Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 1999 г.

МЕХАНИКА

6 К грузику массой M = 300 г прикреплена пружина, другой конец которой привязан к нити, перекинутой через блок. На втором конце нити подвешен грузик массой m = 200 г. Когда блок заторможен, длина пружины l = 15 см. Какую длину l1 будет иметь пружина, если блок освободить? Считать, что колебания в системе не возникнут, т.е. грузики будут двигаться с постоянным ускорением. Длина недеформированной пружины l0 = 10 см. Массой пружины, нити и блока, а также трением в блоке пренебречь.

Когда блок заторможен, сила, с которой растянута пружина, равна весу подвешенного к ней грузика. Из закона Гука следует, что , откуда:

Если блок освободить, то грузики придут в движение, причем в общем случае оно будет представлять собой суперпозицию равноускоренного и колебательного движений. В то же время, задав в системе определенные начальные условия, можно добиться того, чтобы колебания не возникли и движение грузиков происходило с постоянным ускорением. В этом случае сила, с которой растянута пружина, будет постоянной. Поскольку эта сила равна силе натяжения нити Т, одинаковой во всех точках; для ее нахождения воспользуемся законами динамики. Уравнения движения грузиков имеют вид:

где a – ускорение в системе. Отсюда:

Учитывая, что ,  после несложных преобразований получаем ответ:

7 Шарик массой m = 7,2 г, несущий заряд q₁ = 1,73 · 10^–7 Кл, подвешен на невесомой, нерастяжимой и непроводящей нити длиной l = 0,1 м и вращается с постоянной угловой скоростью, причем угол между нитью и вертикалью a = 60°. В центре окружности, по которой движется шарик, расположен точечный заряд q₂ = 3 · 10^–7 Кл.

Найдите угловую скорость вращения шарика w. Электрическая постоянная e₀ = 8,85 · 10^–12 Ф/м. Ускорение свободного падения g = 10 м/с²; размером шарика пренебречь.

Решение

Для решения задачи будем использовать неподвижную систему координат, плоскость XOY которой в некоторый момент времени совпадает с плоскостью, проходящей через ось вращения системы и нить с шариком. Поскольку шарик совершает равномерное движение по окружности, его ускорение направлено к ее центру и по величине равно

Движение шарика происходит под действием трех сил: силы тяжести mg, силы натяжения нити T и силы электрического взаимодействия между зарядами (кулоновской силы) F_к. В проекциях на координатные оси выбранной системы имеем:

где e₀ – электрическая постоянная. Исключая отсюда натяжение нити T, после несложных преобразований получаем ответ:

8 Металлический стержень, согнутый под углом j = 45°, вращается с угловой скоростью w = 6 рад/с вокруг вертикальной оси ООў. К концу стержня прикреплен груз массой m = 0,1 кг на расстоянии l = 0,1 м от точки O. Определите модуль силы F, с которой стержень действует на груз. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/c².

Решение

Как и в предыдущей задаче, используем неподвижную систему координат, плоскость XOY которой в некоторый момент времени совпадает с плоскостью, проходящей через ось вращения системы и стержень с грузом. Равномерное движение груза по окружности радиусом R = sin j с угловой скоростью w происходит под действием сил, изображенных на рисунке, причем сила F, действующая на груз со стороны стержня, в общем случае направлена по отношению к нему под некоторым углом. Для проекций на выбранные координатные оси уравнение движения грузика имеет вид:

Учитывая, что получаем:

9 Опираясь о барьер катка, мальчик бросил камень горизонтально со скоростью v₁ = 5 м/с . Какова будет скорость v₂ камня относительно мальчика, если он бросит камень горизонтально, совершив при броске прежнюю работу, но стоя на гладком льду? Масса камня m = 1 кг, масса мальчика M = 50 кг. Трением о лед пренебречь.

Решение

При первом броске мальчик совершил работу 

Такая же работа, по условию задачи, была совершена им и при втором броске, причем в этом случае в результате броска кинетическую энергию приобрел не только камень, но и мальчик. Пусть в неподвижной системе отсчета скорости камня и мальчика после броска равны соответственно Из закона сохранения импульса в системе «камень – мальчик» вытекает равенство:

Закон изменения кинетической энергии в этой системе приводит к соотношению:

Из последних двух равенств находим:

Из закона сложения скоростей следует, что скорость камня относительно мальчика .

Отсюда получаем ответ:

1 С идеальным одноатомным газом проводят процесс 1–2. Во сколько раз a при этом изменится средняя кинетическая энергия молекулы газа?

Решение

Поскольку средняя кинетическая энергия молекулы одноатомного газа , искомое отношение энергий равно отношению абсолютных температур газа в состояниях 2 и 1, т.е.   Записывая уравнение Клапейрона–Менделеева для этих состояний, имеем: где n – количество молей газа, R – универсальная газовая постоянная. Отсюда видно, что Следовательно, a =  1/2, т.е. средняя кинетическая энергия молекулы газа в процессе 1–2 уменьшится в 2 раза.

2 С одним молем идеального газа проводят циклический процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найдите работу A, совершаемую газом за цикл, если известно, что в состоянии 1 температура T₁ = 300 К, а в состояниях 2 и 4 температура одинакова и равна T = 320 К. Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/(моль · К).

Решение

Работа газа в циклическом процессе численно равна площади, ограниченной графиком процесса на p,V-диаграмме. Вводя для давлений и объемов газа в характерных точках цикла обозначения, приведенные на рисунке, имеем:

Используя для газа в состояниях 1, 2, 3, 4 уравнение Клапейрона–Менделеева и учитывая, что количество газа n = 1 моль, можно переписать выражение для работы газа в виде:

где T_i – температура газа в состоянии i (i = 1, 2, 3, 4), причем, по условию, T₂ = T₄= T. Поскольку процессы 1–2 и 3–4 проводятся при постоянных объемах, то:

откуда следует, что: