О фотонах, фотонных ракетах и...

В редакцию поступило письмо от учителей физики школы № 6 г. Лысьва Пермской обл. Е.Д.Багниной и Е.С.Увицкой: «В этом учебном году на олимпиаде по физике космоса и астрономии (муниципальный этап) была предложена следующая задача.

Принцип действия фотонного звездолета. В фокусе идеального параболического зеркала находится источник фотонов, получающихся в результате аннигиляции вещества и антивещества. После отражения от зеркала фотоны летят параллельным пучком. Найти скорость звездолета, если его масса до начала движения равна m, а после разгона – m₀. Какую часть начальной массы можно разогнать до скорости 0,999с?

В связи с публикациями в газете «Физика», касающимися методики преподавания теории относительности, в частности в связи с вопросом о массе, зависящей от скорости, имеет ли смысл решать эту задачу? Может быть, эту задачу можно решить, не используя релятивистские законы?»

Ответ может представлять интерес для многих учителей физики. Поэтому приводим решение этой задачи с комментариями.

1. При анализе возможностей гипотетической фотонной ракеты надо отделить вопрос о том, как работает фотонный двигатель, от вопроса о том, как происходит разгон ракеты с таким двигателем. И в том и в другом случае для анализа необходимо использовать законы частной теории относительности (ЧТО). Решать предложенную задачу с помощью нерелятивистских законов сохранения энергии и импульса в принципе неверно.

2. Суть конструкции фотонного двигателя состоит в использовании реакции аннигиляции вещества и антивещества, в которой образуются фотоны.

Примером такой реакции может служить аннигиляция пары протон–антипротон с образованием двух g-квантов. Вообще любая частица, аннигилируя со своей античастицей, может превратиться в пару фотонов. Такая реакция теоретически является самой выгодной для создания реактивного двигателя, т.к. в ней образуются частицы (фотоны), летящие с максимально возможной скоростью с. Как установил еще Циолковский, эффективность работы реактивного двигателя прямо пропорциональна скорости истечения реактивной струи (в данном случае – потока фотонов). Во-вторых, в реакции аннигиляции происходит теоретически максимально эффективное «сгорание» топлива, т.к. энергия покоя частиц и античастиц полностью превращается в энергию фотонов.

Часто используемое выражение «при работе фотонного двигателя масса превращается в энергию» – неудачно. Правильно говорить именно о переходе энергии из одной формы (энергии покоя вещества и антивещества) в другую (энергию фотонов).

Мы не обсуждаем вопрос о том, можно ли реально создать фотонный двигатель.

3. Поставленные в задаче вопросы связаны c этапом разгона фотонной ракеты. При решении следует использовать релятивистские законы сохранения энергии–импульса и соотношение Эйнштейна, связывающее энергию, импульс и массу частиц. Напомним эти соотношения. Пусть Е, р, v и m – энергия, импульс, скорость и масса частицы соответственно. Тогда:

E² = p²c² + m²c⁴;            (1)

p = Ev/c².                          (2)

Пусть каждый отраженный от зеркала фотон имеет импульс p_g. Поскольку масса фотона равна нулю, то в силу соотношения (1) энергия каждого фотона равна Е_g = cp_g, где p_g – модуль импульса фотона. Так как все фотоны летят параллельно друг другу, то суммарный импульс, унесенный фотонами за время разгона ракеты, р = еp_g. Отсюда полная энергия излученных фотонов равна E = cp.

В силу закона сохранения импульса полный импульс системы «ракета и излученные фотоны» равен нулю, т.е. сама ракета получит в конце разгона импульс р₀ = –р. По модулю эти импульсы равны, следовательно, полная энергия излученных фотонов может быть выражена через модуль импульса ракеты:

E = cp₀.                               (3)

Запишем закон сохранения энергии:

mc² = Е₀ + Е,                       (4)

где начальная энергия равна энергии покоя ракеты до разгона, Е0 – энергия ракеты после разгона, Е – энергия излученных за время разгона фотонов. С учетом соотношения (3) формула (4) запишется в виде:

mc² = Е₀ + ср₀.                     (5)

Кроме этого, из общего соотношения (1) следует, что после разгона

E₀² – (cp₀)² = m₀²c⁴.            (6)

Уравнения (5) и (6) позволяют найти связь между начальной и конечной массами ракеты и достигнутой в результате разгона скоростью v. Действительно, в силу соотношения (2) cр₀ = Е₀v/c = bE₀, где b = v/c. Подставляя это соотношение в формулы (5) и (6), получим:

mc² = (1 + b)E₀;                        (7)

m₀²c⁴ = (1 – b²)E₀².                 (8)

Разделив выражение (8) на квадрат выражения (7), находим:

           (9)

Это есть ответ на второй вопрос задачи.

Выражая b через отношение масс, получаем ответ на первый вопрос задачи:

                      (10)

При v = 0,999с отношение m₀/m » 0,02.

Заметим, что данная задача взята из книги И.И.Воробьева «Теория относительности в задачах» [М.: Наука, 1989].