашка начала совершать вертикальные гармонические колебания амплитудой А и периодом T. Сколько песка нужно резко сбросить, когда чашка находится на максимальной высоте, чтобы ее колебания прекратились?
Решение
По условию задачи чашка с
песком после удара совершает вертикальные
гармонические колебания. Такое движение,
очевидно, возможно лишь при соблюдении следующих
условий. Во-первых, на движущиеся части этой
системы не действуют диссипативные силы, т.е. не
действуют силы сопротивления со стороны
окружающей среды, а силы деформации пружины
являются полностью упругими. Во-вторых,
результирующая действующих на чашку с песком сил
тяжести и сил, обусловленных деформацией
пружины, направлена вертикально и совпадает с
осью пружины. Наконец, песок остается
неподвижным относительно чашки, движущейся
поступательно. Поэтому, если считать, что между
отдельными песчинками и чашкой отсутствуют силы
притяже-ния (песок свободно лежит на чашке)
максимальное ускорение песчинок, направленное
вниз, не может превышать ускорения свободного
падения g. Вспоминая, что при прямолинейных
гармонических колебаниях частотой w амплитуда
ускорения в w2 раз превышает амплитуду смещения,
можно утверждать, что задача будет иметь решение,
если 
т.к. 
Будем, как обычно, считать
лабораторную систему отсчета, в которой покоится
стол, инерциальной. Тогда можно утверждать, что
перед ударом в положении равновесия величина
деформации пружины DL, масса чашки с песком М и
жесткость пружины k должны удовлетворять
условию:
. Поскольку при
макси- мальном смещении чашки с песком вверх
величина деформации пружины станет равной DL – A, то чашка
останется в этом положении, если с нее резко
сбросить такую массу песка m, что 
, т.е. искомая масса песка должна быть
равна 
Определить жесткость пружины можно, воспользовавшись законом сохранения механической энергии. Действительно, систему «чашка с песком – пружина – Земля» при сделанных выше предположениях можно считать изолированной консервативной. Поэтому приращение потенциальной энергии этой системы при подъеме чашки из положения равновесия на максимальную высоту должно быть равно кинетической энергии чашки в положении равновесия, т.е.
или 
Учитывая, что при заданном движении
амплитуда скорости в w раз превышает амплитуду
смещения, т.е.
получим 
Следовательно, массу чашки с
песком необходимо уменьшить на величину 
Поскольку, как было выяснено
выше, решение задачи возможно при выполнении
неравенства 
найденная масса m
меньше первоначальной массы М чашки с песком, а
т.к. чашка легкая, то полученное выражение
является ответом на вопрос задачи.
15 Шайба, скользившая по гладкому горизонтальному льду, попадает на участок, неравномерно посыпанный мелким песком. Коэффициент трения шайбы по мере ее удаления на расстояние х от границы участка возрастает по закону m = kx. Через какое время шайба остановится после ее попадания на указанный участок? Размеры шайбы значительно меньше пройденного ею пути.
Решение
По условию задачи шайба
движется прямолинейно в горизонтальной
плоскости. Будем, как обычно, считать, что система
отсчета, неподвижная относительно льда, является
инерциальной, а ее ось Оx совпадает с
направлением движения шайбы. Будем также
считать, что влиянием воздуха на шайбу можно
пренебречь, а действующая на шайбу сила сухого
трения скольжения не зависит от скорости шайбы и
равна максимальному значению силы сухого трения
покоя. Тогда на основании второго закона Ньютона
можно утверждать, что уравнение движения шайбы в
проекции на ось ОХ должно иметь вид:
где m – масса шайбы, а g – величина
ускорения свободного падения.
Из полученного уравнения
следует, что ускорение шайбы 
прямо пропорционально смещению шайбы от
границы участка и направлено к этой границе, т.е.
изменяется так же, как ускорение груза
пружинного маятника. Следовательно, закон
движения шайбы, начиная с момента времени t = 0,
когда шайба попадает на посыпанный песком
участок, до момента времени t = t, когда шайба останавливается,
должен иметь вид 
Поскольку скорость шайбы в
указанном промежутке времени изменяется по
закону 
, то момент
остановки шайбы должен удовлетворять
соотношению: 
Таким образом,
искомый промежуток времени равен 
16 На гладкой плоскости, образующей с горизонтом угол a, лежит доска массой M, упирающаяся нижней кромкой в легкую пружину, другой конец которой закреплен. Сила упругости пружины направлена вдоль оси симметрии доски. В свою очередь, ось доски перпендикулярна ребру двугранного угла, образованного плоскостью с горизонтом. На середину доски опускают без начальной скорости брусок массой m. При каком коэффициенте трения между доской и бруском он будет оставаться неподвижным относительно доски при ее дальнейшем движении?
Решение
Будем решать задачу, пренебрегая влиянием воздуха на движение тел и считая, как обычно, лабораторную систему отсчета, относительно которой покоится плоскость, инерциальной. Кроме того, будем полагать, что деформации пружины являются абсолютно упругими. По условию задачи сила упругости пружины направлена вдоль оси симметрии доски, а брусок кладут на середину покоящейся доски. Учитывая, что ось доски перпендикулярна ребру двугранного угла, образованного гладкой наклонной плоскостью с горизонтом, можно считать, что линии действия всех сил, приложенных к доске и бруску, лежат в вертикальной плоскости, проходящей через указанную ось. Поэтому можно утверждать, что после отпускания бруска доска вместе с ним начнет двигаться поступательно с ускорением, направленным вдоль оси доски вниз. Совместим с этим направлением ось ОХ и выберем начало отсчета совпадающим с тем положением, в котором находился бы нижний край доски при недеформированной пружине. Тогда, учитывая, что силы трения между доской и бруском, согласно третьему закону Ньютона, равны по величине и противоположны по направлению, уравнения движения бруска и доски в проекции на ось ОХ, согласно второму закону Ньютона, можно представить в виде:
где g – величина ускорения
свободного падения, а Fтрx – проекция на ось
ОХ силы трения покоя, действующей на брусок со
стороны доски. Из второго уравнения следует, что,
пока на доску не положили брусок, координата ее
нижнего края в положении равновесия 
должна была быть равна 
Складывая почленно приведенные
уравнения, получим 
Следовательно,
после того, как на доску положили брусок,
координата нижнего края доски в новом
равновесном положении станет равной 
а уравнение движения доски с
бруском можно представить в виде 
Из этого уравнения следует, что
ускорение движущихся тел пропорционально их
смещению от положения равновесия и направлено к
этому положению. Следовательно, после отпускания
бруска доска вместе с ним будет совершать
гармонические колебания вдоль оси ОХ с частотой 
и амплитудой 
Поскольку проекция на ось ОХ действующей на брусок силы тяжести положительна, а его ускорение в крайнем нижнем положении направлено вверх вдоль оси ОХ и максимально по величине, то, согласно уравнению движения, именно в этом положении величина силы сухого трения покоя должна стать максимальной и равной
т.к. амплитуда ускорения в 
раз превышает амплитуду смещения
и равна 
С другой стороны, согласно
закону Кулона–Амонтона, максимальная величина
силы сухого трения покоя равна произведению
коэффициента трения на величину нормальной
составляющей силы реакции опоры, т.е. 
Из сказанного следует, что искомый
коэффициент трения должен удовлетворять
неравенству: 
Продолжение следует