Задачи из-за кордона

закон сохранения импульса. Системы нескольких тел. Столкновения

65. (II) Орел массой m₁ = 8,6 кг летит со скоростью v₁ = 8,5 м/c перпендикулярно линии полета второго орла (m₂ = 6,0 кг, v₂ = 8,2 м/с). После столкновения они вцепляются друг в друга. В каком направлении и с какой скоростью следует этот «клубок»?

An eagle (m₁ = 8.6 kg) moving with speed v₁ = 8.5 m/s is on a collision course with a second eagle (m₂ = 6.0 kg) moving at v₂ = 8.2 m/s in a direction at right angle to the first. After they collide, they hold onto one another. In what direction, and with what speed, are they moving after the collision?

Решение

Направим ось Ох вдоль направления полета первого орла, ось Оу – вдоль направления полета второго. Считая столкновение абсолютно неупругим, для проекций скоростей орлов во время совместного полета из закона сохранения импульса p₁ + p₂= p получаем:

66. (II) Ружейная пуля массой 20 г влетела со скоростью 350 м/с в маятник массой 3,2 кг, подвешенный на нити длиной 2,3 м. На какое расстояние по горизонтали отклонится маятник?

A 20-gram rifle bullet traveling 350 m/s buries itself in a 3.2-kg pendulum hanging on a 2.3-m-long string. How far does the pendulum swing horizontally?

Решение

Пусть время движения пули внутри маятника до окончательного застревания мало по сравнению с периодом колебаний маятника. Тогда в течение этого времени импульс внешних сил (силы тяжести и реакции подвеса) не меняет заметно импульс системы маятник–пуля. Скорость маятника с пулей сразу после столкновения
Высоту подъема маятника найдем из закона сохранения энергии: Смещение по горизонтали d найдется из соотношения (l – длина подвеса):

d² = l² – (l – H)² = H (2l – H) Ю d = 1,023 (м).

67. (II) Два тела равной массы налетают друг на друга с одинаковой скоростью v. В результате неупругого столкновения они слипаются и летят вместе со скоростью v/3. Какой угол был между их начальными скоростями?

After a completely inelastic collision between two objects of equal mass, each having initial speed, v, the two move off with speed v/3. What was the angle between their initial directions?

Решение

Импульсы тел до и после столкновения связаны соотношением p₁ + p₂ = p, где р₁ = р₂ = mv; p = 2mv/3. Отсюда:

p² = p₁² + p₂² + 2p₁p₂cosq Ю cosq = –7/9 Ю q = 141°.

68. (II) Мерой неупругости при центральном соударении двух тел является коэффициент восстановления – относительная скорость тел после соударения, а v₂ – v₁ – до него. При упругом соударении е = 1; при абсолютно неупругом соударении vў₁ = vў₂, т.е. е = 0. Простой метод измерения коэффициента восстановления заключается в бросании тела на тяжелую стальную плиту и измерении высоты отскока. Выведите формулу, показывающую связь е с исходной высотой h и максимальной высотой отскока hў.

A measure of inelasticity in a head-on collision of two bodies is the coefficient of restitution, e, defined as e = (vў₁ – vў₂)/(v₂ – v₁), where vў₁–vў₂ is the relative velocity of the two bodies after and v₂ – v₁ is their relative velocity before the collision. For an elastic collision, e = 1; for a completely inelastic collision, vў₁ = vў₂, so e = 0. A simple method for measuring the coefficient of restitution for a body when colliding with a very hard surface like steel is to drop the body onto a heavy steel plate, as shown in Figure. Determine a formula for e in terms of the original height h and the maximum height hў reached after collision.

Решение

*69. (II) Тело массой 3,0 кг движется в направлении +х со скоростью 6,0 м/с и сталкивается с другим телом массой 2,0 кг, движущимся в направлении –х со скоростью 4,0 м/с. Найдите конечную скорость каждого тела, если: а) они слипаются после удара; б) столкновение упругое; в) первое тело останавливается после удара; г) второе тело останавливается после удара; д) первое тело приобрело скорость 4,0 м/с в направлении –х. Возможны ли результаты в, г, д? Объясните.

A 30-kg body moving in the +x direction at 6.0 m/s collides with a 2.0-kg body moving in the –x direction at 4.0 m/s. Find the final velocity of each mass if: (a) the bodies stick together; (b) the collision is elastic; (c) the 3.0-kg body is at rest after the collision; (d) the 2.0-kg body is at rest after the collision; (e) the 3.0-kg body has a velocity of 4.0 m/s in the –x direction after the collision. Are the results in (c), (d), and (e) «reasonable»? Explain.

Решение

Обозначим через m_i – массы соударяющихся тел, v_i – проекции их скоростей на ось Ох до удара, u_i – после удара.

а) Для абсолютно неупругого удара закон сохранения импульса запишется в виде:

m₁v₁+ m₂v₂ = (m₁ + m₂)u Ю u = 2 (м/с).

б) Для абсолютно упругого удара законы сохранения импульса и энергии запишутся в виде:

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂;                                    (1)

m₁v₁² + m₂v₂² = m₁u₁² + m₂u₂²,                            (2)

Введя обозначение x = m₂/m₁, из (1, 2) получаем:

в) Если в результате удара первое тело останавливается, то скорость второго, согласно (1), будет равна Кстати, коэффициент восстановления (см. задачу 68) е = 0,5.

г) Если останавливается второе тело, то Коэффициент восстановления е = 0,33.

д) Из (1) при v₂ = –4 м/с находим Коэффициент восстановления е = 1,5 указывает на невозможность реализации такого столкновения. Кроме того, кинетическая энергия только второго тела после удара больше кинетической энергии налетающего тела.