Задачи из-за кордона

Закон сохранения импульса. Системы из нескольких тел. Столкновения

10. Может ли тело обладать ненулевым импульсом, но нулевой энергией? И наоборот, энергией без импульса? Поясните свой ответ.

Is it possible for an object to have momentum without having energy? Can it have energy but no momentum? Explain.

Ответ. Поскольку импульс p = mv, то кинетическая энергия Поэтому равенства p = 0 и E_к = 0 равносильны друг другу при m № 0. Если в энергию тела Е входит еще и потенциальная энергия Eп, то дело выглядит иначе. Рассмотрим свободное падение тела в однородном поле тяжести и будем отсчитывать потенциальную энергию тела от ее значения на поверхности земли. Подбросив тело вертикально вверх, обнаружим, что в верхней точке траектории
p = 0, Е = E_п = mgh > 0. Выроним теперь тело из рук в колодец с нулевым начальным импульсом. В соответствии с законом сохранения энергии в процессе падения, хотя импульс тела в полете уже не равен нулю.

11. Не противоречит ли закону сохранения импульса тот факт, что все тела в реальности замедляются и в конце концов останавливаются?

We claim that momentum is conserved. Yet most moving objects eventually slow down and stop. Explain.

Ответ. Факт замедления движущихся тел не противоречит закону сохранения импульса. Движущееся тело не просто «теряет» свой импульс при замедлении, а передает его другим телам, так что суммарный импульс сохраняется.

12. Два тела массами m1 и m2, соединенные пружиной, лежат на гладком столе. Пружину растянули. Опишите движение тел после того, как пружину отпустили.

Two blocks of mass m1 and m2 rest on a frictionless table and are connected by a spring. The blocks are pulled apart, stretching the spring, and then released. Describe the subsequent motion of the two blocks.

Ответ. Тела будут колебаться до тех пор, пока энергия пружины не рассется в окружающую среду.

13. Ракета, летящая по параболической траектории, взрывается в воздухе. Как будет двигаться центр масс образовавшихся осколков?

A rocket following a parabolic path through the air suddenly explodes into many pieces. What can you say about the motion of this system of pieces?

Ответ. При взрыве ракеты возникают только внутренние силы, изменяющие относительное расположение и движение частей ракеты относительно центра масс. На центр масс не подействовало никаких внешних сил, поэтому, по закону сохранения импульса, он будет продолжать свое движение по прежней траектории.

14. Легкое и тяжелое тела имеют одинаковую кинетическую энергию. Как соотносятся импульсы тел?

A light body and a heavy body have the same kinetic energy. Which has the greater momentum?

Ответ. Отсюда следует, что более массивное тело имеет больший импульс.

15. Что произошло с импульсом человека, спрыгнувшего с дерева на землю?

When a person jumps from a tree to the ground, what happens to the momentum of the person upon striking the ground?

Ответ. Импульс человека mv передается Земле благодаря силе деформации опоры F, действующей в течение времени t: mv = Ft.

16. Пользуясь законом сохранения импульса, объясните принцип движения рыбы, работающей хвостовым плавником.

Explain, on the basis of conservation of momentum, how a fish propels itself forward by swishing its tail back and forth.

Ответ. Рыба отбрасывает хвостом ближние к ней слои воды назад, а сама движется вперед, поскольку сохраняется импульс системы рыба–ближние слои воды.

17. Почему развязанный воздушный шарик летает по комнате?

Why, when you release an inflated, untied balloon, does it fly across the room?

Ответ. Из развязанного шарика вырывается струя воздуха, сообщая ему импульс в противоположную сторону, при этом сохраняется импульс системы шарик–струя.

18. Известна старинная легенда о богаче с мешком золотых, который, оказавшись на абсолютно гладком льду озера, замерз, но не пожелал расстаться с богатством. Как бы он мог спастись, если бы не был так жаден?

It is said that in ancient times a rich man with a bag of gold coins was stranded on the surface of a frozen lake and froze to death. Because the ice was frictionless, he could not push himself to shore. What could he have done to save himself had he not been so miserly?

Ответ. Оттолкнув от себя мешок с золотом, богач сам заскользил бы по льду в противоположную сторону в силу закона сохранения импульса системы мешок–богач.

19. Удар о пол падающего без начальной скорости мяча абсолютно упругий. Поднимется ли вновь мяч на исходную высоту?

If a falling ball were to make a perfectly elastic collision with the floor, would it rebond to its original height? Explain.

Ответ. Кинетическая энергия мяча перед ударом равна его потенциальной энергии в начальный момент (mgh). Поскольку при абсолютно упругом ударе сохраняется кинетическая энергия системы, равная в данном случае кинетической энергии только мяча  то она перейдет после удара в ту же потенциальную энергию mgh, т.е. мяч поднимется на ту же высоту.

20. Согласно закону изменения импульса F = dp/dt, чем меньше время взаимодействия тел при заданном изменении импульса, тем больше действующая на тела сила, а следовательно, больше и деформация этих тел. Зная это, обоснуйте необходимость воздушных подушек, автоматически надувающихся при столкновении автомобиля с препятствием.

According to momentum varying law, the shorter the impact time of a certain magnitude impulse, the greater the force must be and hence the greater the deformation of the object on which the force acts. Explain on this basis the value of «air bags» which are intended to inflate during an automobile collision and reduce the possibility of fracture or death.

Ответ. На деформацию воздушной подушки нужно некоторое время. Поэтому, согласно закону изменения импульса, увеличение времени взаимодействия приводит к уменьшению силы, возникающей при столкновении.

21. Может ли меньшая сила сообщить телу больший импульс?

Is it possible for a body to receive a larger impulse from a small force than from a large force?

Ответ. В соответствии с законом изменения импульса Dp = FDt меньшая сила может сообщить телу больший импульс, если она действует дольше, чем бо1льшая.

22. Может ли ненулевая сила сообщить телу за ненулевой промежуток времени импульс, равный нулю?

How could a force give zero impulse over a nonzero time interval even though the force is not zero for at least a part of that time interval?

Ответ. Не может. Согласно закону изменения импульса Dp = FDt, и если F № 0, t №  0, то и p № 0.

23. При каких условиях автокатастрофа более опасна для пассажиров: когда автомобили после столкновения сцепляются друг с другом или когда они отскакивают друг от друга?

In a collision between two cars, which would you expect to be more damaging to the occupants: (a) the cars collide and remain together or (b) the cars collide and rebound backward? Explain.

Ответ. Силу удара F определяет изменение импульса Dp за время Для простоты рассмотрим случай, когда массы и скорости автомобилей равны. Тогда в случае упругого столкновения (автомобили разлетелись) изменение импульса каждого Dp = p₂ – p₁ = mv₂ – mv₁ = –2р₁ (при упругом столкновении в данной задаче скорость меняется на противоположную, т.е. v₂ = –v₁). При неупругом столкновении, когда автомобили «слиплись», в рассматриваемом частном случае скорость после столкновения равна нулю и Dp = p₂ – p₁ = mv₂ – mv₁ = –p₁ (поскольку mv₂ = 0), что менее опасно для пассажиров.

24. Мяч из очень упругой резины падает с некоторой высоты на стальную плиту и почти без потери скорости отскакивает от нее. а) Сохраняется ли импульс мяча во время движения мяча вверх-вниз? б) Сохраняется ли полный импульс системы мяч–Земля? в) Как изменится ответ, если вместо мяча рассмотреть комок глины, прилипающей к плите? г) Если импульс не сохраняется, то в какой момент времени и за счет какой силы происходит его изменение?

A superball is dropped from a height h onto a hard steel plate (fixed to the earth), from which it rebounds at very nearly its original speed. (a) Is the momentum of the ball conserved during any part of this process? (b) If we consider the ball and the earth as our system, during what parts of the process is momentum conserved? (c) Answer part (b) for a piece of putty that falls and sticks to the steel plate.

Ответ. а) При ударе скорость отскочившего мяча по модулю не изменилась, v = – v ' (упругий удар), так что импульс не изменился по величине, т.е. p = mv, p '= mv ', p ' = –p. При этом импульс мяча изменился на Dp = р ' – р = –2р.

б) Полный импульс системы мяч–Земля сохраняется, т.к. нет внешних сил, действующих на эту систему.

в) Когда вместо мяча падает комок глины и прилипает к плите, то после удара его скорость v ' = 0. Это значит, что и
p ' = mv ' = 0, т. е. импульс комка изменился и стал равен нулю.

г) Импульс p изменился в момент удара за счет сил деформации сталкивающихся тел.

25. В гидроэлектростанциях поток воды на большой скорости направляется на лопатки турбин, вращение которых приводит в движение роторы электрогенераторов. Лопатки могут быть сконструированы так, чтобы либо останавливать поток воды, либо отбрасывать его назад. Какая конструкция турбин более эффективна?

At hydroelectric power plant, water is directed at high speed against turbine blades connected to an axe that turns an electric generator. Do you think the turbine bladeshould be designed so that the water is brought to a dead stop, or so that the water rebounds?

Ответ. Эффективность турбин выше, если вода отскакивает от лопаток турбины (упругий удар), т.к. при этом она передает турбине импульс Dp = p – p '; Dp = 2p (при упругом ударе в данной задаче v = –v ', p = –p '). Если вода останавливается, то ее импульс становится равным нулю, p ' = 0, и она передает импульс Dp = p – p ' = p, т.е. вдвое меньше, чем в первом случае.