Контроль знаний |
Продолжение. См. №1,5,9,13/01
4. (I) Два вращающихся резиновых диска радиусами R1 и R2 соответственно соприкасаются своими внешними краями. Найдите отношение угловых скоростей вращения дисков w1/w2 в отсутствие проскальзывания.
A record player turntable of radius R1 is turned by a circular rubber roller of radius R2 in contact with it at their outer edges. What is the ratio of their angular velocities w1/w2?
Решение
Линейные скорости соприкасающихся точек дисков равны v. Подставляя v = w1R и v = w2r, имеем w2/w1 = R/r.
5. (II) Большая катушка с плотно намотанной на нее веревкой лежит на земле так, что конец веревки находится на верхнем краю. Человек, взяв веревку в руку, отходит на расстояние L, причем катушка катится за ним без проскальзывания. На какую длину размотается веревка? На какое расстояние переместится центр масс катушки?
A large spool of rope lies on the ground with the end of the rope lying on the top edge of the spool. A person grabs the end of the rope and walks a distance L holding onto it. The spool rolls behind the person without slipping. What length of rope unwinds from the spool? How far does the spool,s CM move?
Решение
Скорость каждой точки катушки относительно земли может быть представлена в виде векторной суммы скорости поступательного движения центра масс и скорости вращательного движения точки относительно центра катушки. Скорости вращательного движения всех точек на краю колеса относительно центра равны по величине и направлены перпендикулярно радиусу, проведенному из центра катушки в рассматриваемую точку. Так как катушка катится без проскальзывания, то скорость ее нижней точки относительно Земли равна нулю. Отсюда следует, что скорости поступательного движения центра катушки и вращательного движения точек на ее краю равны по модулю. Скорость верхней точки катушки, а значит, и заднего конца прямолинейного участка веревки (передний конец держит в руках человек), равна удвоенному значению скорости центра катушки. Так как веревка нерастяжима, то скорости всех ее точек на прямолинейном участке совпадают. Таким образом, скорость центра масс катушки вдвое меньше скорости человека, поэтому конечное расстояние между человеком и катушкой, т.е. длина смотанного с катушки конца, равно L/2. Центр масс катушки при этом переместится на L/2.
6. (II) Угол поворота вращающегося колеса меняется со временем по закону: q = 6t – 8t2 + 4,5t4,
где q измеряется в радианах, а t в секундах. Найдите: а) средние значения w и a в промежуток времени от 2 с до 3 с; б) выражения для мгновенной угловой скорости w и мгновенного углового ускорения a; в) оцените численные значения w и a при t = 3 c.
The angle through which a rotating wheel has turned in time t is given by q = 6t – 8t2 + 4,5t4, where q is in radians and t in seconds. (a) What is the average angular velocity, and (b) the average angular acceleration between t = 2.0 s and t = 3.0 s? Determine an expression (c) for the instantaneous angular velocity w and (d) for the instantaneous angular acceleration a.(e) Evaluate w and a at t = 3.0 s.
Решение
По определению угловая скорость равна производной угловой координаты q по времени: w = 6 – 16t + 18t3.
Аналогично, угловое ускорение равно производной угловой скорости по времени: a = –16 + 54t2.
При t = 3 c мгновенные значения угловой скорости и ускорения соответственно равны 444 рад/с и 470 рад/с2.
Среднее значение величины за интервал времени от t1 до t2, по определению, равно:
7. (II) Напишите выражения для угловой скорости w и угла поворота q вращающегося колеса в зависимости от времени, если угловое ускорение (в рад/с2) изменяется по закону a = 5t2 – 3,5t, где t измеряется в секундах. Считать, что в начальный момент времени колесо покоилось. Найдите значения w и q при t = 2 с.
The angular acceleration of a wheel as a function of time, is a = 5t2 – 3,5t, where a is in radians per second and t in seconds. If the wheel starts from rest (q = w = 0 at t = 0), determine a formula for (a) the angular velocity w and (b) the angular position q, both as a function of time. (c) Evaluate w and q at t = 2.0 s.
Решение
Воспользуемся формулами и 
.
В нашем случае t2 = t, t1
= 0; w(t1)
= 0, q(t1)
= 0. Отсюда выражения для временных зависимостей
угловой скорости и угла поворота соответственно:
При t = 2 c эти величины соответственно равны 6,33 рад/с и 2,00 рад.
8. (II) Колесо радиусом 50 см равномерно раскручивается от скорости 100 об/мин до 300 об/мин за 3 с. Определите угловое ускорение, а также радиальную и тангенциальную компоненты линейного ускорения точки на ободе колеса через 2 с после начала движения.
A 50-cm-diameter wheel accelerates uniformly from 100 rpm to 300 rpm in 3.0 s. Determine (a) its angular acceleration and (b) the radial and tangential components of the linear acceleration of a point on the edge of the wheel 2.0 s after it has started accelerating.
Решение
Угловое ускорение колеса найдем из формулы, справедливой для равноускоренного вращательного движения:
При равноускоренном движении ускорение постоянно.
Радиальное (нормальное,
центростремительное) ускорение связано с
радиусом кривизны траектории и линейной
скоростью точки формулой: 
Мы воспользовались также связью между линейной и угловой скоростью v = wR. Вектор радиального ускорения направлен по радиусу к центру кривизны траектории.
Тангенциальное ускорение равно производной модуля линейной скорости:
Вектор тангенциального ускорения постоянен по величине и направлен по касательной к траектории.
9. (II) Два круглых резиновых диска (радиусами R1 = 3 см и R2 = 5 см соответственно) касаются друг друга краями так, что вращение первого диска передается второму без проскальзывания. Найдите угловое ускорение второго диска и время, необходимое для достижения им угловой скорости 33 об/мин, если первый диск начинает вращаться с ускорением 0,88 рад/с2.
Two rubber wheels are mounted next to one another so their circular edges touch. Wheel 1, of radius R1 = 3.0 cm, accelerates at a rate 0.88 rad/s2 and drives the second wheel, of radius R2 = 5.0 cm, by contact (without slipping). (a) What is the angular acceleration of wheel 2? (b) Starting from rest, how long does it take the second wheel to reach an angular speed of 33 rpm?
Решение
Так как проскальзывания нет, то относительная линейная скорость соприкасающихся точек дисков равна нулю. Отсюда следует, что w1R1 = w2R2 и a1R1 = a2R2. Поэтому
10. (II) Диск начинает вращаться с постоянным угловым ускорением a вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости. Выразите радиальную (aR) и тангенциальную (at) компоненты линейного ускорения точки P, расположенной на расстоянии R от оси вращения, через a, R и время t. Найдите зависимость угла j между вектором линейного ускорения a и радиусом-вектором точки P, проведенным из центра диска, от числа оборотов N.
A wheel, starting from rest, undergoes uniform angular acceleration a about its fixed axle. (a) Write the components of the linear acceleration, at and aR, for a point P at a distance R from the axle in terms of a, R and time t. (b) Let j be the angle between the linear acceleration vector a, and the line drawn between P and the axis. Express j in terms of the total number of revolutions of the wheel, N.
Решение
Выражения для ускорений получаем так же, как в задаче 8:
Число оборотов связано с изменением угловой координаты j соотношением: N =Dj/2p . При равноускоренном движении c нулевой начальной скоростью: Dj = at2/2. Отсюда
